センター試験2020 数学Ⅰ・A 全問解説｜令和2年度 本試験【数強塾】

第1問〔1〕（必答・配点30のうち）　直線の傾きと 切片

(1)　傾きが負になる の範囲

【型】2次不等式は因数分解して符号を見る

【なぜこうするか】　傾きは そのもの。これが負になる を求めるだけです。

下に凸の放物線が負になるのは2つの解のあいだなので

アイは 、ウは4です。

【検算】　数式処理で 、不等式の解は と確認 ✓。

【定石】　（）ならあいだ、 ならそとがわ。この2択を反射で出せるようにする。

(2)前半　 切片の符号を、分子と分母に分けて考える

【型】分数の符号は「分子の符号 × 分母の符号」で場合分け

【なぜこうするか】　まず を求めます。 とおいて

分数なので、分子と分母の符号だけを追えば十分です。

の場合　分子 は負。したがって になるのは分母も負のとき、つまり

これと を合わせて 。エは0、オは4です。

の場合　 なら分子が0で となり不適。 なら分子 は正なので、 には分母も正であることが必要。

すなわち または 。

これと を合わせて 。カキは です。

【検算】　数式処理で （同じ式）を得て、 かつ の解が 、 かつ の解が であることを確認しました ✓。

【定石】　分数式の符号は「分子の符号」と「分母の符号」の掛け算。分母をはらって不等式を解こうとすると、分母の符号で不等号の向きが変わるので事故りやすい。

【よくあるミス】　 を含めてしまうこと。 では であって ではありません。境界は必ず個別に確認します。

(2)後半　 を代入して有理化する

【型】分母に無理数が残ったら、共役をかけて有理化

【なぜこうするか】　 を代入します。分母から計算すると

したがって

分母の共役 を分子・分母にかけます。

クは5、ケは3、コは6、サシは13です。

【検算】　数式処理で に を代入して整理すると 。 との差はちょうど0 ✓。数値でも両方 で一致しました。

【定石】　 で分母の無理数を消す。マーク式は答えの形が指定されているので、指定された形になるまで整理するのが正解確認にもなる。

第1問〔2〕　集合と命題（倍数の条件）

(1)　具体的な数がどの集合に属するか

【型】具体的な数を、条件ごとに〇×で判定する

【なぜこうするか】　 について、3つの条件を順に確かめるだけです。

• →4の倍数。 は真、つまり
• は割り切れない →6の倍数でない。 は偽、つまり
• は割り切れない →24の倍数でない。 は偽、つまり

に属し に属するので、選択肢のうち 。スは②です。

他の選択肢は や を含むので、 が入る余地がありません。⑤ は「4の倍数でもない」ので不適です。

【検算】　プログラムで 、、 を確認 ✓。

【定石】　集合の記号問題は具体数を1つ持ち込んで〇×表を作るのが最速。抽象的にベン図を描くより速く確実。

(2)　 の最小元と、 との関係

【型】「両方の倍数」＝最小公倍数の倍数

【なぜこうするか】　 は「4の倍数かつ6の倍数」＝4と6の公倍数の集合。最小のものは最小公倍数です。

セソは12です。

次に と （24の倍数の集合）の関係。 は割り切れないので は24の倍数ではありません。したがって

タは④です。

ここが記号の落とし穴です。 は要素であって集合ではないので、 や は使えません。要素と集合を結ぶのは か だけです。

【検算】　1から200まで走査して「4の倍数かつ6の倍数」の最小を求めると12 ✓。 なので ✓。

【定石】　/ は要素と集合、/ は集合と集合。この使い分けを問う小問は頻出。

【よくあるミス】　、つまり「4の倍数かつ6の倍数なら24の倍数」と思い込むこと。 につられますが、正しくは最小公倍数の12です。この誤解こそが次の(3)の主題になります。

(3)　反例になるのはどの命題か

【型】反例＝「仮定は真、結論は偽」になる例

【なぜこうするか】　 について、まず3条件の真偽を固定します。

：真（ は4の倍数）　：真（ は6の倍数）　：偽（ は24の倍数でない）

反例とは「仮定が真なのに結論が偽」になる例のこと。4つを順に見ます。

• ⓪ ：仮定は真。結論 は が偽なので真。命題は成り立つ → 反例でない
• ① ：仮定は真。結論 は真。成り立つ → 反例でない
• ② ：仮定 が偽。仮定が偽の命題は無条件に真 → 反例でない
• ③ ：仮定は真、結論 は偽。命題が成り立たない → これが反例

チは③です。

③は「4の倍数かつ6の倍数なら24の倍数」という主張。(2)で見たとおり正しくは12の倍数なので、 がまさに反例になります。

【検算】　4つの命題を関数として実装し、 を入れたところ、真になったのは⓪①②の3つで、③だけが偽でした ✓。

【定石】　「仮定が偽なら命題全体は真」（空虚な真）。②で引っかからないために、この規則を必ず押さえる。反例を探すときは仮定が真になる例だけを調べればよい。

第1問〔3〕　2次関数のグラフの平行移動

(1)前半　2つの 切片から式を作る

【型】 切片が 、 なら

【なぜこうするか】　 を平行移動したのだから の係数は1のまま。 軸との交点が と なので

展開します。

の係数を の形に整えると なので

ツは2、テは4です。

ついでに平方完成しておくと、あとが楽になります。

頂点は 。 がどんな値でも 座標は で固定です。2つの 切片の間隔が4で一定なのだから、当然といえば当然です。

【検算】　数式処理で を展開し、 との差がちょうど0 であることを確認 ✓。

【定石】　 切片がわかっているなら因数分解形から入る。展開は最後でよい。平行移動しても の係数は変わらない。

(1)後半　線分と共有点をもつ条件

【型】縦の線分との共有点は「 での の値」だけで決まる

【なぜこうするか】　線分は の上にあり、 が から までの部分。 は でただ1つの の値をとるので、その値が 以上 以下なら共有点をもち、そうでなければもちません。

を代入します。因数分解形のほうが速い。

条件は

2本に分けて解きます。

右側　

左側　、すなわち または

両方を満たす範囲は

（この2つのどちらか、という意味です。）

トは1、ナは0、ニは2、ヌは3です。2つの区間に分かれるのがこの問題のポイントで、答え欄が2組あることがヒントになっています。

【検算】　数式処理で連立不等式を解くと ✓。さらに を から まで90万点に刻んで総当たりしたところ、条件を満たす区間は と のちょうど2つでした ✓。

【定石】　縦の線分（ が固定）との共有点は、その での関数値が線分の の範囲に入るかだけを見る。連立不等式は2本に分けて、最後に共通部分をとる。

(2)　平行移動の量と 切片

【型】平行移動の量＝頂点の座標

【なぜこうするか】　まず を決めます。 が を通るので、さきほどの が 。

いまは の場合を考えているので、 より が該当します（ は範囲外）。

平行移動の量は頂点の座標そのもの。(1)で平方完成しておいたので即座に出ます。頂点は だったので

軸方向に 、 軸方向に 。

ネは3、ノは3、ハヒは です。

最後に 切片。 を代入します。

フは8、ヘは6、ホは3です。

【検算】　数式処理で を代入した を作り、頂点を求めると 、 で一致 ✓。 での値は で、こちらも差がちょうど0でした ✓。

【定石】　「 を 軸方向に 、 軸方向に 平行移動」＝「頂点が 」。平方完成さえしておけば、平行移動量は読むだけで済む。