センター試験2018 数学Ⅱ・B 全問解説｜平成30年度 本試験 【数強塾】

第1問（必答・配点30）　三角関数（弧度法・合成）／指数・対数（不等式が常に成り立つ条件）

〔1〕(1)(2)　弧度法の定義と換算

【型】 ラジアン

【なぜこうするか】　弧度法の定義は「半径1の円で、弧の長さがそのまま角の大きさ」です。半径 、中心角 （ラジアン）の扇形の弧の長さが であることの出発点。よってアは②です。

面積で定義した⓪は誤り。半径1、面積1の扇形の中心角は から となり、1ラジアンにはなりません。

換算は を使うだけです。

イは4、ウは5です。

エオカは345です。

【定石】　度からラジアンは 、ラジアンから度は 。 を覚えておくと、分母12の換算が暗算になる。

〔1〕(3)　置き換え → 加法定理 → 合成の3段構え

【型】

【なぜこうするか】　まず置き換え。 より なので

キは6です。分母を30に揃えて引くだけの計算ですが、ここを外すと以降が全滅します。

加法定理で展開します。

これを代入すると

よって 。クは3です。

合成します。 なので

したがって 。ケは3、コは2です。

ここからが正念場。角の範囲を正しく引き継ぐ必要があります。

なので、分母30に揃えて

この範囲で となるのは と の2つの候補のうち、後者だけ。

サシは29、スセは30です。

【ミスの罠】　置き換えたあと範囲の変換を忘れて、 のほうも解にしてしまうミス。マーク欄は1つしかないので、2つ出たら必ず範囲で絞ると気づけます。

【検算】　 を から まで400万分割し、①の左辺 の符号が変わる点を数値的に探索すると、解はただ1つ 。 と一致 ✓。加法定理・合成の各変形も記号計算で差が厳密に0であることを確認しました ✓。

【定石】　置き換えたら範囲も置き換える。三角方程式は「変形 → 範囲の変換 → 単位円で解を選ぶ」の3手順を必ずこの順で。

〔2〕前半　対数をとって2次不等式にする

【型】指数が変数なら、両辺の対数をとる

【なぜこうするか】　左辺 は指数の位置に がいるので、対数をとらないと手が出ません。底3で両辺の対数をとります（ は単調増加なので不等号の向きは変わりません）。

左辺：

右辺：

よって 、移項して

ソは2、タは3です。

のとき なので

したがって または 。チは1、ツは2です。

に戻します。 は 、 は 。ここに真数条件 を加えて

テは0、トは3、ナは9です。

【検算】　 を代入した元の不等式 を、 を から60まで90万点で直接数値評価しました。成立する範囲は と のちょうど2区間で、対数をとって得た答えと完全に一致 ✓。

【定石】　指数に変数が入っていたら両辺の対数。 と置いて2次不等式に持ち込み、最後に必ず真数条件 を戻す。

〔2〕後半　「常に成り立つ」は判別式

【型】すべての実数 で 判別式

【なぜこうするか】　まず の動く範囲。 全体で は実数全体を取ります（対数関数の値域）。ニは②です。

これで問題が「すべての実数 について 」という、教科書どおりの形になりました。下に凸の2次関数がつねに 軸より上（または接する）条件は、判別式が0以下。

ヌは3、ネは4です。

最後に の形に戻します。

ハヒは27です。指数を の形にまとめてから根号にするのがきれいな流れです。

【ミスの罠】　 を としてしまう取り違え。分母が根号の指数、分子が中身の指数です。

【検算】　、、 の3通りで を の20万点で数値評価し、最小値を比べました。 では最小値 で不成立、 でちょうど 、 では で成立。境界が にあることが数値でも確認できました ✓。また を記号計算で確認 ✓。

【定石】　「すべての〜で成り立つ」＝判別式。ただし変数の動く範囲が実数全体であることを先に確認してから使う。範囲が限定されるなら、判別式ではなく頂点と端点の議論になる——この設問がニをわざわざ聞いているのはそのためです。