なぜ？数学辞典

文字係数を含む二次方程式は判別式の前に最高次係数A(k)=0を確認。一次・定数矛盾・恒等式への退化と実数解2・1・0・無限個を独自例題とSVGで整理します。

放物線と直線が接する条件を、差h=f-gと判別式D=0から本質的に解説。接点座標・一点からの2接線・2本への同時接触まで、独自例題とSVGで学べます。

放物線とx軸の共有点の個数を、グラフの条件から差の関数h(x)=f(x)-0へ翻訳し、判別式Dの符号で数える。次数低下、パラメータ、「2本とも」の共通部分までオリジナル図で解説します。

二次不等式の解き方を「0と比べる→根で区切る→符号で区間を選ぶ」の3段階で解説。D>0・D=0・D<0の完全表、基本4型、連立、全実数条件まで図解します。

判別式D=0で重解になる理由を、解の公式・二解の距離・平方完成・グラフの4方向から理解します。√Dが消えると二つの解が同じ場所へ重なる仕組みを、数強塾オリジナル図解で説明します。

aₙ₊₁＝paₙ＋qで、なぜ特性方程式を引くと等比数列になるのか。冒頭の問題と図から途中式を説明し、p＝1・0・負の例、収束条件、確率漸化式まで7問の解答で確かめます。

6の正体は 1/3 − 1/2 の通分、3乗の正体は「長さの因子2つ＋積分1つ」。置換 t＝x−α で1回積分するだけで公式が出てくる過程を追い、放物線どうしで囲む面積で「a は係数の差」を実際に使って確かめます。

実係数の方程式の虚数解が a＋bi と a−bi の対になる理由を、解の公式の ± と、共役が和・積を通り抜ける性質の2通りで説明。係数に虚数が混じると成り立たない反例、頂点のx座標と実部が一致する話まで。

xⁿ の公式は指数が定数のとき、aˣ の公式は底が定数のとき。底も指数も動く x^x はどちらにも入りません。log が指数を前に出す性質を使って積に変える手順を、x^x の微分と数値検算つきで解説します。

0の階乗が1になる理由を、(n+1)!＝(n+1)n! と組合せの公式ₙCᵣ＝n!/{r!(n−r)!} の両方から説明します。0!＝0 にすると二項定理まで壊れること、「やり方が無い」と「何もしないというやり方が1つある」の違いまで。

三平方の定理が鋭角と鈍角を分ける境界線である理由を余弦定理の分子の符号から解説。2辺が3と4のとき√7

三角定規にない15°の値が出せる理由を、15°=45°−30°の加法定理から導出。半角公式による別解と二重根号、和と差の積による検算まで解説。

cos36°=(1+√5)/4 を暗記でなく図形から導く。頂角36°の二等辺三角形に∠Bの二等分線を引くと相似が入れ子になり、x²+x−1=0 の判別式5から√5が生まれる仕組みを解説。

方程式を変数置換して解の個数を数える方法を解説。置換後の値域、1つのtに対応するxの個数、境界値を、独自例題10問で体系的に確認します。

最大の数の疑問から無限大を解説。∞−∞と∞/∞の具体例、有理化、＋∞への発散、自然数と偶数の濃度、拡張実数・基数・順序数、対角線論法まで、3図と10題の答え・ヒント・途中式で学べます。

1/nは0にならないのに極限は0。その理由を、冒頭の問題と答え、3図と9題の詳解で説明。0.999…=1、関数の穴、0/0、連続性、ε–N・ε–δ、Cauchy列と一様収束まで段階的に学べます。

平方数を4で割った余りが0か1に限られる理由を、偶奇での場合分けと合同式の2通りで示します。x²+y²=3に整数解がないこと、ピタゴラス数の一方が必ず偶数になること、平方剰余への接続まで。自作演習5問つき。