2020年（令和2年度）大学入試センター試験 本試験の数学Ⅱ・数学Bについて、問題文をTeXで再掲したうえで、全問の解答と解説を掲載します。執筆は数強塾代表・藤原進之介です。
2020年はセンター試験の最終回です。翌2021年から大学入学共通テストに切り替わりましたが、問われている解法の型そのものは今も有効で、共通テスト対策の演習素材として十分に使えます。
解答はすべて大学入試センターが公表した正解表と突き合わせ、全問一致を確認したうえで公開しています。加えて、各小問に数式処理や総当たり計算による独立検算をつけました。
第1問から第5問まで全30問を公開しています（第1問・第2問が必答、第3問〜第5問は3問中2問選択）。
この記事の目次
- 第1問〔1〕（必答・配点30のうち） 三角関数（加法定理・合成・解と係数の関係）
- 第1問〔2〕 指数と対数
- 第2問（必答・配点30） 2つの放物線の共通接線と面積
- 第3問（選択・配点20） 数列（置き換えで階差型に持ち込む）
- 第4問（選択・配点20） 空間ベクトル（平面上の点と四面体の体積）
- 第5問（選択・配点20） 確率分布と統計的な推測（図書館の利用状況）
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第1問〔1〕（必答・配点30のうち） 三角関数（加法定理・合成・解と係数の関係）
三角関数の加法定理と合成を使って不等式を解き、続いて と が2次方程式の解になる場合を考える。
(1) ア3 イ2 ウ3 エ3 オ2 カ3 キ5 ク3
(2) ケ1 コ2 サ4 シ5 ス3 セ5 ソ3
(1)前半 加法定理でばらし、合成で1つにまとめ直す
(1) のとき …① となる の値の範囲を求めよう。加法定理を用いると である。よって、三角関数の合成を用いると、①は と変形できる。
【型】いったん 、 にばらしてから合成し直す
【なぜこうするか】 と は角がずれていて直接比べられません。そこで加法定理で展開し、共通の 、 に揃えます。
、 を代入して
アは3、イは2、ウは3です。
これで①は
右辺をすべて左辺へ移します。 なので
ここで右辺を合成します。、 と読み替えると
したがって①は 。エは3です。
【検算】 数式処理で を簡約するとちょうど になりました ✓。だから①は 、すなわち です。
【定石】 角がバラバラなら、まず加法定理で 、 に統一する。そのうえで の合成で1つにまとめる。この「ばらす→まとめる」の往復が三角関数の基本動作。
(1)後半 合成後の角の範囲に直す
したがって、求める範囲は である。
【型】 を1つの変数と見て、範囲ごとずらす
【なぜこうするか】 とおきます。 の範囲も一緒にずらすのがポイント。
この範囲で となるのは 。（ の動く範囲は から までなので、 を超えた先は の領域で該当しません。）
に戻すと
オは2、カは3、キは5、クは3です。
【検算】 数式処理で不等式①を 上で直接解かせたところ、解は開区間 、数値では でした ✓。
【よくあるミス】 の範囲をずらし忘れて、 のまま と答えること。置き換えたら範囲も置き換える——これを徹底しないと三角不等式は必ず落とします。
(2)前半 解と係数の関係と
(2) とし、 を実数とする。 と は の2次方程式 の解であるとする。このとき、解と係数の関係により と の値を考えれば、ケコであることがわかる。
【型】 を橋渡しに使う
【なぜこうするか】 解と係数の関係から、2つの解の和と積がすぐ出ます。
この2つは無関係ではありません。 が両者を結びつけます。
代入して
両辺を25倍すると 、よって 。ケコは12です。
【定石】 と はセット。片方がわかればもう片方も決まる（（和）（積））。「和と積」を扱う解と係数の関係と相性が抜群。
(2)後半 、 を確定し、 の位置を絞る
さらに、 が を満たすとすると、、 である。このとき、 はソを満たす。（ソの解答群）⓪ ① ② ③ ④ ⑤
【型】2次方程式を実際に解いて、大小条件で振り分ける
【なぜこうするか】 が決まったので、方程式そのものが解けます。
解の公式で
よって と 。
という条件から、大きいほうが です。
サは4、シは5、スは3、セは5です。おなじみの3:4:5の直角三角形が出てきました。
最後に の位置。選択肢の境界は 、、、、 です。
厳密な角度を出さなくても判定できます。 なので （45°より大きい）。一方 で、 はこれより小さいので （60°より小さい）。
これは選択肢③の範囲に含まれます。ソは③です。
【検算】 ラジアン 。6つの選択肢の区間を順に判定すると、該当するのは③（45°以上60°未満）だけでした ✓。 も確認済みです。
【定石】 角度の範囲を選ぶ問題は境界の ・ の値と比べるだけでよく、逆三角関数の値を求める必要はない。 と の大小は が境目。
第1問〔2〕 指数と対数
(1) 指数の対称式を、次数を上げながら順に求める。(2) 対数の連立不等式を 、 の1次不等式に直して考える。
(1) タ1 チ1 ツ1 テ3 ト－ ナ3 ニ6
(2) ヌ2 ネ1 ノ0 ハ3 ヒ－ フ4 ヘ7 ホ5
(1) 2乗して次数を上げていく
(1) は正の実数であり、 を満たすとする。このとき タチである。さらに 、トナニである。
【型】 がわかったら、2乗して へ
【なぜこうするか】 とおくと なので、条件は 。これは対称式の典型です。
2乗すると、真ん中の項が定数になるのがポイント。
なので 。タチは11です。
次に 。今度は足すほうの2乗を作ります。真ん中の符号だけが変わります。
なので 、したがって 。
ツテは13です。符号の決定に を使うことを忘れないでください。
最後に 。これは にあたるので、3乗の因数分解を使います。
すでに求めた値を入れて
トナニは です。
【検算】 を解くと で、 より 。 として直接計算すると、、（）、。3つとも一致しました ✓。
【定石】 型の対称式は2乗すれば次数が上がる。 もセットで覚える。平方根を外すときは符号の根拠を必ず書く。
(2)前半 対数の連立不等式を1次不等式に翻訳する
(2) 、 は正の実数とする。連立不等式 …②、 …③ について考える。、 とおくと、②はヌネノ…④ と変形でき、③はハヒフ…⑤ と変形できる。
【型】底を3に揃えてから、対数の公式で1次式にする
【なぜこうするか】 ②から。 に注意して分解します。
分数を嫌って両辺を2倍すると
ヌは2、ネノは10です。
③は底が81なので、まず底の変換をします。 なので
したがって
両辺を4倍して 。問題の形（ を掛けると不等号が逆向きになります。
ハは3、ヒフは です。
【よくあるミス】 を のつもりで扱って、 を掛け忘れること。底が違う対数が混ざったら、まず底を揃えるのが最優先です。
【定石】 底の変換公式 。 は特によく出る形。
(2)後半 最大の整数値を求める
、 が④と⑤を満たすとき、 のとり得る最大の整数の値はヘである。また、、 が②、③と ヘを同時に満たすとき、 のとり得る最大の整数の値はホである。
【型】 を消して の上限を出す／逆に を固定して を挟む
【なぜこうするか】 ④と⑤を について解き直すと、どちらも「 の上からの制限」になります。
はこの2つの小さいほう以下。そして は自由に選べるので、 が最大になるのは2つの上限が一致するときです（片方だけ大きくしても、もう片方が足を引っ張る）。
このとき
なので、 のとり得る最大の整数は7。ヘは7です。
次に （つまり ）に固定して、 を挟みます。
よって 、つまり 。対数を外すと
なので、 のとり得る最大の整数は5。ホは5です。
【検算】 を から5まで100万点に刻んで の最大を調べると （）で、最大の整数は7 ✓。さらに対数を使わず元の不等式②③で直接確かめました。 に固定して を乱数で40万点発生させ、②③を両方満たすものだけ残すと、 の最大は （該当88515点）。 と一致し、整数では5です ✓。
【定石】 2つの上限がある量の最大は「上限どうしが交わる点」。線形計画法の最も基本的な形。「最大の整数」と問われたら、まず実数での上限を出してから床関数をとる。
- 角がバラバラなら加法定理でばらし、合成でまとめ直す。
- 置き換えたら範囲も置き換える。 なら の動く範囲を書き直す。
- と はセット。（和）（積）。
- 角度の範囲は境界の ・ と比べるだけ。逆三角関数は不要。
- は2乗して次数を上げる。平方根を外すときは符号の根拠を書く。
- 底が違う対数はまず底を揃える。。
- 2つの上限がある量の最大は、上限どうしの交点。
第2問（必答・配点30） 2つの放物線の共通接線と面積
とし、 とおく。座標平面上で、放物線 を 、放物線 を とする。また、 を と の両方に接する直線とする。
(1) ア2 イ2 ウ1 エ2 オ4 カ2 キ4 ク1 ケ0 コ2 サ2 シ1
(2) スa セ3 ソ3 ／ (3) タ1 チ1 ツ3 テ2 ト4 ナ2 ニ1 ヌ3 ／ (4) ネ2 ノ3 ハ2 ヒ2 フ7
(1)前半 接点を文字でおいて、接線を2通りに書く
(1) の方程式を求めよう。 と は点 において接するとすると、 の方程式は …① である。また、 と は点 において接するとすると、 の方程式は …② である。
【型】共通接線は「接点を別々の文字でおいて、同じ直線だと連立」
【なぜこうするか】 1本の直線が2つの曲線に接するとき、接点は当然別の場所です。そこで接点を と という別の文字でおき、それぞれから接線を書き下します。
側 を微分して 。 での傾きは なので、接線は
展開して整理します。 の項以外を集めると 。
アは2、イは2、ウは1です。
側 。 での傾きは なのでエは2、オは4、カは2。接線は
定数項を計算します。 なので
がきれいに打ち消し合うのが気持ちいいところ。
キは4、クは1です。
【定石】 点 における接線は 。共通接線の問題は接点を2文字でおくのが出発点。
(1)後半 「同じ直線」＝「傾きも切片も一致」
ここで、①と②は同じ直線を表しているので、ケ、コ が成り立つ。したがって、 の方程式は サシである。
【型】2直線が一致 ⟺ 傾きが等しく、切片も等しい
【なぜこうするか】 ①と②は同じ直線なので、 の係数どうし、定数項どうしが等しい。2本の式が立ちます。
1本目から 、つまり
2本目を整理すると 。ここに を代入します。
左辺を展開すると なので
なので で割れて 。コは2です。そして
ケは0。 の値によらず接点はいつも の頂点 だとわかりました。
①に を代入して
サは2、シは1です。 が消えて は によらない固定の直線——これが以降の計算を軽くしてくれます。
【検算】 数式処理で①と②を連立させると解は のみ。そこから が得られました ✓。
【よくあるミス】 から とするとき、 の確認を飛ばすこと。ここでは問題文に とあるので割れますが、文字で割るときは必ず0でない根拠を書く癖をつけてください。
(2) 差の関数が完全平方になることに気づく
(2) 二つの放物線 、 の交点の 座標はスである。 と直線 、および直線 スで囲まれた図形の面積を とすると、 である。
【型】接する2曲線の差は、接点で重解をもつ＝完全平方
【なぜこうするか】 まず交点。 と を等号で結びます。 が両辺にあるので消えて1次方程式になります。
スは です。
次に面積。ここで差の関数を作ります。
驚くほどきれいです。これは が に で接しているから当然で、接するなら差は完全平方になります。ついでに 側も見ておくと
こちらも完全平方で、接点は 。(1)の結果と一致しています。
求める面積は から までの の積分（この範囲で ）。
セは3、ソは3です。
【検算】 を因数分解させると 、交点は のみ、 を数式処理で確認 ✓。 として数値積分すると 、 で一致しました ✓。
【定石】 曲線と接線の差は完全平方。＝（最高次の係数）×「（接点）」の2乗。積分がとても軽くなるので、面積問題では真っ先に差を作る。
(3) の大小で場合分けして面積を出す
(3) とする。二つの放物線 、 と直線 で囲まれた図形の中で を満たす部分の面積 は、タのとき、 の値によらず であり、タのとき テトナ である。
【型】積分区間の中で「上の境界がどこで切り替わるか」を見る
【なぜこうするか】 まず図形の形を押さえます。 は下の境界で、上の境界は2つの放物線のうち低いほう。
- ： が上の境界（高さは ）
- ： が上の境界（高さは ）
切り替わりが起きるのは交点 。求めたいのは の部分なので、 が1より大きいか小さいかで話が変わります。
のとき 区間 はまるごと に入るので、上の境界はずっと 。
が消えました。タは1、チは1、ツは3です。
のとき 区間 の途中 で境界が切り替わるので、2つに分けます。
第1項は 。第2項は
合わせると
を代入して
テは2、トは4、ナは2、ニは1、ヌは3です。
【検算】 境界の を代入すると で、 の場合の値とちょうどつながります ✓。さらに として、 を200万点に刻み「2つの放物線の低いほう 」を数値積分したところ 。式の値も で一致しました ✓。
【定石】 積分区間内で上の境界が入れ替わる点を見つけ、そこで区間を分ける。場合分けの境界値で両方の式が一致するかを必ず確認すると、計算ミスがほぼ確実に見つかる。
(4) 3次関数の最大値を微分で求める
(4) 次に、(2)、(3)で定めた 、 に対して、 とおく。 が タの範囲を動くとき、 は で最大値 をとる。
【型】微分して増減表、範囲内の極大値と端点を比べる
【なぜこうするか】 の範囲なので、(3)の後半の式を使います。
微分します。
とおくと 。解の公式で
よって と 。範囲 に入るのは だけ（ は範囲外）。
は上に凸の放物線なので、2解のあいだで正、そとで負。範囲内では の前が正、後が負なので、ここで極大かつ最大です。
分母を27にそろえて
ネは2、ノは3、ハは2、ヒフは27です。
【検算】 数式処理で 、 の解が 、 を確認 ✓。さらに を から まで100万点に刻んで総当たりしたところ、最大は （）。 と一致しました ✓。
【定石】 閉区間での最大最小は「極値の候補」と「両端」を全部比べる。導関数が2次式なら、その符号は「解のあいだ／そとがわ」で機械的に決まる。
- 共通接線は接点を2文字でおく。接線は 。
- 2直線が一致 ⟺ 傾きと切片が両方一致。連立2式が立つ。
- 曲線と接線の差は完全平方。面積計算が劇的に軽くなる。
- 積分区間内で上の境界が入れ替わる点を見つけて区間を分ける。
- 場合分けの境界値で式が一致するか確認する。計算ミスがすぐ見つかる。
- 閉区間の最大最小は極値の候補と両端をすべて比べる。
第3問（選択・配点20） 数列（置き換えで階差型に持ち込む）
数列 は、初項 が0であり、 のとき次の漸化式を満たすものとする。
(1) ア6 ／ (2) イ0 ウ1 エ1 オ2 カ3 キ1 ク2 ケ1 コ1 サ1 シ6 ス1 セ2 ソ2 タ3 チ1
(3) ツ3 テ1 ト4 ナ1 ニ2 ヌ2 ／ (4) ネ1 ノ0 ハ0 ヒ1
(1) まずは代入して第2項を出す
(1) アである。
【型】漸化式に を代入するだけ
【なぜこうするか】 ①に 、 を入れます。
アは6です。
この漸化式は係数が に依存し、しかも と という2種類の余計な項が付いている——そのままでは手が出ません。(2)以降の置き換えが、この複雑さをどう解消するかが見どころです。
【定石】 漸化式の問題はまず数項を実際に計算する。一般項を出したあとに突き合わせる材料になるうえ、規則性が見えることも多い。
【検算】 漸化式のまま第10項まで計算すると 。第2項は確かに6です ✓。
(2)前半 与えられた式で割ると、階差型に化ける
(2) とおき、数列 の一般項を求めよう。 の初項 はイである。①の両辺を で割ると を得る。ただし、エオとする。したがって である。
【型】指示された式で両辺を割り、 の形を作る
【なぜこうするか】 まず初項。。イは0です。
次が本題。なぜ で割るのか——それは、左辺 をこれで割るとちょうど になるからです。
（ の定義の を に置き換えた形です。）右辺も同じもので割ります。分子の の が、分母の と約分で消えるのがポイント。
3つの項に分けて、それぞれ整理します。
したがって
ウは1、エは1、オは2、カは3です。面倒だった が完全に消えて、きれいな階差型になりました。
あとは部分分数分解。
キは1です。
【検算】 漸化式から直接 、、 を得ました。階差の式で ✓ 一致します。
【定石】 「 とおけ」と指示されたら、両辺をその分母で割るのが常道。左辺が になるように割る式を選ぶ——だから を1つずらした分母になる。
(2)中盤 2種類の和を別々に計算する
を2以上の自然数とするとき 、 が成り立つ。
【型】部分分数の和は望遠鏡、等比の和は公式
【なぜこうするか】 1つ目は望遠鏡和（次々に打ち消し合う和）です。
中間がすべて消えて、最初と最後だけが残ります。
クは2、ケは1、コは1です。
2つ目は等比数列の和。初項 、公比 、項数 です。
ここで に直すと
サは1、シは6、スは1、セは2です。指数を に揃えるこの一手間が、答えの形を合わせる鍵です。
【検算】 の4通りで両方の和を分数のまま計算し、公式の値と照合しました。望遠鏡和は 、等比和は ですべて一致 ✓。
【定石】 で部分分数分解 → 望遠鏡和。等比の和は指数を答えの形に揃えるまで整理する。
(2)後半 階差から一般項へ
が成り立つことを利用すると が得られる。これは のときも成り立つ。
【型】
【なぜこうするか】 階差数列の基本公式です。 なので
前2項をまとめます。通分の分母は 。
分子・分母を2で約分して
したがって
ソは2、タは3、チは1です。
問題文の「これは のときも成り立つ」も確かめておきます。 ✓。階差から作った式は でしか保証されないので、この確認は必須です。
【検算】 漸化式から直接計算した （ から10）と、この一般項の値が10項すべて一致しました ✓。
【よくあるミス】 の符号を落として のままにすること。階差の式にマイナスで入っている項があるので、和を引くのを忘れないように。
(3) から に戻す
(3) (2)により、 の一般項は ツ で与えられる。ただし、ナニとする。このことから、すべての自然数 について、 は整数となることがわかる。
【型】置き換えの定義式を逆に使って戻す
【なぜこうするか】 だったので、逆に
ここに を代入し、2項に分けて計算します。
第1項 では が約分され、。
が和と差の積で にまとまるのが気持ちいいところ。
第2項 では と が打ち消し合って
合わせて
ツは3、テは1、トは4、ナは1、ニは2、ヌは2です。
「 が整数」も納得できます。第1項は明らかに整数。第2項の は連続する2整数の積を2で割ったもので、連続2整数には必ず偶数が含まれるので割り切れます（三角数）。
【検算】 この一般項で から8まで計算すると 。漸化式から直接求めた値と完全に一致しました ✓。
【定石】 置き換えて解いたら必ず定義式で元に戻す。戻すときに や が約分で消えていく——うまく設計された問題ほど、ここがきれいに片づく。
(4) 3で割った余りの周期性
(4) を自然数とする。、、 を3で割った余りはそれぞれネ、ノ、ハである。また、 の初項から第2020項までの和を3で割った余りはヒである。
【型】3の倍数になる項を切り離し、残りだけを調べる
【なぜこうするか】 一般項をもう一度見ます。
第1項は なら3の倍数（ が 以上だから）。したがって余りを決めるのは第2項だけです。
を3で割った余りで分けて調べます。三角数 は が3増えるごとに同じパターンを繰り返します。
- ：。実際に で計算すると で、いずれも3で割った余りは1
- ： で 。いずれも3で割り切れる（余り0）
- ： で 。こちらも余り0
ネは1、ノは0、ハは0です。（ は第1項が で例外に見えますが、 なので余り0。 の規則にちゃんと従います。）
最後に和。余りが1になるのは が3の倍数のときだけなので、 から までに3の倍数がいくつあるかを数えれば済みます。
なので、3の倍数は の673個です。
残りの項はすべて余り0なので
なので余りは1。ヒは1です。
【検算】 一般項を使って を実際に計算し（各項は巨大な整数になります）、3で割った余りを求めると1でした ✓。項数の内訳も が673個、 が674個、 が673個で、 と整合しています ✓。
【定石】 余りの問題は「3の倍数になる部分」を切り離すのが第一手。残った部分だけを で場合分けすれば、周期がすぐ見える。和の余りは「余りが0でない項が何個あるか」を数えるだけ。
- 「 とおけ」は両辺をその分母で割る。左辺が になるよう を1つずらす。
- 部分分数分解 → 望遠鏡和で中間が消える。
- 等比の和は指数を答えの形に揃えるまで整理する。
- 階差から作った一般項は で成り立つか必ず確認する。
- 置き換えたら定義式で元に戻す。約分で式が軽くなる。
- 余りは「3の倍数の部分」を切り離す。残りを で場合分け。
第4問（選択・配点20） 空間ベクトル（平面上の点と四面体の体積）
点 O を原点とする座標空間に2点 、 をとる。3点 O、A、B の定める平面を とする。また、 に含まれる点 C は
を満たすとする。
(1) ア3 イ6 ウ4 エ3 オ3 カ6 ／ (2) キ－ ク2 ケ3 コ1 サ2 シ6
(3) ス2 セ2 ソ－ タ4 チ3 ツ3 テ0 ／ (4) ト1 ナ2 ニ2 ヌ1 ネ2 ノ2 ハ6 ヒ0 フ3 ヘ4 ホ3
(1) 長さと内積を計算する
(1) ア、ウ であり、オカである。
【型】成分から素直に計算。無理数は打ち消し合うことを期待する
【なぜこうするか】 まず 。
アは3、イは6です。
次に 。 が入っていますが、2乗して足すと打ち消し合います。
この2つを足すと の項が消えて32。さらに を加えて
ウは4、エは3です。
内積も同様に が消えます。
オカは36です。
【検算】 数式処理で 、、内積36を確認 ✓。
【定石】 座標に が入っていても2乗和や内積では打ち消し合うように出題されていることが多い。恐れずに素直に計算する。
(2) 平面上の点は2つのベクトルの1次結合で表す
(2) 点 C は平面 上にあるので、実数 、 を用いて と表すことができる。このとき、①から 、コである。したがって、サ である。
【型】条件を内積の式に翻訳して、、 の連立1次方程式にする
【なぜこうするか】 を①の2つの条件に代入します。(1)で求めた3つの値がここで全部効いてきます。
条件1（） 内積が0なので
18で割って 。
条件2（）
12で割って 。
2式を引き算すると 、つまり 。これを に戻して 、。
キクは 、ケは3、コは1です。
長さは展開公式で求めます。
サは2、シは6です。
【検算】 数式処理で連立を解くと 。成分に直すと で、確かに ✓。 座標が0になるのも面白いところです。
【定石】 平面上の点は基準の2ベクトルの1次結合。垂直・内積の条件は、そのまま 、 の1次方程式になる。成分に戻さず、長さと内積だけで押し切るのが速い。
(3)前半 四角形 OABC の形を判定する
(3) である。したがって、平面 上の四角形 OABC はチ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。（チの解答群）⓪ 正方形である ① 正方形ではないが、長方形である ② 長方形ではないが、平行四辺形である ③ 平行四辺形ではないが、台形である ④ 台形ではない
【型】対辺のベクトルが平行か（実数倍か）を調べる
【なぜこうするか】 まず を成分で求めます。
これを使って
スは2、セは2、ソタは です。
四角形 OABC の対辺は「OA と CB」「AB と OC」。まず OA と CB を比べます。
実数倍になっているので平行。ただし 倍なので長さが違います。平行四辺形なら対辺は「平行かつ長さが等しい」必要があるので、平行四辺形ではありません。
一組の対辺だけが平行なので台形。チは③です。
【検算】 外積 を計算すると零ベクトルで、確かに平行 ✓。長さの比は で一致しません ✓。
【定石】 2つのベクトルが平行 ⟺ 一方が他方の実数倍（外積が零ベクトル）。平行四辺形の判定には長さも等しいかまで確認する。
(3)後半 台形の面積
であるので、四角形 OABC の面積はツテである。
【型】台形の面積は「（上底＋下底）×高さ÷2」
【なぜこうするか】 平行な2辺が OA と CB。そして なので、OC がそのまま高さになります。問題文がわざわざこの条件を再掲しているのは、この事実を使わせるためです。
上底＋下底は
高さは 。よって面積は
ツテは30です。 できれいな整数になりました。
【検算】 数式処理で台形の公式から30を確認 ✓。
(4)前半 点 D を決めて角度を出す
(4) 、 かつ 座標が1であるような点 D の座標は である。このとき ハヒ である。
【型】未知数を 、 だけにして、内積の条件2本で連立
【なぜこうするか】 座標が1と与えられているので、 とおけば未知数は2つ。条件も2つあるので決まります。
条件1 より
条件2 なので
両辺を で割ると
と を足し引きして
トは1、ナは2、ニは2、ヌは1、ネは2、ノは2です。
角度は内積の定義から。まず を求めます。
ここでも が打ち消し合います。 成分の を足して
したがって
。ハヒは60です。
【検算】 数式処理で 、、、 を確認 ✓。
【定石】 座標の一部が与えられたら未知数を減らしてから条件を立てる。内積の条件は1本につき1次方程式1本になるので、未知数の個数と条件の本数を数えれば解けるか判断できる。
(4)後半 垂直な2平面を使って高さを出し、体積へ
3点 O、C、D の定める平面を とする。 と は垂直であるので、三角形 ABC を底面とする四面体 DABC の高さは である。したがって、四面体 DABC の体積はヘ である。
【型】2平面が垂直なら、片方の点から他方への距離＝交線までの距離
【なぜこうするか】 求めたい高さは点 D から平面 までの距離です（ は A、B、C を含む平面）。
ここで という条件が効きます。D は 上にあるので、D から への距離は、D から2平面の交線までの距離に等しいのです（垂直な2平面では、片方に含まれる点から他方に下ろした垂線の足は、必ず交線上に来ます）。
交線は何か。 は 上にも 上にもあるので、交線は直線 OC です。
そこで D から直線 OC までの距離を求めます。 方向の単位ベクトルを とすると、三平方の定理から
（距離） は
なので
したがって高さは です。
フは3です。
次に底面 の面積。四角形 OABC を対角線 AC で2つに分けると と になります。
は より直角三角形なので
四角形 OABC の面積が30だったので
したがって
ヘは4、ホは3です。
【検算】 まったく別の方法で確かめました。外積で 、行列式で四面体の体積 。台形の分割を一切使わない経路でも同じ値になりました ✓。
【定石】 2平面が垂直なら、片方の点から他方への距離＝交線までの距離。交線は「両方に含まれるベクトル」を探せば見つかる。四面体の体積は （底面積）（高さ）。
- 座標に があっても2乗和や内積では打ち消し合う。素直に計算する。
- 平面上の点は基準2ベクトルの1次結合。垂直・内積の条件が 、 の連立1次方程式になる。
- 成分に戻さず、長さと内積だけで押し切ると計算が軽い。
- 平行 ⟺ 実数倍。平行四辺形は長さも等しいかまで確認。
- 垂直な2平面では、点から平面への距離＝交線までの距離。
- 四角形は対角線で三角形2つに分けると、片方から他方の面積が出せる。
第5問（選択・配点20） 確率分布と統計的な推測（図書館の利用状況）
ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。（解答には正規分布表を用いてよい。）
(1) ア1 イ4 ウ1 エ2 オ7 カ4
(2) キ2 ク4 ケ0 コ1 サ2 シ0 ス2 セ2 ソ6
(3) タ6 チ0 ツ3 テ0 ト4 ナ4 ニ1 ヌ5 ネ5 ノ9
(1) 度数分布から平均・分散・標準偏差を出す
(1) ある高校の生徒720人全員を対象に、ある1週間に市立図書館で借りた本の冊数について調査を行った。その結果、1冊も借りなかった生徒が612人、1冊借りた生徒が54人、2冊借りた生徒が36人であり、3冊借りた生徒が18人であった。4冊以上借りた生徒はいなかった。この高校の生徒から1人を無作為に選んだとき、その生徒が借りた本の冊数を表す確率変数を とする。このとき、 の平均（期待値）は であり、 の平均は である。よって、 の標準偏差は である。
【型】
【なぜこうするか】 平均は「値 × 人数」の合計を全体人数で割るだけです。
アは1、イは4です。
の平均も同じ要領。値を2乗してから重みをかけます。
ウは1、エは2です。
分散は「2乗の平均」引く「平均の2乗」。この式のために を先に聞いているわけです。
オは7、カは4です。
【検算】 720人分のデータを実際に並べて（0が612個、1が54個、2が36個、3が18個）平均と分散を計算すると、平均 、分散 。、 と一致 ✓。、 も一致しました ✓。
【定石】 。偏差の2乗を1つずつ計算するより圧倒的に速い。「 を求めよ」と誘導されたら、次は必ず分散。
(2)前半 二項分布の平均と標準偏差
(2) 市内の高校生全員を母集団とし、ある1週間に市立図書館を利用した生徒の割合（母比率）を とする。この母集団から600人を無作為に選んだとき、その1週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数 で表す。 のとき、 の平均は キクケ、標準偏差は コサになる。
【型】 の平均は 、標準偏差は
【なぜこうするか】 「600人のうち何人が該当するか」なので は二項分布 に従います。公式に代入するだけ。
キクケは240、コサは12です。 というきれいな平方数になるよう数値が設定されています。
【定石】 二項分布 ：平均 、分散 、標準偏差 。分散と標準偏差を取り違えないこと。
(2)中盤 標準化して正規分布表を引く
ここで、 とおくと、標本数600は十分に大きいので、 は近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して、 が215以下となる確率を求めると、その確率は シスになる。
【型】（平均）÷ 標準偏差 に直してから表を引く
【なぜこうするか】 を の不等式に翻訳します。
正規分布表は普通「 から まで」の面積で書かれています。 の欄を見ると 。標準正規分布は左右対称なので
小数第2位までにすると 。シスは02です。
【検算】 高精度に計算すると で、表から得た とほぼ同じ ✓。さらに正規近似を一切使わず、二項分布 を20万回シミュレーションして の割合を数えると 。近似値 と近く、どちらも小数第2位までなら です ✓。
【よくあるミス】 正規分布表の値をそのまま答えにすること。表は「0から まで」の面積なので、「 以下」を求めるには を足す／引く操作が要ります。負の値のときは対称性を使うのを忘れずに。
(2)後半 が変わると平均と標準偏差はどう変わるか
また、 のとき、 の平均はキクケの 倍、標準偏差はコサの 倍である。
【型】比を作って約分する。平均は に比例、標準偏差はそうではない
【なぜこうするか】 のときの値を計算して、 のときと比べます。
平均 。 が半分になったので平均も半分。
セは2です。平均は なので にきれいに比例します。
標準偏差 こちらは比例しません。
比をとると
ソは6です。 なので、平均は半分になったのに標準偏差は8割程度しか減っていない。 は で最大になる山型なので、 を半分にしても標準偏差はそれほど小さくならないのです。
【検算】 、 で一致 ✓。比は 、 ✓。
【定石】 平均 は に比例、標準偏差 は比例しない。 は を頂点とする放物線なので、そこから離れるほど小さくなる。
(3)前半 定数を引いても標準偏差は変わらない
(3) 市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。1回あたりの利用時間（分）を表す確率変数を とし、 は母平均 、母標準偏差30の分布に従うとする。この母集団から大きさ の標本 を無作為に抽出した。利用時間が60分をどの程度超えるかについて調査するために 、、…、 とおくと、確率変数 の平均と標準偏差はそれぞれ タチ、ツテである。
【型】、
【なぜこうするか】 は全部のデータを一律に60ずらしただけです。
平均は当然60だけ小さくなります。
タチは60です。
標準偏差はまったく変わりません。標準偏差は「平均からの散らばり具合」であって、全体を平行移動しても散らばりは同じだからです。
ツテは30です。
もし のように定数倍していたら標準偏差も2倍になりますが、ここは引き算だけなので不変です。
【定石】 平行移動（）は平均だけ動かし、散らばりは変えない。定数倍（）は平均が 倍、標準偏差が 倍。。
(3)後半 母平均の信頼区間
ここで、 として、 に対する信頼度95%の信頼区間を求めよう。この母集団から無作為抽出された100人の生徒に対して の値を調べたところ、その標本平均の値が50分であった。標本数は十分大きいことを利用して、この信頼区間を求めるとトナニヌネノになる。
【型】信頼区間は「標本平均 」
【なぜこうするか】 標本平均 の標準偏差（標準誤差）を計算します。母標準偏差が30、標本の大きさが100なので
信頼度95%なので係数は 。信頼区間は
なので
解答欄は小数第1位までなので四捨五入して
トナは44、ニは1、ヌネは55、ノは9です。
意味を読み取ると、 が から の間ということは、母平均 は 分から 分の間だと95%の信頼度で言える、ということです。
【検算】 を確認 ✓。係数 の妥当性も確かめました。標準正規分布で で、確かに95%です ✓。
【よくあるミス】 で割るのを忘れて としてしまうこと。標本平均の散らばりは、個々のデータの散らばりの です。100人集めれば散らばりは10分の1になります。
【定石】 母平均の信頼区間は（信頼度95%）。信頼度99%なら 。 で割ることを絶対に忘れない。
- 。誘導で が出たら次は分散。
- 二項分布 ：平均 、標準偏差 。
- 正規分布表は「0から まで」の面積。「 以下」にするには との足し引きが要る。
- 平均は に比例、標準偏差は比例しない。 は で最大。
- 平行移動は平均だけ動かす。標準偏差は不変。定数倍なら 倍。
- 信頼区間は 。 で割るのを忘れない。
解いたあとに読むページ
年度別の解説で「解けなかった」のか、「解けたが間に合わなかった」のかを分けてください。前者なら下の型のページ、後者なら上の時間配分のページが効きます。
- 過去問解説・数学問題集（年度別・大学別の総索引） ── 他の年度・他大学の解説はここから
- 解法パターン事典（全49単元618型） ── 解けなかった設問の型を引く
- 計算の裏技・速算辞典（6部40技） ── 計算そのものが遅いと感じたら
なぜ周期が必ず現れるのか ─ 自作演習4問
第3問(4)は「3で割った余りの周期性」を使う設問でした。本文では余りを書き出して周期を見つけていますが、なぜ必ず周期が現れるのか、周期はどこまで長くなりうるのかは書かれていません。書き出して見つかったからよかったものの、見つからなかったときに「まだ足りないのか、そもそも無いのか」が判断できません。
結論を先に言うと、余りの問題では周期は必ず現れます。理由は1行です ─ 状態が有限個しかないから。しかも周期の上限まで計算できるので、「あと何項書けば決着がつくか」が先に分かります。4問で、その計算を最後までやります。
※以下の4問と数値は、すべて数強塾で作成したオリジナルです。試験の問題文・選択肢・図表は使っていません。
類題1 余りを書き出して、周期を見つける
、、 で定まる数列について答えなさい。
- を3で割った余りを から まで書き出しなさい。
- 余りの列の周期を求めなさい。
- を3で割った余りを求めなさい。
解答
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 余り | 1 | 1 | 2 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| 余り | 1 | 1 | 2 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 |
(2) で が再び現れ、以降は最初と同じ並びになります。周期は 8。
(3) なので、 の余りは4番目と同じ 0。つまり は3の倍数です。
周期を見つけるときに見るのは「1項」ではなく「隣り合う2項の組」です。この数列は前2項で次が決まるので、 の余りの組がもう一度現れた瞬間に、そこから先は完全に同じ動きを繰り返します。余り単体（たとえば「1」）は途中で何度も現れますが、それだけでは周期の証拠になりません。
余りを見る理由そのものは なぜ周期算では余りを見るのか、合同式で書くとなぜ楽になるのかは なぜ合同式を使うと整数問題が簡単になるのか にあります。
類題2 なぜ必ず周期になるのか、上限はいくつか
- を3で割った余りの組は、全部で何通りありうるか。
- そのうち、この数列で絶対に現れない組が1つある。それは何か、理由も述べなさい。
- (1)(2) から、周期の上限を求めなさい。実際の周期と比べなさい。
解答
(1) 各成分が の3通りなので 通り。
(2) は現れません。もし なら、漸化式を逆向きに使って となり、さかのぼって 。ところが なので矛盾します。
(3) 使える組は 通り。9個の組を並べれば必ず同じものが2回出るので（鳩の巣原理）、周期は 8以下。実際の周期はちょうど 8 でした。
上限8に対して実際も8 ─ つまり、現れうる組がすべて1回ずつ現れています。これは「あと何項書けば決着がつくか」が事前に分かるということでもあります。9組ぶん（10項）書いても繰り返しが見つからなければ、書き出しかたのどこかが間違っています。
この論法の要点：「有限個の状態を無限に並べれば、必ずどれかが2回現れる」。1度現れた組が2度現れた時点で、その間隔がそのまま周期になります（次の項は組だけで決まるため）。同じ形の論法は 鳩の巣原理の使い方｜「必ず存在する」を証明する型を例題7問で にまとまっています。
類題3 割る数を変えると、周期はどう変わるか
同じ数列について、2、4、5 で割った余りの周期をそれぞれ求め、上限と比べなさい。
解答
| 割る数 | 余りの列（先頭） | 周期 | 上限 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1, 1, 0, 1, 1, 0, … | 3 | 3（上限ぴったり） |
| 3 | 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, … | 8 | 8（上限ぴったり） |
| 4 | 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, … | 6 | 15（大きく下回る） |
| 5 | 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, … | 20 | 24 |
上限に届くこともあれば、半分以下のこともあります。 では上限15に対して周期6 ─ 使われない組が9通りもあるということです。上限は「これ以上は書かなくてよい」という保証であって、予想ではありません。
実用上いちばん大事なのは の行です。15項まで書く覚悟をしていたのに6項で決着がつく ─ 上限は最悪の場合の見積もりなので、たいていはもっと早く終わります。逆に言えば、上限まで書いても繰り返しが出なければ、計算ミスを疑うのが正しい順序です。
法をいくつに取るかの決め方は 余りで分類する整数問題｜法をいくつに取るかは、式が教えてくれる【数学A・合同式】、余りの分類が効く典型例は なぜ平方数を4で割った余りは0か1しかないのか にあります。
類題4 周期を使って、遠い項を言い当てる
類題1の数列について答えなさい。
- 、 を3で割った余りを求めなさい。
- が3の倍数になる をすべて求めなさい。
- のうち、 が3の倍数になるものは何個か。
解答
(1) なので、余りは8番目と同じ 0。 なので1番目と同じ 1。
(2) 周期8の中で余りが0になるのは と 。これが8ごとに繰り返すので、 ─ すなわち が4の倍数のときです。
(3) より 25個。
(2) が、周期を求めておく価値がいちばん出るところです。周期8の中に0が2か所あり、その間隔がちょうど4なので、「8ごとに2個」が「4ごとに1個」にまとまりました。個数を数える問題では、この整理をしてから割り算します。
よくある取りちがえ： のとき、「余り0だから1番目」ではなく「8番目」です。 が周期の切れ目なので、割り切れるときは最後の項に対応します。 を8で割った余りが なら 番目、 なら8番目 ─ ここで1つずれる答案が多く出ます。
まとめ：周期の問題は、4つの数字で片づく
| 調べること | この問題では | 一般には |
|---|---|---|
| 状態は何か | 隣り合う2項の余りの組 | 次の項を決めるのに必要な情報のひとまとまり |
| 状態は何通りか | 通り | （余りの個数）の（必要な項数）乗 |
| 現れない状態はあるか | は現れない | 逆向きの漸化式でさかのぼって確かめる |
| 周期の上限は | （状態数）−（現れない状態の数） |
この4つを先に出しておくと、書き出しが「探索」ではなく「確認」になります。上限が8と分かっていれば、10項書けば必ず決着します。周期が見つからないまま書き続ける、という状態がなくなるのがいちばんの効果です。
漸化式を型に持ち込む練習は 漸化式と数学的帰納法の特訓道場｜型に持ちこむ30題と全解説、数列の分野をどの順で積むかは 数列 学習ロードマップ｜等差・等比から漸化式・数学的帰納法・確率漸化式まで一本でつなぐ地図 にまとめてあります。
他の年度・他の科目の全問解説
共通テスト2024〜2026年度（本試験・追試験）とセンター試験2015〜2020年度を、全問の解答解説つきで公開しています。年度をまたいで同じ型を当てると定着が速くなります。
共通テスト・センター試験 数学の全問解説（23回分の一覧） ／ 共通テスト数学の時間配分と解き方 ／ 解法パターン事典で型を引く
