センター試験2017 数学Ⅰ・A 全問解説｜平成29年度 本試験 【数強塾】

第2問（必答・配点30）　三角比（外接円と面積）・データの分析（スキージャンプ）

〔1〕(1)　余弦定理 → 正弦定理の連携

【型】2辺と挟む角 → 余弦定理、対辺と対角 → 正弦定理

【なぜこうするか】　、 とその間の角 がそろっているので、残る辺 は余弦定理で一発です。

ここで 、 と、和と差の積の形が両方使えるのが気持ちいいところ。

アは6です。

外接円の半径は正弦定理。 の対角は です。

よって 。イは2です。

も正弦定理から。 の対辺は です。

ウ・エは2と6（順序は問わない）、オは4です。

【検算】　記号計算で 、、 を確認 ✓。ちなみにこの値は で、（残る ）という美しい三角形です。

【定石】　正弦定理は「辺 ÷ 対角の は全部同じ、しかも 」。外接円の半径を経由すれば、どの角の も1行で出る。

〔1〕(2)　面積の式を「積」の形で読む

【型】面積 ＝ 2辺の積 × 挟む角の ÷ 2

【なぜこうするか】　D は辺 AC 上の点なので、 は AB と AD が を挟む三角形です。(1)で を求めてあるので、面積の公式がそのまま使えます。

について解きます。

分母を有理化します。 なので

カは2、キは3、クは2、ケは3です。

最後に で割ります。分子が とそのまま因数分解できるのがポイント。

コは2、サは3です。

【検算】　、 を記号計算で確認 ✓。D が辺 AC 上にあるという条件も満たしています（）✓。

【定石】　面積が与えられて長さを求める問題は、面積公式を「2辺の積」について解く。有理化のあと分子が因数分解できるかを必ず確認する——できたら答えがきれいになる合図。

〔2〕(1)　3つの散布図を読み分ける

【型】選択肢ごとに「どの散布図の、どの点を見るか」を先に決める

【図について】　図1（3つの散布図）は当塾では再現していません。点の位置を推測で書くと不正確になるためです。大学入試センターが公開している問題冊子の30ページを手元に置いてお読みください。以下では「どの図の、どこを見ればよいか」を説明します。

【なぜこうするか】　3つの散布図は「 と 」「 と 」「 と 」の組合せです。選択肢を読んだ瞬間にどの図を見るかを確定させるのがコツ。

• ⓪ 相関の強さの比較　→ 「 と 」の図と「 と 」の図で、点が直線状にまとまっている度合いを比べます。 と の図のほうが細長く並んでおり、 と の図は横に広がっています。よって誤。
• ① と に正の相関　→ 「 と 」の図が右上がりかどうかだけ。右上がりなので正。
• ② 最大のジャンプは も最大　→ 「 と 」の図でいちばん右の点を1つ見つけ、それがいちばん上にもあるかを確認します。右端の点は上端ではないので誤。
• ③ 最大のジャンプは も最大　→ 「 と 」の図で同様に。右端の点は上端ではないので誤。
• ④ 最小のジャンプは 最小ではない　→ 「 と 」の図でいちばん左の点（ 最小）を見つけ、それがいちばん下（ 最小）でもあるかを確認。一致していないので正。
• ⑤ はすべて 　→ 「 と 」の図で、 の横線より上にある点を全部拾い、 の縦線より左に1つでもあれば偽。左側にある点が存在するので誤。
• ⑥ かつ のジャンプはない　→ 「 と 」の図で右上の角の領域が空かどうか。空なので正。

よってシ・ス・セは①、④、⑥です（順序は問わない）。

【定石】　散布図の設問は「1点だけ見る」「領域が空か見る」「全体の形を見る」の3種類に分かれる。どれなのかを先に判断すれば、探す手間が激減する。

〔2〕(2)　1次変換で分散・共分散・相関係数はどう変わるか

【型】 のとき、分散は 倍、共分散は 倍、相関係数は不変

【なぜこうするか】　 なので、これは傾き の1次変換です。定数項は以下すべてに影響しません（平均からの偏差をとると消えるから）。

分散：偏差が 倍になり、それを2乗するので

ソは④です。

共分散： 側の偏差だけが 倍、 側はそのまま。積の平均なので

したがって1.80倍です。

タは③です。

相関係数：定義は

相関係数は「共分散 ÷（両方の標準偏差の積）」です。

分子が 倍、分母も の標準偏差が 倍になるので約分されて変わりません。

チは②（1倍）です。

【ミスの罠】　共分散を 倍としてしまう誤り。2乗になるのは分散だけで、共分散は片方しか変換されていないので 倍です。「どちらの変数が変換されたか」を数えること。

【検算】　 個の乱数データ3組で 、 を作り、 を計算して実際に比を取りました。3組すべてで 、、 ✓。

【定石】　1次変換 では、平均は 倍して を足す、標準偏差は 倍、分散は 倍、相関係数は不変。相関係数が単位に依存しない量であることが、この設問の核心。

〔2〕(3)　ヒストグラムと箱ひげ図の対応づけ

【型】与えられた1つの数値（最小値108.0）を手がかりに図を特定する

【図について】　図2（ヒストグラム）と図3（箱ひげ図）も再現していません。問題冊子の34ページをご覧ください。

【なぜこうするか】　この設問の鍵は、問題文がわざわざ「1回目の最小値は 」と教えてくれていることです。この1つの数値だけで両方の図が決まります。

ヒストグラムの判定：最小値が なら、 以上 未満の階級には1つも入らないはずです。図2の A と B を見比べ、その階級の度数が0のほうが1回目。A がそれに当たります。

箱ひげ図の判定：最小値が なら、左側のヒゲの左端が 付近にあるはず。図3の a と b で左端の位置を の目盛りと比べると、a が 付近、b はもっと左です。よって1回目は a。

組合せは A と a なのでツは⓪です。

続いてテ。図3の a（1回目）と b（2回目）を、箱ひげ図の4か所で比べます。

• ⓪ 四分位範囲　→ 箱の横幅だけを比べます。a のほうが狭いので誤。
• ① 中央値　→ 箱の中の線の位置。a のほうが右にあるので正。
• ② 最大値　→ 右のヒゲの端。ほぼ同じ位置で、a が小さいとは言えないので誤。
• ③ 最小値　→ 左のヒゲの端。1回目は 、2回目はそれより左なので、1回目のほうが大きい。よって誤。

テは①です。

【ミスの罠】　③で「1回目の最小値 」という数字に引きずられて、 が小さいから正しいと思い込むこと。比べる相手は2回目です。2回目のほうがさらに左まで伸びているので、1回目の最小値は大きいほうになります。

【定石】　問題文に1つだけ具体的な数値が与えられていたら、それは図を特定するための鍵。「なぜこの値だけ教えてくれたのか」を考えると、判定の道筋が見える。