毎日の数学

半径rの球の体積が4/3πr³になることを、半円の回転体として定積分で導きます。断面積を積み上げるという考え方の原点。さらに球に内接する円柱の体積の最大値4√3/9・πr³（球の約58%）を微分で求めます。無料PDF付き。

階乗の評価「n≧2のときn!＜((n+1)/2)ⁿ」を、1からnまでのn個の数に相加相乗平均をまとめて適用して証明します。急所は等号条件の確認——1≠2だから厳密な不等号が言えること。n=5では120と243。無料PDF付き。

有病率1%、感度95%、偽陽性3%という仮の設定の検査で陽性が出たとき、実際に病気である確率は約24.2%。直感が大きく外れる条件付き確率をベイズの考え方で完全解説。有病率が0.1%なら約3.1%まで下がる理由も。無料PDF付き。

三角形の各頂点と対辺上の点を結ぶ3直線が1点で交わる条件「チェバの定理」を完全解説。3つの比をすべて面積の比に翻訳すると、掛け合わせた瞬間に約分されて1になります。逆の証明（同一法）や、重心・内心の共点性が一気に従うことまで。無料PDF付き…

複素数平面の背骨「(cosθ+isinθ)ⁿ=cos nθ+i sin nθ」を数学的帰納法で証明し、負の整数乗まで広げます。帰納段で現れるのは加法定理そのもの。(1+i)¹⁰=32iを2通りで検算する手順つき。無料PDF付き。

定積分∫₀^(π/2) sinⁿx dxの漸化式Iₙ=(n−1)/n·Iₙ₋₂を部分積分で導きます。右辺に自分自身が戻ってくるのは失敗ではなく移項の材料。I₅=8/15、I₆=5π/32の計算と、ウォリスの公式への道筋つき。無料PDF付き。

奈良教育大学2020前期出題「n²+n+41は素数である、の真偽を示せ」を完全解説。n=0〜39で素数なのにn=40で1681=41²になる仕組み、そして「定数でない整数係数多項式で常に素数値をとるものは存在しない」の証明まで。無料PDF付…

千葉大学2014前期・第13問出題「1+1/2+…+1/n（n≧2）は整数にならない」を完全解説。n以下で2の最高べき2^mを持つ項がただ1つという事実から、N=2^{m−1}Lを掛けて分母に2を生き残らせる論法。高校範囲で完結。無料PDF…

難関大頻出「aⁿ−1が素数ならa=2」「2ⁿ−1が素数ならnは素数」を完全解説。同じ因数分解x^k−1=(x−1)(x^{k−1}+…+1)を底と指数の2箇所に当てる技術、2047=23×89で逆が成り立たないことまで。無料PDF付き。

定番「Σ[k=1..n]1/(k(k+1)(k+2))」を完全解説。隣り合う2項の差を先に計算して分解を見つける技術、答えn(n+3)/(4(n+1)(n+2))、極限1/4、一般形1/(m·m!)まで。望遠鏡和の実戦。無料PDF付き。

空間ベクトルの名問「四面体の対辺の中点を結ぶ3線分は1点で交わり互いに二等分される」を完全解説。3通りの計算がすべて(a+b+c+d)/4になる仕組み、交点が重心と一致すること、頂点と対面重心を結ぶ線分の3:1まで。無料PDF付き。

整数の定番「x²+y²=z²ならx,y,zの少なくとも1つは5の倍数」を完全解説。平方数を5で割った余りは0,1,4しかないという事実から候補を潰す剰余表の論法、3・4の倍数と合わせてxyzが60の倍数になることまで。無料PDF付き。

数強塾の要点辞典 全57章のうち32章について、対応する『毎日の数学』の無料プリント413枚を章ごとに一覧にしました。読んだ単元をその日のうちに手を動かして確かめられます。プリントがまだ無い25章も明記。

久留米大学医学部2023前期・第3問(2)出題「Σ[k=1..n]k·2^k を求めよ」を完全解説。公比2を掛けて1つずらし差をとると等比数列の和が残る定石、答え(n−1)2^{n+1}+2、n=5での検算、無限級数Σkr^kへの発展まで。…

三角比の定番「三角形の面積S=rs（内接円の半径r）」と「直角三角形でr=(a+b−c)/2」を完全解説。内心と3頂点を結んで面積を3分割する発想、5:12:13でr=2、ヘロン・正弦定理と結ぶ面積の4つの顔、一橋大2007後期の類題まで。…

慶應義塾大学理工学部2008出題「さいころ100回で1の目がちょうどk回出る確率を最大にするk」を完全解説。差ではなく比P(k)/P(k−1)をとると階乗が約分される定石、答えk=16、一般に(n+1)pの整数部分という結論まで。無料PDF…

首都大学東京（現・東京都立大学）2019前期文系第1問(2)出題「∫(x−α)(x−β)dx=−(β−α)³/6の証明」を完全解説。x−α=tの平行移動で3行、1/12公式（3次関数と接線）、ベータ積分という一般形まで。阪大2022文系でも…

整数分野の必修「一次不定方程式17x+5y=1」を完全解説。互除法を逆にたどって1組を作り、差をとって一般解へ。17と5が互いに素という一言が論証の要。右辺が3の場合、合同式の逆元・RSAへの接続まで。無料PDF付き。

ベクトルの定番「三角形OABの面積の内積表示」を完全解説。sin²+cos²=1と内積の定義から導き、根号の中が正である保証はコーシー・シュワルツ。空間でも角度を求めずに面積が出る強み、平面版½|a₁b₂−a₂b₁|との一致まで。無料PDF…

大阪教育大学2010後期・第2問出題「ヘロンの公式S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))の証明」を完全解説。16S²=4b²c²−(b²+c²−a²)²を2乗の差で因数分解して4つの1次式の積へ。3:4:5での検算、S=rs=abc/4…

数IIIの定番「a₁=1, a_{n+1}=√(2+aₙ)の極限」を完全解説。0＜aₙ＜2の帰納法、有理化で2−a_{n+1}≤(1/3)(2−aₙ)を作りはさみうち、「収束を仮定してα=2」だけでは証明にならない採点の急所まで。無料PDF…

数IIIの定番「y=x^x(x＞0)の最小値」を対数微分法で完全解説。log y=x log xから y'=x^x(log x+1)、x=1/eで最小値e^{−1/e}≈0.692、x→+0で1に近づく挙動、e^π＞π^eへの接続まで。答案…

確率の名問「数直線上を±1に等確率で動く点が2n回後に原点にある確率」を完全解説。奇数回は0の理由、2n回中n回を選ぶ数え上げ、p₄=3/8の全列挙検算、スターリング近似1/√(πn)と再帰性まで。無料PDF付き。

大阪歯科大学1973出題「素数は無限に多く存在することを証明せよ」と発展「4で割ると3余る素数も無限」を完全解説。p₁…pᵣ+1が新しい素因数を生む仕組み、30031=59×509という実例、mod 4の積の性質、千葉大2009の6n−1型…

図形の定番「メネラウスの定理の証明」を完全解説。3頂点から直線ℓへ下ろした垂線の長さh_A,h_B,h_Cで3つの比を翻訳すると、掛けた瞬間に約分されて1が残る仕組み。チェバの定理との双子関係まで。答案例つき無料PDF。

『毎日の数学』全429枚を28単元に整理した索引。因数分解・2次関数・確率・整数の性質・極限まで、学年をまたいで同じ単元のプリントを串刺しで探せます。中1〜高3・解答つきPDF・全て無料。

常用対数表なしでlog₁₀2を評価する定番「3/10＜log₁₀2＜10/33」を完全解説。2^10=1024＞10³・2^33＜10^10という累乗比較への翻訳、小数第2位0.30の確定、2^100は31桁などの桁数問題への応用まで。無料…

岡山大学2013前期（文系第3問）出題「サイコロをn回投げた最大値Mがkになる確率(k/6)ⁿ−((k−1)/6)ⁿ」を完全解説。M≤kという累積事象から差をとる設計、n=3でM=6の確率91/216、分布関数・期待値への発展まで。無料PD…

大阪大学1997後期・理系出題「eが無理数であることを示せ」を完全解説。2＜e＜3の等比評価、q!を掛けて頭を整数化し裾を1/q未満に押さえる論法、根号型と並ぶ無理数証明の第2の型として整理。答案例つき無料PDF。

大分大学2011前期・医学部出題「正弦定理の証明」を完全解説。直径BA'を引いてsinAを直角三角形で実現する補助線、鋭角・直角・鈍角の3場合分け、鈍角で効く内接四角形の対角和180°まで。答案として書ける形の無料PDF。