センター試験2019 数学Ⅰ・A 全問解説｜平成31年度 本試験【数強塾】

第1問〔1〕（必答・配点30のうち）　絶対値を含む式の場合分け

(1)　 は絶対値になる

【型】。中身の符号で場合分け

【なぜこうするか】　まず平方完成、というより完全平方の見抜きです。

アは3、イは1です。

ここで絶対に間違えてはいけないのが次のところ。

平方根は必ず0以上なので、中身が負のときは符号が反転します。したがって

絶対値が2つあるので、それぞれの中身が0になる点で場合を分けます。 は 、 は 。問題文が3つの場合を提示しているのは、この2点で数直線を3つに切ったからです。

　このとき 、 なので両方そのまま外れます。

ウは4、エは1です。

　、 なので、前だけ符号が反転します。

オカは 、キは3です。

　両方とも中身が負なので、両方反転。

これは確かに 、つまり問題文の ウエの形です。

【検算】　各区間で50点ずつサンプルをとり、絶対値のままの と場合分けした式の値を比べたところ、3区間すべてで完全に一致しました ✓。

【定石】　。ルートを外すときに符号の検討を飛ばすのが最頻出のミス。絶対値が複数あるときは中身が0になる点で数直線を切る。

(2)　方程式を解いて、範囲の条件で選別する

【型】場合ごとに解き、その場合の範囲に入るかを必ず確認する

【なぜこうするか】　3つの場合それぞれで方程式を立て、出た解がその場合の範囲に入っているかを検査します。ここを飛ばすと嘘の解を拾ってしまいます。

のとき

なので適する。クは6です。

のとき

は より小さいのでこの場合の範囲に入りません。したがって不適。

のとき

は より小さいので適する。ケコは 、サは3です。

答えは と の2つ。3つ解いて2つ残る——この「1つ捨てる」設計が、範囲の確認を怠らせないための仕掛けです。

【検算】　3つの場合を機械的に解いて範囲判定させると、（範囲内）、（範囲外）、（範囲内）。捨てるべきものが確かに1つありました ✓。

【よくあるミス】　 を答えに含めてしまうこと。場合分けして得た解は、その場合の範囲を満たすかを必ず検算してください。

第1問〔2〕　条件と必要十分条件

(1)　否定を正しく読み解く

【型】「かつ」の否定は「または」（ド・モルガン）

【なぜこうするか】　 は「 が奇数かつ が奇数」。その否定は

：「 が偶数または が偶数」

「ともに奇数ではない」＝「少なくとも一方は偶数」ということです。

が奇数のとき　 は偶数ではないので、 が成り立つには が偶数である必要があります。シは⓪。

が偶数のとき　この時点で「 が偶数」が真なので、 はもう成立しています。 には何の制約もかかりません。スは②。

【定石】　ド・モルガンの法則：「 かつ 」の否定は「 または 」。「または」は片方が真なら全体が真なので、もう片方は自由になる。

【よくあるミス】　 を「 と がともに偶数」と読むこと。「かつ」の否定は「かつ」ではなく「または」です。

(2)　3つの条件の関係を、反例を作りながら判定する

【型】両方向の含意を別々に調べる。偽なら反例を1つ作る

【なぜこうするか】　「 は であるための〜条件」は（十分）と （必要）を別々に調べます。

と 　 は奇数なので、 の偶奇は の偶奇と同じ。そして が奇数 ⟺ 、 がともに奇数（片方でも偶数なら積は偶数）。したがって

両方向が成り立つのでセは⓪（必要十分条件）です。

と 　まず 。、 がともに奇数なら も奇数なので

＝（奇数）＋（奇数）＝（偶数）

成り立ちます。逆の はどうか。 の偶奇は の偶奇と同じ（ と は偶奇が一致）なので、 は「 と の偶奇が同じ」という意味。ということは両方偶数でも は成り立ちます。

反例：、 とすると で は真ですが、 は偽。よって は不成立。

片方向だけなのでソは②（十分条件だが必要条件でない）です。

と 　両方向とも反例が作れます。

• の反例：、。 が偶数なので は真。しかし は奇数で は偽
• の反例：、。 は偶数で は真。しかし両方奇数なので は偽

どちらも成り立たないのでタは③（必要条件でも十分条件でもない）です。

【検算】　、 を1から39まで動かした全1521組で6つの含意を機械的に判定しました。成立したのは 、、 の3つだけ。 は 、 は 、 は が反例として検出されました ✓。手計算で挙げた反例とまったく同じです。

【定石】　「 は であるための〜」は が十分、 が必要。偽を示すには反例を1つ挙げれば足りるので、小さい数から探す。偶奇の問題は と が同じ偶奇のような読み替えが効く。

第1問〔3〕　2次関数の頂点と平行移動

(1)　平方完成して頂点を出す

【型】頂点の は （ の係数）、 は代入

【なぜこうするか】　 の係数が1なので、頂点の 座標は の係数の 倍。

チは2です。

座標は代入して求めます。

を代入して

がきれいに消えるのが気持ちいいところ。ツは4、テは1です。

【検算】　数式処理で頂点を求めると 、。求めた式との差はどちらもちょうど0でした ✓。

【定石】　 の係数が1なら頂点の は「 の係数の半分の符号違い」。 は代入して求めるのが確実（頂点の の公式を暗記するより安全）。

(2)　通る点の条件から を の式にして最大化

【型】条件式を （ の式） に整理して、平方完成で最大を出す

【なぜこうするか】　「通る」ので 、 を代入します。

について解くと

が の2次関数になりました。上に凸なので最大値があります。平方完成すると

したがって のとき最大値 。、 はどちらも正の実数という条件も満たしています。トは5、ナは1です。

最後に平行移動の量。(1)で求めた頂点の式に 、 を代入するだけです。

座標は

座標は

頂点が なので、 を 軸方向に 、 軸方向に 平行移動したものです。

ニは3、ヌは2、ネノは 、ハは4です。

【検算】　数式処理で 、最大は で を確認 ✓。さらに を から5まで50万点に刻んで総当たりしたところ、 の最大は （）でした ✓。頂点も で一致します。

【定石】　「〜を通る」は座標を代入。文字が2つあっても、条件1本で一方を他方の式にできる。平行移動の量＝頂点の座標なので、(1)の結果をそのまま使える。