数学の勉強法

最大最小とは値域の端を求めること。まず動く文字を数え、消せるなら消して範囲を翻訳し、消せないなら1文字ずつ動かすか存在条件を書く——方針を1枚の地図に整理します。相加相乗で等号が取れない罠、対称式の実数条件も。オリジナル問題9問と全解答つき…

積分は「細かく切って足す」。面積を関数と見て微分すると元に戻る——これが基本定理で、面積が原始関数の差で求まる理由です。さらに差分とΣ、微分と積分が1つの正方形をなすことを表で確認。1/6公式の導出、上−下のルール、絶対値の積分まで。オリジ…

微分は中2で習った「変化の割合」の区間を限りなく狭めただけ。だから接線の傾きであり瞬間の変化率です。(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ を二項定理から導き、f(a+h)≒f(a)+f′(a)h という1次近似で増減の理由まで説明。f′(a)=0 が極値…

n次以下の多項式はn+1個の点での値で完全に決まる（一致の定理）。証明は「差を取ると次数より多い根をもつ」だけ。そして「接する」とは同じ点を通り傾きも一致すること＝f-gが(x-a)²を因数にもつこと。判別式が使えるのは2次だけである理由ま…

割り算の本体は「余りの次数は割る式より小さい」というルール。だから余りの形は最初から決まっていて、係数を決めるだけです。剰余の定理・因数定理の3行の証明、(x-a)²で割る余りを微分で出す方法、高次方程式の解の探し方まで。オリジナル問題9問…

軌跡とは条件を満たす点の集合＝真理集合。通過領域は「そのパラメータが存在するか」＝逆像法です。パラメータを消しても範囲は消えないこと、主役をx,yからパラメータへ入れ替えること、そして「aの値によらず（すべて）」と「aが動くとき（ある）」の…

動く文字は1つずつ処理する。求める値をkとおき「kが実現できる＝そんな実数が存在する」に翻訳するのが逆像法です。実数条件を落とす失点、2解がともに正の条件、順像法との使い分け、定数分離で実数解の個数まで。オリジナル問題9問と全解答つき。数強…

関数の正体は式ではなく「対応」。だから「値域を求める」は「f(x)=k を満たす x が存在する k を求める」に翻訳できます。微分を使わず値域を出す方法、合成関数の定義域、逆関数が作れる条件（1対1）まで。オリジナル問題9問と全解答つき。…

展開とは各カッコから1つずつ選ぶこと。だから係数は「そうなる選び方の数」＝組合せの数になります。二項定理は覚える公式ではなく数え上げの記録。代入で等式を作る、余りを求める、近似計算する、多項定理へ広げるところまで。オリジナル問題9問と全解答…

条件付き確率とは全体集合を取り替えること。独立とは「情報を得ても確率が変わらない」こと。排反と独立を混同する誤り、そして「陽性なら病気」が16.7%にしかならない検査のパラドックスまで、人数の表で確実に解きます。オリジナル問題9問と全解答つ…

確率は場合の数の割り算——ただし分母と分子は同じルールで数えないと必ず間違えます。「同様に確からしい」の意味、同じ色の玉でも区別する理由、くじ引きの順番は不利にならないことの証明、誕生日問題まで。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾の無料…

重複組合せの公式は覚えなくていい。○と仕切り棒の絵さえ描ければ、方程式の非負整数解も「同じものを配る」問題も全部同じ問題になります。玉と箱を区別するかしないかの4パターンを表で整理し、空箱なしは包除原理で処理。オリジナル問題9問と全解答つき…

数えるとは1対1の対応をつけること。だから数えにくいものは数えやすいものに翻訳すれば勝ちです。nCrをr!で割る理由、円順列・じゅず順列・同じものを含む順列がすべて同じ「k対1対応」だったこと、最短経路の翻訳まで。オリジナル問題9問と全解答…

漸化式の解法は1つだけ。等差・等比・階差という「知っている形」に持ち込むことです。特性方程式は「引くと等比になる数」を求める式にすぎません。さらに入試で差がつく“漸化式を立てる力”を、階段・確率・図形の実例で鍛えます。オリジナル問題9問と全…

和を取る操作と差分を取る操作は互いに逆。だから階差数列の公式も an=Sn−Sn−1 も同じ話です。「ただし n≧2」が付く理由、n=1 で統一できる場合とできない場合の違い、原始数列を係数比較で作る方法まで。オリジナル問題9問と全解答つき…

Σは引き算です。中身を「隣どうしの差」にすれば真ん中が全部消える（望遠鏡和）。差分と原始数列を使えば、Σk²もΣk³も等比数列の和も、暗記なしでその場で作れます。部分分数分解と有理化が同じ操作だったことも分かります。オリジナル問題9問と全解…

対偶はP⊂Qを外側から見ただけ。だから真偽が一致します。仮定が否定形なら対偶、「少なくとも1つ」は背理法。√2が無理数、√2+√3が無理数、素数が無限にあることまで、型を意識して証明します。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾の無料講座『…

連立方程式は「かつ」。加減法・代入法が同値なのは行って帰ってこられるからで、式の本数を減らした瞬間に情報は消えます。対称式で置き換えるときの実数条件 s²-4p≧0 を落とす事故も実例で解説。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾の無料講座…

2乗は「符号という情報を捨てる」操作。だから解が増えます。両辺が0以上なら2乗は同値、√A=B ⇔ B≧0 かつ A=B²、√(x²)=|x|、場合分けは全体集合の分割。無縁解を後から捨てない解き方を身につけます。オリジナル問題9問と全解答…

方程式を解くとは真理集合を求めること。だから「真理集合を変えない変形」＝同値変形だけが許されます。0かもしれないもので割ると解が消え、掛けると解が増える理由、AB=0の扱い、答案での⇔の書き方まで。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾の無…

必要条件と十分条件は暗記するものではありません。丸を2つ描いて「小さい方が十分・大きい方が必要」。さらに入試での本当の使い道＝必要条件で候補を絞り十分性を確認する戦略を、整数問題と恒等式で実演します。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾の…

「すべての」は真理集合が全体を埋め尽くすこと、「ある」は空でないこと。だから「すべて」は最小値、「ある」は最大値に翻訳できます。否定の作り方、そして順序を入れ替えると意味が変わる罠まで。オリジナル問題10問と全解答つき。数強塾の無料講座『数…

なぜ y>f(x) は「上側」なのか。xを固定して縦線で切れば、暗記なしで分かります。境界とテスト点、積の符号の分解、絶対値と対称性、領域上の最大最小まで図つきで解説。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第…

「条件は集合」「ならばは包含」——この2つが腹落ちすると、必要十分条件も同値変形も一気に見えます。命題と条件の違い、全体集合、真理集合、反例までを中学生の言葉で解説。オリジナル問題9問と全解答つき。数強塾オリジナル無料講座『数学の原理』第1…