センター試験2019 数学Ⅱ・B 全問解説｜平成31年度 本試験【数強塾】

第1問〔1〕（必答・配点30のうち）　三角関数（2倍角と合成）

(1)　まずは代入して具体値を確かめる

【型】代入して値を出すだけ。あとの検算材料になる

【なぜこうするか】　 では 、 なので

アイは です。

では 、。

ウは2、エは3です。

この2つの値は、あとで求める式が正しいかを確かめる材料になります。実際(2)以降で得た式に を入れて になるかを見れば、変形ミスがすぐ発覚します。

【定石】　誘導の最初に置かれた具体値の計算は、あとの検算に使う。式変形が終わったら必ず戻って確かめる。

(2)　次数を下げて の式にする

【型】2乗を含む三角式は、半角（2倍角の逆）で次数を下げる

【なぜこうするか】　 には 、、 という2次の項しかありません。これらはすべて の1次式に書き換えられます。

2倍角の公式 を について解くと

オは1、カは2です。同じ要領で残り2つも書き換えます。

これらを代入します。

項ごとにばらすと

の係数は 、定数は 。まとめて

キは2、クは2、ケは1です。

(1)の値で検算しておきます。 を入れると 。確かに と一致しました。

【定石】　、、 の3点セットは の1次式に直せる。次数が下がれば、あとは合成できる形になる。

(3)　合成して最大値と、そのときの を求める

【型】

【なぜこうするか】　 の部分を合成します。 とおくと 、 なので

係数を でくくると

カッコの中は 。したがって

コは2、サは2、シは4です。

最大の整数値　 の最大は1なので の最大値は 。 なので

したがって がとり得る最大の整数は3。スは3です。

（この最大値が実際にとれることも確認しておきます。 は で、範囲 の中にあります。したがって は まで到達し、途中で3もとります。）

となる 　方程式を解きます。

ここで角の範囲を必ず置き換えます。 より

この範囲で が になるのは と の2つ。それぞれ に戻すと

小さい順に 、。セは4、ソは2です。

【よくあるミス】　 の動く範囲を書き換えず、 から のつもりで解くこと。置き換えたら範囲も置き換える——これを守らないと解を落としたり、余計な解を拾ったりします。

【定石】　合成は でくくり、残った係数を 、 と読む。「最大の整数」は実数の最大値を出してから床をとる。

第1問〔2〕　対数と指数の連立方程式

(1)　真数条件と底の変換

【型】対数を見たら、まず真数 を書き出す

【なぜこうするか】　対数の中身（真数）は正でなければならないので

かつ 、すなわち かつ 。

タは②です。この条件は最後に解を選別するときに効いてきますので、忘れずに控えておきます。

次に底をそろえます。 なので底の変換公式から

チは2です。これを②に入れると、 と が打ち消し合って

差は商の対数なので

分母をはらって 、つまり

ツは2、テは1です。

【定石】　対数方程式は「真数条件 → 底をそろえる → 1つの対数にまとめる」の順。 は頻出。

(2)　置き換えて2次方程式にし、範囲で解を絞る

【型】指数を1文字におき、範囲も一緒に置き換える

【なぜこうするか】　まず④を③に代入して、 だけの式にします。 なので

指数を分解します。、 なので、 とおくと

両辺を3倍して

トナは11、ニヌは18です。

ここからが本問の勝負どころ。 の範囲を求めます。 で、 なので 。底3は1より大きく単調増加なので

また指数関数は必ず正なので 。合わせて

ネは0、ノは9です。

⑤を因数分解すると

ところが は範囲 の外（境界は含まない）。したがって

ハは2です。真数条件が最後に効いて、2つの解のうち1つが消えました。

最後に 、 を求めます。 の両辺の をとると 、つまり

ヒは1、フは2です。そして④から

ヘは3、ホは4です。

【よくあるミス】　 を採用してしまうこと。 は すなわち を意味し、これは真数条件 の境界そのもので不適です。置き換えたら範囲も置き換え、最後に必ず戻って確認する。

【定石】　指数方程式は とおいて2次方程式に。 は自動で付くが、元の変数の範囲から来る追加の制限を見落とさないこと。