医学部医学科でいちばん差がつくのは場合の数と確率｜吉永学司先生の主張を藤原進之介が考察する

「数学は全部やれ」は正しい。ただし、やった時間がそのまま点数に変わる単元と、時間をかけても変わらない単元があります。医学部医学科の入試で後者に当たるのが、場合の数と確率です。

数強塾代表の藤原進之介です。累計3,500名以上の中高一貫校生・受験生を指導してきました。この記事は、数強塾グループで数学を担当する吉永学司先生が指導の現場で繰り返し口にしている主張——「医学部医学科でいちばん合否に直結する単元は、場合の数と確率だ」——を出発点に、なぜそう言えるのかを私なりに掘り下げたものです。

吉永先生の主張は、経験に裏打ちされた実感として語られます。私はそれを、数学の構造の問題として説明できると考えています。感覚の話で終わらせず、「なぜこの単元だけ勉強量が点数に変換されないのか」を、標本空間・対称性・状態設計という三つの言葉で分解していきます。約1万7千字あります。手を動かせる問題も5題入れました。腰を据えて読んでください。

1. 吉永学司先生の主張——「場合の数と確率で差がつく」

まず、吉永先生の主張をそのまま並べます。指導の現場で語られた言葉を、論点ごとに整理したものです。

この短い言葉のなかに、高校数学の中でも特異な単元の性質が、ほぼすべて含まれています。以下、一つずつ展開します。

2. なぜベクトルと微積分は「満点が狙える」のか

吉永先生の主張のうち、最後の一文から始めます。「ベクトルや微積分は、迷わずしっかり勉強していれば満点を狙える」。これは受験生の実感とも一致するはずですが、なぜそう言えるのかを言葉にできる人は少ない。理由は明確です。

2-1. 微積分には「必ず前に進む手続き」がある

定積分の値を求めよ、という問題を考えます。やることは決まっています。

1. 被積分関数の原始関数を1つ見つける
2. 上端と下端で評価して差を取る

「原始関数を見つける」の部分も、実は有限個の型に分類されています。置換積分・部分積分・部分分数分解・三角関数の次数下げ・有理化。高校範囲で必要な道具はこれでほぼ尽きます。しかも、どの道具を使うかは被積分関数の見た目から機械的に決まる。根号があれば置換を疑い、多項式と指数関数の積なら部分積分、分母が因数分解できるなら部分分数分解。

つまり微積分の学習とは、有限個の手続きを身体に入れる作業です。手続きの数は決まっていて、選択の分岐も少ない。だから練習量が点数に線形に効きます。100題解いた人は、50題解いた人より確実に強い。

2-2. ベクトルには「困ったら成分」という最終手段がある

ベクトルはもっと露骨です。図形の問題で手が止まったら、座標を入れればいい。適当な点を原点に取り、適当な方向を x 軸に取る。すると、すべての幾何的条件が連立方程式に化けます。式は汚くなるかもしれませんが、必ず答えに到達します。

これは強力です。ベクトルの問題を前にして、受験生は「うまい解き方が見つからなくても、成分計算で押し切れる」という保険を持っている。だから精神的に迷わない。迷わないから、時間内に処理できる。

2-3. では、場合の数の「困ったら」は何か

場合の数にも、一見すると同じような最終手段があります。全部書き出す。樹形図を描く、表を作る、辞書式に並べる。確かにこれは常に正しい答えを出します。

しかし、この手段には決定的な制約があります。n が大きいと使えない。10人の並べ方は3,628,800通りあり、書き出せません。ベクトルの成分計算は n が大きくても原理的には最後まで進みますが、全列挙は n とともに指数的に破綻します。

つまり場合の数には、「必ず前に進む手続き」が存在しない。存在するのは検算の手段としての全列挙だけで、本番の解法にはならない。ここが、この単元を他と隔てている一つ目の壁です。

3. 場合の数だけが、問題文に「何を数えるか」を書いていない

高校で習う確率の定義を、正確に書き下してみます。

（事象 A の確率）＝（A の起こる場合の数）÷（起こりうるすべての場合の数）

この定義には、教科書が必ず添える但し書きがあります。「ただし、どの場合も同様に確からしいとする」。この一行が、単元全体の急所です。

確率という量は、「何を1つの場合と数えるか」を決めた瞬間に決まります。数学の用語では、この「起こりうるすべての場合の集合」を標本空間と呼びます。同じ現象でも、標本空間の取り方は無数にあり、そのうち「どの元も同じ重みを持つ」ものだけが、上の定義に使える。

ここで問題文の側を見てください。入試問題は、標本空間を指定しません。「赤玉3個と白玉2個から2個取り出す」としか書いていない。何を1つの場合と数えるかは、解答者が決めるのです。

吉永先生の言う「区別の仕方が変わるから」「同様に確からしいかを確認していない」は、まさにこの点を指しています。次章から、実際に壊してみましょう。

4. 実験1——「区別しない」で数えると、答えは壊れる

冒頭の問題に戻ります。

4-1. 壊れた解答

「同時に取り出すのだから、順番は関係ない。玉は色でしか区別できないのだから、起こりうる場合は次の3通り」——こう考えた受験生は毎年います。

{赤, 赤}　{赤, 白}　{白, 白}

「このうち2個とも赤なのは1通り。よって確率は 1/3」。これは誤りです。

4-2. 正しい解答

5個の玉を、同じ色でもすべて別のものとして扱います。赤を R1, R2, R3、白を W1, W2 とする。2個の選び方は

C(5, 2) ＝ 10 通り

そのうち2個とも赤であるのは、R1, R2, R3 から2個を選ぶ場合で

C(3, 2) ＝ 3 通り

よって求める確率は 3/10。

4-3. なぜ最初の解答が壊れたのか

3通りという数え方が間違っているわけではありません。「場合の数」としては3通りで正しい。壊れているのは、その3つが同様に確からしいと思い込んだところです。実際に重みを計算してみましょう。

0.3 : 0.6 : 0.1。まったく等しくありません。赤白が出る確率は、白白が出る確率の6倍です。それを「3つのうちの1つ」と数えれば、当然おかしくなります。

4-4. 歴史上の数学者も、同じ場所で転んだ

この誤りは受験生固有のものではありません。確率論の草創期に、一流の数学者が同じ穴に落ちています。

ダランベールの誤り（1754年）

『百科全書』の「表か裏か」の項で、ジャン・ル・ロン・ダランベールは次のように論じました。硬貨を投げて表が出たら終わり、裏なら もう一度投げる。2回以内に表が出る確率はいくらか。彼は起こりうる結果を

（表）　（裏, 表）　（裏, 裏）

の3つとして、答えを 2/3 としました。表が出た時点で試行が終わるのだから、（表, 表）や（表, 裏）は起こらない——確かにその通りです。しかし、この3つは同様に確からしくない。（表）の確率は 1/2、（裏, 表）と（裏, 裏）は各 1/4 です。正解は 3/4。

ダランベールほどの数学者が、「場合を正しく列挙する」ことと「同様に確からしくする」ことは別の作業だという一点で誤った。この事実は、受験生にとってむしろ励みになるはずです。難しいのはあなただけではない。

シュヴァリエ・ド・メレの問い（1654年）

もう一つ、確率論そのものの出発点になった有名な例を挙げます。賭博師ド・メレは、次の2つの賭けが同じ有利さだと信じていました。

1. サイコロを4回投げて、6の目が少なくとも1回出る
2. サイコロ2個を24回投げて、6のゾロ目が少なくとも1回出る

理由は「6分の1のことを4回やるのと、36分の1のことを24回やるのは、比が同じ（4/6 = 24/36）だから」。もっともらしい。しかし経験上、前者では勝ち越し、後者では負け越す。彼はこれをパスカルに問い、パスカルとフェルマーの往復書簡（1654年）が確率論を生みました。

実際に計算します。余事象を使うのが定石です。

1 − (5/6)⁴ ＝ 1 − 625/1296 ≒ 0.5177

1 − (35/36)²⁴ ≒ 1 − 0.5086 ＝ 0.4914

前者は5割を超え、後者は5割を切る。直感の「比例」は、確率では通用しない。この差は約2.6ポイントですが、賭けを何百回も繰り返せば決定的な差になります。ド・メレはそれを体感で知っていたのに、理屈を作れなかった。

5. 実験2——「同時に取り出す」と「順番に取り出す」はなぜ一致するのか

吉永先生の言葉のなかで、私がいちばん重要だと思うのはここです。「取り出す順番が違うだけで全く違う。かと思えば、3つ同時に取り出すのと、取り出す順番があるのとが同じ場合もある」。この二つは矛盾していません。一致する条件があるのです。それを説明できるかどうかが、この単元の分水嶺になります。

5-1. まず、一致することを確かめる

問題1を、今度は「1個ずつ順番に取り出す」として解いてみます。

1個目、2個目の順に取り出す並べ方は

P(5, 2) ＝ 5 × 4 ＝ 20 通り

2個とも赤であるのは

P(3, 2) ＝ 3 × 2 ＝ 6 通り

確率は 6/20 ＝ 3/10。同時に取り出したときと一致しました。

5-2. なぜ一致するのか——「割る数が同じ」という構造

偶然ではありません。理由は、順序をつけた数え方と、つけない数え方が、ちょうど r! 倍でつながっていることにあります。

5個から2個を取り出す場面で考えます。順序つきの結果（R1, R2）と（R2, R1）は、順序を忘れれば同じ {R1, R2} になります。つまり

一般に r 個を取り出す場合、束の大きさは r! です。3個同時に取り出す問題を「順番に3個取り出す」として解いてよいのは、分子も分母も 3! = 6 倍になり、比が保存されるから。吉永先生の言う「同じになる場合がある」の、これが正体です。

5-3. では、いつ壊れるのか

いま使った議論には、明示していない前提があります。考えている事象が、順序を入れ替えても変わらないことです。「2個とも赤」は、（R1, R2）でも（R2, R1）でも同じく成り立ちます。だから束ごとまるごと事象に入り、きれいに r! 倍になった。

ところが、次のような事象では成り立ちません。

5-4. 判断の基準を、ひとことで

受験生の多くは、「同時に取り出す問題は組合せ C を使う」と型で覚えています。それは大半の問題で当たりますが、なぜ当たるのかを知らないので、外れる問題を見分けられない。吉永先生が「差がつく」と言うのは、この見分けのことです。

6. 三つの「区別」——問題文を読むときのチェックリスト

吉永先生の「区別の仕方が変わるから」を、実用的な形に落とします。場合の数の問題を読むとき、確認すべき区別は三つあります。

この三つは独立に切り替わります。しかも、日本語の問題文はこれらを露骨には書きません。「3つの箱に入れる」「3組に分ける」「3人に配る」——似た表現で、答えがまったく変わります。

6-1. 同じ「分ける」で、4通りの答えが出る

典型的な混乱を、表で並べます。6個のボールを3つのまとまりに、各2個ずつ入れるという同じ状況で、区別のつけ方だけを変えます。

90 と 15 と 1。同じ「6個を2個ずつ3つに」でも、答えは6倍違い、90倍違う。問題文の中で区別を指定しているのは、「A・B・C」という名前があるかどうか、「相異なる」と書いてあるかどうか、それだけです。読み落とせば終わりです。

6-2. 「÷3!」はいつやるのか——最も多い誤答

組分けで階乗で割る操作は、機械的に覚えている人がいちばん多い場所です。正しい基準は一つだけ。

3つのケースで確認します。

3行目が急所です。「4組だから 4! で割る」としてしまう答案を、私は毎年見ます。割るのは入れ替えても同じ分け方になってしまう組どうしであって、組の総数ではありません。2人組と1人組を入れ替えたら別の分け方になるのだから、割ってはいけない。

6-3. 検算せよ——小さい数で全列挙する

いま述べた規則を暗記する必要はありません。小さい数で確かめられるからです。4人（a, b, c, d）を2人ずつ2組に分ける場合を、手で書き出してみましょう。

{ab, cd}　{ac, bd}　{ad, bc}

3通りです。公式では C(4,2)C(2,2) ÷ 2! ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3。一致しました。もし ÷2! を忘れれば6となり、実際には {ab, cd} と {cd, ab} を二重に数えていることが、書き出せば即座に見えます。

7. 金沢医科大学型と慶應医学部型——二つの出題

吉永先生は、医学部の出題を大きく二つに分けています。数え上げの対象が確定している出題と、その場で組み立てを要求する出題です。

7-1. 「確定している」とは、標本空間が問題文から一意に読めること

訓練で満点が狙えるタイプの出題は、標本空間が問題文から一意に決まります。「相異なる10個の球」「A, B, C の3人に配る」「1個ずつ取り出して戻す」——区別の三軸がすべて明示されている。この場合、受験生に残された仕事は正しい公式を選んで計算することだけです。

ここは、まさにベクトルや微積分と同じ構造になります。手続きの在庫が勝負を決める。だから演習量が点数に変わります。数強塾が金沢医科大学医学部の数学の過去問を6年度ぶん公開しているのも、この型は反復で仕上がるからです。

7-2. 「その場での思考力」が要る出題

もう一方の型では、標本空間や状態の設計そのものが受験生に委ねられます。吉永先生が名前を挙げた確率漸化式は、その代表です。慶應義塾大学医学部の数学のように、長い試行の途中経過を追わせる出題では、何を「状態」と呼ぶかを自分で決めるところから始まります。

ここが本当の分岐点です。手続きの在庫がいくらあっても、状態の設計を誤れば式が立たない。逆に設計さえ正しければ、そのあとの漸化式を解く作業は数列の標準問題に落ちます。つまりこのタイプの問題は、最初の5分で勝負が決まる。

8. 確率漸化式は「状態の設計」がすべて

8-1. 状態とは何か

確率漸化式で言う「状態」とは、この先の展開を決めるのに必要な、最小限の情報のことです。もっと厳密に言えば、いまの状態さえ分かれば、そこに至るまでの経緯を知らなくても次の1歩の確率が計算できる——そういう情報の切り方を探す作業です。

この性質を数学ではマルコフ性と呼びます。高校生に必要なのは名前ではなく、設計するときの二つの失敗を知ることです。

優秀な受験生とそうでない受験生の差は、ほぼここに出ます。次の問題で体験してください。

8-2. 状態を2つに減らす——正四面体の問題

8-3. 状態を3つに減らす——正六角形の問題

もう一段難しい設計を体験します。医学部の上位校で問われるのは、この水準です。

9. 医師になってからも使う——条件付き確率という関門

場合の数と確率が医学部で重く問われるのには、もう一つ理由があると私は考えています。この単元だけが、医師の仕事と直接つながっているからです。

感度99%・特異度99%という高性能な検査で陽性が出ても、実際に病気である確率は1割に届かない。多くの人の直感は「99%くらいだろう」と答えます。この落差の原因は、分母をどの集団に取るかを取り違えていることにあります。

「病気の人のうち陽性となる割合」と「陽性の人のうち病気である割合」は、まったく別の量です。前者は 99%、後者は 9%。日本語ではどちらも「陽性である確率」と言えてしまう。条件付き確率とは、分母を正しく指定する技術です。

受験の話に戻すと、この構造を扱う出題は医学部で頻出です。そしてこの分野の失点は、公式の暗記では防げません。防げるのは、「いま分母は何か」を毎回言葉にする習慣だけです。

10. なぜこの単元だけ、勉強量が点数に変わらないのか

ここまでの議論を、学習の構造という視点でまとめ直します。

10-1. 手続きの在庫が効く単元と、効かない単元

3行目が、この単元をいちばん危険にしています。ベクトルの計算を誤れば、たいてい途中でおかしな式になって気づきます。ところが場合の数では、誤った標本空間の上でも計算は最後まで整合的に進みます。分数もきれいに約分され、それらしい答えが出る。だから見直しても気づけない。

10-2. 何が転移して、何が転移しないのか

「場合の数は問題ごとに違うから、演習しても意味がない」と言う受験生がいます。半分正しく、半分間違っています。

転移しないのは、個々の問題の解法そのものです。玉の問題を100題解いても、サイコロの問題が自動的に解けるようにはならない。設定が変われば、標本空間の作り方も変わるからです。

しかし、転移するものが確かにあります。

この5つは、どんな設定の問題にも持ち越せます。演習の目的をこの5つの獲得に置き換えた瞬間から、場合の数の勉強は点数に変わり始めます。解いた問題数を数えるのをやめて、「今日の問題で、区別の判断はどこにあったか」を言葉にする。それだけで質が変わります。

10-3. 数強塾が答案に書かせていること

数強塾のマンツーマン指導では、場合の数の答案に「なぜその数え方を選んだか」を一行書かせます。「玉はすべて区別する」「順序は問われていないので組合せで数える」「B・C・D は対称なのでまとめる」。この一行があるかどうかで、次に似た問題に出会ったときの再現性がまったく違ってきます。

正解した問題でも、この一行が書けなければ、それはたまたま当たったのです。当たったことにして先へ進むと、本番で外します。逆に、間違えた問題でもこの一行が書けていれば、どこで判断を誤ったかが特定でき、次に活きます。

私たちが目指しているのは、公式を配ることではありません。一人ひとりの可能性を最大限に引き出し、本質を理解し、自ら考え続けられる人を育てること。場合の数という単元は、そのための最良の教材です。答えが合ったかどうかではなく、判断が言語化できているかどうかで自分を評価する——その姿勢は、医師になってから患者の前で確率を語るときに、そのまま効いてきます。

11. 8週間で「差がつく側」に立つ学習設計

具体的な進め方を示します。医学部志望で、数学I・A の基本は一通り終わっている受験生を想定しています。

12. 場合の数・確率でよくある誤答7選

13. まとめ

• ベクトルと微積分は解法の分岐が浅く、必ず前に進む手続きがあるため、演習量が点数に線形に変わる。だから「迷わずしっかり勉強すれば満点が狙える」。
• 場合の数と確率だけは、問題文が標本空間を指定しない。何を1つの場合と数えるかを解答者が決めるため、判断を誤ると計算が正しくても失点する。
• 誤りの多くは「同様に確からしい」の検証を飛ばしたことに起因する。物理的に見分けがつかない対象にも、必ず番号を貼って数える。
• 「同時に取り出す」を「順番に取り出す」で計算してよいのは、問われている事象が順序の入れ替えで変わらないときだけ。分子も分母も r! 倍になるので比が保存される。
• 区別には対象・位置・グループの三軸がある。同じ「6個を2個ずつ3つに」でも、答えは 90・15・1 と変わる。
• 確率漸化式は状態の設計で勝負が決まる。対称なものをまとめ、周期性を見抜き、小さい n と極限で検算する。
• 場合の数は自分で答え合わせができる唯一の単元である。小さい n で全列挙して公式と照合する習慣が、この単元の伸びを決める。
• 演習の目的を「解いた問題数」から「区別の判断を言語化した回数」に置き換えたとき、勉強量が初めて点数に変わり始める。

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数学を、一対一で強くする。藤原進之介が厳選した一流のプロ講師が、お子さんの担任になります。場合の数と確率は、答えが合ったかどうかだけを見ていても伸びません。「なぜその数え方を選んだのか」を毎回言葉にさせ、標本空間の設計から答案を組み立て直す——それができるのは、一対一の指導だけです。体験授業（税込3,000円）のお申し込みはこちらから。医学部を志望される方は医学部専門コースもご覧ください。

よくある質問

Q. 場合の数と確率が苦手です。まず何から手をつけるべきですか。
A. 公式の復習ではなく、小さい数で全列挙する練習から始めてください。4人を2人ずつ2組に分ける、3個の玉から2個取り出す——手で書き出せる大きさの問題を、必ず書き出してから公式で解き直す。この往復を20題ほど繰り返すと、公式が何を数えているのかが体感で分かります。急がば回れで、これが最短です。

Q. 「同時に取り出す」と書いてあったら、必ず組合せ C を使ってよいのですか。
A. 問われている事象が順序を入れ替えても真偽が変わらない場合に限り、組合せで数えて構いません。「3個とも赤」なら大丈夫です。「2個目が赤」「最初に赤で最後に白」のように順序に言及する条件が入ったら、順序つきで数える必要があります。判断の基準は本文の第5章にまとめました。

Q. ベクトルや微積分と、場合の数のどちらを優先すべきですか。
A. 入試までの残り時間によります。半年以上あるなら、場合の数を先に着手してください。伸びるまでに時間がかかる単元だからです。逆に直前期であれば、確実に点になるベクトル・微積分を仕上げ、場合の数は「標本空間を明示して答案に書く」ことだけを徹底するほうが失点を減らせます。

Q. 確率漸化式は独学でも身につきますか。
A. 漸化式を解く計算は独学で十分です。難しいのは状態の設計で、ここは自分の設計が最適だったかを一人で判定しにくい。式が立って答えが出てしまうと、もっと簡単な設計があったことに気づけません。解答例と自分の設計を比較し、なぜまとめられたのかを説明できるまで詰める作業を、必ず入れてください。

Q. 「同様に確からしい」かどうかを、試験中に確認する方法はありますか。
A. あります。数えた各場合に、区別したときの通り数を書き添えるのが最も確実です。本文4-3の表のように、{赤赤} が3通り、{赤白} が6通り、{白白} が1通りと分かれば、等しくないことが一目で分かります。この確認に必要な時間は30秒ほどで、失点のリスクに比べれば安いものです。

Q. 医学部を目指していますが、数学が全体的に不安です。何が足りていないのでしょうか。
A. 医学部の数学は、時間に対して問題量が多く、途中で詰まった1問が全体を崩しやすい試験です。単元の穴よりも「どの問題を後回しにするか」の判断が甘いことのほうが多い。過去問を解いたあと、正答率だけでなく取捨選択の判断が正しかったかまで振り返ってください。それでも原因が特定できない場合は、答案を見せていただければ具体的にお伝えできます。

出典・注記

• Pascal, B. および Fermat, P. の往復書簡（1654年）——シュヴァリエ・ド・メレの提起した賭けの問題をめぐる議論。確率論の出発点とされる。
• d’Alembert, J. le R.「Croix ou Pile」Encyclopédie, ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, tome 4 (1754)——2回以内に表が出る確率を 2/3 と論じた記述。同様に確からしい標本空間の取り違えの古典例として広く引かれる。
• Kolmogorov, A. N. (1933) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung——確率を標本空間上の測度として定義した公理化。高校で学ぶ「同様に確からしい」は、有限集合上で各元に等しい測度を与える特別な場合にあたる。
• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』——「場合の数と確率」は数学A、「統計的な推測」は数学Bに位置づけられている。
• 本文中の入試傾向に関する記述は、数強塾が公開している慶應義塾大学医学部・金沢医科大学医学部の過去問解説ページの掲載内容に基づく。

※本文中の問題1〜5は、すべて数強塾が独自に作成したオリジナル問題であり、実際の入試問題の転載ではありません。※問題5の有病率・感度・特異度は説明のための架空の数値です。※入試制度・出題範囲・配点・試験時間は年度により変更されます。受験にあたっては必ず各大学が発表する最新の入学者選抜要項をご確認ください。

著者：藤原進之介（数強塾グループ代表）。本記事は、数強塾グループ数学講師 吉永学司先生の指導現場での主張を出発点に、代表・藤原進之介が高校数学の構造の観点から考察したものです。数学的な内容は執筆時点で検証しています。