センター試験2018 数学Ⅰ・A 全問解説｜平成30年度 本試験 【数強塾】

第2問（必答・配点30）　三角比（四角形と台形の判定）・データの分析

〔1〕前半　3辺がわかっている三角形は余弦定理

【型】3辺→余弦定理→相互関係で

【なぜこうするか】　 は3辺 、、 がすべてわかっています。角を求めるなら余弦定理一択です。

アは7、イは9です。

は相互関係から。三角形の内角なので です。

ウは4、エは2、オは9です。

【定石】　余弦定理は「求めたい角をはさむ2辺と、向かい合う辺」。 から は 、符号は角の範囲で決める。

〔1〕後半　「どちらの辺が平行か」を高さで見抜く

【型】平行の候補を「点と直線の距離」でつぶす

【なぜこうするか】　 は、 を底辺 BC で見たときの高さ、つまり点 A と直線 BC の距離です。

なので 。カは⓪です。

この大小がなぜ効くのか。もし辺 AD と辺 BC が平行だとすると、D は「A を通り BC に平行な直線」の上にあります。その直線と直線 BC の距離はちょうど 。C は直線 BC 上の点ですから、

CD は2直線の距離以上、すなわち

となるはずです。ところが はこれより小さい。矛盾します。よって はあり得ず、台形である以上、平行なのはもう一方の組。キは④（辺 AB と辺 CD が平行）です。

平行がわかったので座標を入れます。、 と置き、 より C と D は同じ高さ。 として

辺々引くと 、すなわち 。このとき なので 。

は と同じ向きで長さ3だから 。

クは2、ケコは33です。

【検算】　得られた座標 、、、 で4つの長さを測り直すと 、、、 と与件がすべて再現✓。 と の外積が0（平行）も確認 ✓。 ✓。

【定石】　「台形である」だけ与えられて、どちらが平行か不明なときは、点と直線の距離で候補をつぶす。平行が決まったら座標を置くのがいちばん速い。

〔2〕(1)　ヒストグラムと箱ひげ図を突き合わせる

【型】選択肢ごとに「図のどこを見るか」を決めてから読む

【図について】　図1（ヒストグラム）と図2（箱ひげ図）は、当塾では再現していません。読み取り値を推測で書くと不正確になるためです。大学入試センターが公開している問題冊子の29ページを手元に置いてお読みください。以下では「図のどこを、どう比べればよいか」を説明します。

【なぜこうするか】　7つの選択肢は、それぞれ見るべき図と見るべき量がはっきり違います。手当たり次第に眺めるのではなく、選択肢を読んだ瞬間に「箱ひげ図のヒゲの端」「箱の幅」「箱の中の線」のどれを見るかを決めるのがコツです。

• ⓪ 範囲　→ 図2で、各グループのヒゲの左端と右端の差を比べます。女子短距離は左端がいちばん左まで伸びていますが、右端は男子ほど伸びていません。差がいちばん大きいのは男子短距離なので誤。
• ① 四分位範囲　→ 図2で箱の横幅だけを見ます。四つとも箱の幅は10前後で、目盛りの12には届きません。正。
• ② 男子長距離の中央値の階級　→ 図1の男子長距離のヒストグラムでいちばん高い柱を確認し、図2の男子長距離の箱の中の線（中央値）がその階級に入るかを見ます。中央値の線は最頻階級より右側にあり、誤。
• ③ 女子長距離の第1四分位数の階級　→ 同様に、図1の最頻階級と、図2の箱の左端（第1四分位数）を突き合わせます。第1四分位数は最頻階級より左側にあり、誤。
• ④ 最も背の高い選手　→ 図2のヒゲの右端だけを比べます。最も右まで伸びているのは男子短距離で、誤。
• ⑤ 最も背の低い選手　→ 図2のヒゲの左端だけ。最も左まで伸びているのは女子短距離で、誤。
• ⑥ 180以上182未満　→ 図2で、男子短距離の箱の中の線と、男子長距離の箱の右端の位置を、180の目盛りと比べます。どちらも180をわずかに超えたところにあり、正。

よってサ・シは①と⑥です（順序は問わない）。

【ミスの罠】　②と③は「ヒストグラムの最頻階級」と「四分位数」という別の図の別の量を突き合わせる問題です。ヒストグラムだけ見て「真ん中あたりが最頻だから中央値も入るはず」と決めつけると引っかかります。分布が左右対称でない限り、最頻階級と中央値は一致しません。

【定石】　箱ひげ図は「ヒゲの端＝最小・最大」「箱の両端＝第1・第3四分位数」「箱の中の線＝中央値」。選択肢を読んだら、この4か所のどれを見るかを先に決める。

〔2〕(2)　散布図の補助直線は「 の等高線」

【型】 だから、原点を通る直線の傾きがそのまま

【図について】　図3（散布図）と図4（ の箱ひげ図）も再現していません。問題冊子の31ページをご覧ください。

【なぜこうするか】　この設問の急所は、補助直線 〜 の意味です。

つまり原点を通る傾き の直線。傾き15、20、25、30の4本は、そのまま「、、、 の目盛り線」です。ある点がどの2本の直線の間にあるかを見れば、その選手の がわかる。これが読み取りの道具になります。

（ちなみに は身長をメートルに直して2乗した値なので、 は体格指数 BMI と同じ量です。）

• ⓪ 負の相関　→ どのグループの散布図も右上がり（背が高いほど重い）。正の相関なので誤。
• ① の中央値が最大なのは男子長距離　→ 図3で、点の塊が最も急な直線側（上側）に寄っているグループを探します。長距離選手は同じ身長でも軽いので、塊は下側。中央値が最大なのは男子短距離であり誤。
• ② の範囲が最小なのは男子長距離　→ 図4でヒゲの端から端までがいちばん短い箱ひげ図を探します。それは(d)＝女子長距離であり誤。
• ③ の四分位範囲が最小なのは男子短距離　→ 図4で箱の幅を比べます。男子短距離に対応する(a)は箱がいちばん広く、誤。
• ④ 女子長距離のすべての が25未満　→ 図3の女子長距離で、点の塊が （傾き25）より下に収まっているかを確認します。収まっているので正。図4なら(d)のヒゲの右端が25に届いていないことで確認できます。
• ⑤ 男子長距離の箱ひげ図は(c)　→ 図3の各グループで、点の塊が 〜 のどのあたりに乗っているかを読み、 の中心と広がりを図4の4つと突き合わせます。対応は(a)男子短距離、(b)女子短距離、(c)男子長距離、(d)女子長距離。正。

よってス・セは④と⑤です（順序は問わない）。

【定石】　散布図に原点を通る補助直線が引いてあったら、それは「比の値の等高線」。比を扱う設問では、割り算をせずに「どの直線の間にあるか」で読める。

〔2〕(3)　偏差の積の和を、積の和に直す

【型】シグマで書いて素直に展開する

【なぜこうするか】　 記号で書いて展開します。

ここで問題文がヒントにしている等式を使います。、 なので

同じ形が 個分だけ残るので

ソは②です。

【ミスの罠】　最後の項が3つとも同じ形なので、符号と個数の管理が命。 個と機械的に数えること。 を落として⓪を選ぶミスが最頻です。

【検算】　 の乱数データ3組で左辺と右辺を数値計算すると、差はいずれも 台（浮動小数点誤差のみ）✓。さらに の文字式のまま記号展開して差を取ると厳密に0✓。

【定石】　共分散の計算式 の導出そのもの。分散の と同じ構造なので、セットで覚える。