中1数学の要点辞典｜全7単元の公式・定石・つまずきポイントと例題35問

例題1-1（加減）　次の計算をしてください。
(1) (−3) + (−5)　(2) 4 − (−7)　(3) (−2) + 6 − (−3)

(1)　同符号（どちらも負）なので、絶対値を足して、マイナスをつける。
3 + 5 = 8　→　−8

(2)　まず足し算に直します。− (−7) は + 7。
4 + 7 = 11

(3)　全部足し算に直します。− (−3) は + 3。
(−2) + 6 + 3
正の数をまとめると 6 + 3 = 9、負は −2。
9 − 2 = 7

答え：(1) −8　(2) 11　(3) 7

数直線で確かめる：(2) は「4 の位置から、−7 の分だけ引く」＝「右へ7動く」。4 → 11 ✓　マイナスを引くと大きくなるのは、数直線で見ると当たり前です。

(3)のコツ：正の数だけ、負の数だけをそれぞれまとめてから、最後に引く。項が多いときはこの順にすると、符号を追いかけずに済みます。

例題1-2（乗除）　次の計算をしてください。
(1) (−2) × (−3) × (−4)　(2) (−12) ÷ 4　(3) (−6) × 2 ÷ (−3)

(1)　先に符号を決めます。負の数が3個（奇数）なので答えは負。
数の部分は 2 × 3 × 4 = 24。
= −24

(2)　負の数が1個（奇数）なので負。12 ÷ 4 = 3。
= −3

(3)　負の数が2個（偶数）なので正。6 × 2 ÷ 3 = 4。
= 4

答え：(1) −24　(2) −3　(3) 4

この手順が速い理由：符号と数を分けて考えるので、途中で「あれ、いまマイナスだったっけ」と迷わずに済みます。負の数に印をつけて数える——それだけで符号が確定します。

加減と混ぜないこと：(−3) + (−5) = −8（足し算）と (−3) × (−5) = 15（かけ算）。同じ「マイナス2つ」でも、答えの符号が違います。いま何の計算をしているかを、毎回確認してください。

例題1-3（累乗とかっこ）　次の値を求めてください。
(1) (−3)²　(2) −3²　(3) (−2)³　(4) −2³

(1)　かっこごと2乗するので (−3) × (−3) = 9

(2)　2乗されるのは 3 だけ。−(3 × 3) = −9

(3)　(−2) × (−2) × (−2)。負が3個（奇数）なので負。= −8

(4)　−(2 × 2 × 2) = −8

答え：(1) 9　(2) −9　(3) −8　(4) −8

ここに注目：2乗のときは (1) と (2) で答えが違うのに、3乗のときは (3) と (4) が同じになります。理由は、負の数を偶数回かけると正、奇数回かけると負だから。(−2)³ はもともと負なので、−2³ と一致します。

見分け方：かっこがあれば、マイナスも一緒に何乗もされる。かっこがなければ、マイナスは最後に1回だけつく。この一言で区別できます。

テストでの確認法：−3² のような式を見たら、指で「何が2乗されているか」を囲んでみてください。かっこがなければ、囲めるのは 3 だけです。

例題1-4（四則の混じった計算と素因数分解）　(1) −2² + (−3) × (−4) ÷ 6 を計算してください。(2) 60 を素因数分解してください。

(1) 手順1：累乗を先に。
−2² = −4（かっこがないので 2 だけを2乗）

手順2：乗除を左から。
(−3) × (−4) = 12（負が2個なので正）
12 ÷ 6 = 2

手順3：最後に加減。
−4 + 2 = −2

(2)　小さい素数から順に割ります。
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 は素数なので終わり。
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

答え：(1) −2　(2) 2² × 3 × 5

(1)でよくある誤り：−2² を 4 としてしまい、答えが 6 になる。累乗は最優先で、しかもかっこの有無を確認——2つの注意が同時に必要な場所です。

(2)の確認：2 × 2 × 3 × 5 = 60 ✓　掛け戻して元に戻るかを必ず確かめてください。

素因数分解の使いどころ：中3の平方根（√ の中を簡単にする）で必ず使います。√60 = √(2² × 15) = 2√15——素因数分解ができると、2乗の因数がすぐ見つかります。

例題1-5（絶対値と数の大小）　(1) 絶対値が 4 以下の整数をすべて答え、何個あるか書いてください。(2) −7、+3、−0.5、0、−7.2 を小さい順に並べてください。(3) 絶対値が 5 である数をすべて答えてください。

考え方：絶対値は「0からどれだけ離れているか」という距離です。距離として見ておくと、(1)〜(3) はどれも数直線を思い浮かべるところから答えが見えてきます。

(1)　0からの距離が4以内にある整数なので
　−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 の9個。
マイナス側に4個、プラス側に4個、真ん中に 0 があるので 4 + 4 + 1 = 9 と数えられます。

(2)　数直線では左にあるものほど小さい。マイナスの数どうしは0から遠いほうが小さいので、−7.2 と −7 では 7.2 > 7 より −7.2 のほうが小さくなります。
　−7.2 < −7 < −0.5 < 0 < +3

(3)　0からの距離が5の数は、原点の右と左に1つずつあります。+5 と −5。

答え：(1) −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 の9個　(2) −7.2, −7, −0.5, 0, +3　(3) +5 と −5

確認：(1) は 0 を入れ忘れて8個と答える間違いが多いところです。0 の絶対値は 0 なので、これも「4以下」に入ります。
(2) はマイナスの数を、数字の大きさだけで並べてしまうと −7 < −7.2 と逆になります。迷ったら数直線を横に書いて、点を打ってから左から読むのが確実です。
(3) を +5 だけで終わらせないこと。絶対値は「マイナスを取ること」ではなく距離なので、距離が同じ数は原点の左右に2つあります。

例題2-1（式の表し方と分配法則）　次の式を、文字式の約束にしたがって書き直してください。
(1) a × 3 − b ÷ 4　(2) 3(2x − 1) を展開

(1)　× は書かず数を前に、÷ は分数に。
3a − b/4

(2)　かっこの中の全部に 3 をかけます。
3 × 2x − 3 × 1 = 6x − 3

答え：(1) 3a − b/4　(2) 6x − 3

確認：(2) に x = 1 を入れると、元の式は 3(2 − 1) = 3、答えは 6 − 3 = 3 ✓

この検算を覚えてください：式を書き直したら、同じ数を入れて同じ値になるか確かめる。x = 1 なら暗算でできます。この習慣は中3まで、いや高校までずっと使えます。

例題2-2（同類項をまとめる）　5x − 3 + 2x + 7 を計算してください。

手順1：同じ仲間を集める。
x がついている項：5x と 2x
数だけの項：−3 と +7

手順2：それぞれ計算する。
(5 + 2)x = 7x
−3 + 7 = 4

= 7x + 4

答え：7x + 4

これ以上まとめられません：7x と 4 は仲間が違うので、11x とは書けません。「りんご7個とみかん4個」は「11個」とは書けない——それと同じです。

確認：x = 2 を入れると、元の式は 10 − 3 + 4 + 7 = 18、答えは 14 + 4 = 18 ✓

例題2-3（文章を式にする）　1個 x 円のりんごを 3 個と、1本 y 円のジュースを 2 本買います。
(1) 代金の合計を式で表してください。
(2) 1000 円出したときのおつりを式で表してください。
(3) 「代金が 1000 円以下である」ことを式で表してください。

(1)　「1あたり × 個数」で考えます。
りんご：3x 円　／　ジュース：2y 円
3x + 2y（円）

(2)　おつりは「出したお金 − 代金」。
1000 − (3x + 2y)（円）

(3)　「以下」なので等号を含む不等号を使います。
3x + 2y ≦ 1000

答え：(1) 3x + 2y（円）　(2) 1000 − (3x + 2y)（円）　(3) 3x + 2y ≦ 1000

(2)のかっこが大事：1000 − 3x + 2y と書くと意味が変わります（ジュース代を足すことになってしまう）。「まとめて引く」ならかっこをつける——ここを落とすと式が別物になります。

(3)の「以下」：ちょうど 1000 円のときも条件に合うので、≦ を使います。「1000 円未満」なら < です。日本語の1文字で記号が変わります。

単位を書く：答案では 「（円）」まで書くのが正式です。何を表す式なのかが伝わります。

例題2-4（代入）　x = −2 のとき、3x² − 5x の値を求めてください。

手順1：かっこをつけて代入する。
3 × (−2)² − 5 × (−2)

手順2：累乗から計算する。
(−2)² = 4 なので　3 × 4 = 12

手順3：後ろの項。
−5 × (−2) = +10（負が2個なので正）

手順4：足す。
12 + 10 = 22

答え：22

かっこを省くとどうなるか：3 × −2² と書いてしまうと 3 × (−4) = −12 となり、答えが −2 になってしまいます。負の数を代入するときは、必ずかっこ——例外はありません。

符号にも注意：−5x の x に −2 を入れると −5 × (−2) = +10。マイナスとマイナスでプラスです。ここで −10 としてしまう誤りが多いので、「負の数が何個あるか」を数えてください。

確認のしかた：x = −2 は負の数なので、3x² は正（2乗するから）、−5x も正（負×負）。両方とも正なので、答えは正のはず。22 は正なので、符号の見当は合っています。

例題2-5（数量の関係を式で表す）　次の関係を、等式または不等式で表してください。
　(1) 1個 a 円のりんご5個と、1本 b 円のジュース3本を買うと、代金は1200円だった。
　(2) x 円持って、1冊 y 円のノートを4冊買ったら、おつりがあった。
　(3) 縦 a cm、横 b cm の長方形の周の長さは30cm以下である。
　(4) 分速80mで x 分歩いた道のりは、1km未満だった。

考え方：まず「何と何を比べているのか」を日本語のまま2つに分けると、左辺と右辺が決まります。そのあとで、つなぐ記号を選びます。
　ちょうど等しい　→　=　／　以上　→　≥　／　以下　→　≤　／　より大きい　→　>　／　未満　→　<

(1)　りんご5個で 5a 円、ジュース3本で 3b 円。合わせて1200円なので
　5a + 3b = 1200

(2)　ノート4冊で 4y 円。残りは x − 4y 円で、これが0より大きいので
　x − 4y > 0

(3)　周の長さは 2(a + b) cm。30cm以下なので
　2(a + b) ≤ 30

(4)　道のりは 80x m。1km を 1000m に直してからくらべて
　80x < 1000

答え：(1) 5a + 3b = 1200　(2) x − 4y > 0　(3) 2(a + b) ≤ 30　(4) 80x < 1000

確認：「おつりがあった」は「残りが0より大きい」という意味です。ぴったり使い切ったなら =、足りるかどうかなら ≥ と、日本語のほうを言いかえてから記号にすると迷いません。
「以下」は等号を含み、「未満」は含みません。(3) で < にすると、ちょうど30cmの場合が抜けます。
(4) は単位をそろえ忘れるのがいちばん多い間違いです。80x < 1 と書くと、80mと1kmを同じものさしで比べたことになってしまいます。x = 12 なら 960 < 1000 で成り立ち、x = 13 なら 1040 で成り立たない——数を入れて確かめると、式が合っているか自分で判定できます。

例題3-1（移項）　3x − 5 = x + 7 を解いてください。

手順1：x を左、数を右に集める。
x を左へ移すと −x、−5 を右へ移すと +5。
3x − x = 7 + 5

手順2：まとめる。
2x = 12

手順3：係数で割る。
x = 6

答え：x = 6

確認：元の式に戻します。左辺 3 × 6 − 5 = 13、右辺 6 + 7 = 13 ✓

この検算を必ずやってください：方程式は答えを元の式に入れれば、必ず確かめられます。10秒で済むので、テストでも全問やる価値があります。

移項の正体：3x − 5 = x + 7 の両辺に 5 を足すと 3x = x + 12、さらに両辺から x を引くと 2x = 12。移項は、この2行を1行に縮めたものです。仕組みがわかっていれば、符号を間違えません。

例題3-2（分数を含む方程式）　(x − 1)/2 + x/3 = 2 を解いてください。

手順1：分母を払う。2 と 3 の最小公倍数 6 を両辺のすべての項にかけます。
6 × (x−1)/2 + 6 × x/3 = 6 × 2
3(x − 1) + 2x = 12

手順2：かっこを外す。
3x − 3 + 2x = 12

手順3：移項してまとめる。
5x = 15　→　x = 3

答え：x = 3

確認：(3 − 1)/2 + 3/3 = 1 + 1 = 2 ✓

右辺を忘れないこと：6 をかけるのは左辺の2つの項と、右辺の 2 の合計3か所です。右辺を 2 のままにすると、答えがまったく変わります。「かける数を全部の項の前に書いてから」計算すると、この事故は起きません。

分子のかっこ：(x − 1)/2 に 6 をかけると 3(x − 1) であって 3x − 1 ではありません。分子全体にかかるので、かっこをつけて書いてください。

例題3-3（比例式）　3 : 5 = x : 20 を解いてください。

手順1：外側どうし、内側どうしをかける。
外側は 3 と 20、内側は 5 と x。
3 × 20 = 5 × x

手順2：解く。
60 = 5x　→　x = 12

答え：x = 12

確認：3 : 5 と 12 : 20。どちらも 4 倍の関係なので、比として等しい ✓

なぜ「たすきにかける」でよいのか：3 : 5 = x : 20 は分数で書くと 3/5 = x/20。両辺に 5 × 20 = 100 をかけると 60 = 5x。分数の等式の分母を払っているだけです。

比例式が使える場面：地図の縮尺、料理の分量、相似な図形の辺の長さ——「同じ割合」を表す場面はすべて比例式です。中3の相似でも同じ形で使います。

例題3-4（文章題・過不足）　何人かの生徒にあめを配ります。5 個ずつ配ると 12 個余り、6 個ずつ配ると 8 個足りません。生徒の人数と、あめの個数を求めてください。

手順1：置き方を書く。生徒の人数を x 人とします。

手順2：あめの個数を2通りで表す。
5 個ずつ配って 12 個余る　→　あめは 5x + 12 個
6 個ずつ配って 8 個足りない　→　あめは 6x − 8 個

手順3：同じものなので、等号で結ぶ。
5x + 12 = 6x − 8

手順4：解く。
12 + 8 = 6x − 5x　→　x = 20

手順5：あめの個数を出す。
5 × 20 + 12 = 112（個）

手順6：確かめる。6 個ずつなら 6 × 20 = 120 個必要で、120 − 112 = 8 個足りない ✓

答え：生徒 20 人、あめ 112 個

この型の考え方：同じものを2通りの言い方で表して、等号で結ぶ。過不足の問題は、すべてこの形です。
・「余る」　→　配った分に足す（5x + 12）
・「足りない」　→　配った分から引く（6x − 8）

符号を間違えないコツ：「あめは全部で何個か」を、それぞれの配り方から考える。5個ずつ配ってまだ12個残っているなら、最初は 5x より12個多かった——だから足す。6個ずつ配るには8個足りなかったなら、必要量 6x より8個少なかった——だから引く。日本語で1回言い直すと、符号が決まります。

例題3-5（文章題・追いつき）　弟が家を出発し、分速 60 m で歩いて駅へ向かいました。その 12 分後に、兄が同じ道を分速 180 m で追いかけました。兄が弟に追いつくのは、兄が出発してから何分後ですか。また、それは家から何 m の地点ですか。

考え方：速さの文章題では、「何を x とおくか」を最初に書きます。ここでは兄が走った時間を x 分とおくのが素直です。
そして「追いつく」とは、2人の進んだ距離が等しくなること。この一言を式にすれば終わりです。

x 分後に追いつくとすると、そのとき
　兄が進んだ距離 = 180x（m）
　弟が進んだ距離 = 60(x + 12)（m）　……弟は12分早く出ているので、歩いた時間は x + 12 分

距離が等しいので
　180x = 60(x + 12)　→　180x = 60x + 720　→　120x = 720　→　x = 6

追いついた地点は家から 180 × 6 = 1080（m）。

答え：兄が出発してから 6 分後、家から 1080 m の地点

確認：弟は 6 + 12 = 18 分歩いているので 60 × 18 = 1080（m）。兄と同じ 1080 m になり、確かに追いついています。
この型でいちばん多い誤りは、弟の時間を x 分のままにしてしまうことです。「同時に出発していない」と書いてあったら、時間のずれをどちらかの式に必ず入れる——ここが式作りの山場になります。
答えを出したら、問われているのが「兄が出発してから」なのか「弟が出発してから」なのかを読み直してください。同じ場面でも、6 分後と 18 分後で答えが変わります。

例題4-1（比例）　y は x に比例し、x = 3 のとき y = 12 です。y を x の式で表し、x = −5 のときの y を求めてください。

手順1：式の形を書く。比例なので y = ax。

手順2：代入して a を求める。
12 = a × 3　→　a = 4

y = 4x

手順3：x = −5 を代入。
y = 4 × (−5) = −20

答え：y = 4x、x = −5 のとき y = −20

確認：y ÷ x がいつも 4 になるか見ます。12 ÷ 3 = 4 ✓　(−20) ÷ (−5) = 4 ✓

比例の意味：x が2倍になれば y も2倍、3倍なら3倍。x = 3 → 6 と2倍にすれば y = 12 → 24 です。この性質を使えば、式を作らずに答えが出ることもあります。

例題4-2（反比例）　y は x に反比例し、x = 2 のとき y = 9 です。y を x の式で表し、x = 6 のときの y を求めてください。

手順1：式の形を書く。反比例なので y = a/x。

手順2：代入して a を求める。
9 = a / 2　→　a = 18

y = 18/x

手順3：x = 6 を代入。
y = 18 / 6 = 3

答え：y = 18/x、x = 6 のとき y = 3

確認：x × y がいつも 18 になるか見ます。2 × 9 = 18 ✓　6 × 3 = 18 ✓

反比例の意味：x が3倍になれば y は 1/3 倍。かけた答えがいつも同じ——これが反比例です。x = 2 → 6 と3倍にしたので、y = 9 → 3 と 1/3 になりました。

身近な例：面積が 18 の長方形の縦と横、18 個のあめを配る人数と1人あたりの個数。「かけると決まった数になる」場面はすべて反比例です。

x = 0 にできない理由：y = 18/0 は計算できません。だから反比例のグラフは y 軸に触れないのです。

例題4-3（表から見分ける）　次の表について、y は x に比例していますか、反比例していますか。式も求めてください。

手順1：y ÷ x を試す。
24 ÷ 1 = 24、12 ÷ 2 = 6　→　同じにならないので比例ではない。

手順2：x × y を試す。
1 × 24 = 24、2 × 12 = 24、3 × 8 = 24、4 × 6 = 24、6 × 4 = 24
すべて 24 で一定　→　反比例。

答え：反比例。式は y = 24/x

この2つを試すだけ：y ÷ x が一定なら比例、x × y が一定なら反比例。表を見たら、まずこの2つを1組ずつ計算してください。2組で同じ値になれば、ほぼ確定です（念のため3組目でも確かめると万全）。

どちらでもない場合：たとえば x が 1, 2, 3 で y が 5, 7, 9 なら、y ÷ x も x × y も一定になりません。これは中2で習う一次関数（y = 2x + 3）です 👉 中2数学の要点辞典（第3章）

例題4-4（比例の利用）　分速 60 m の速さで歩きます。
(1) x 分間に歩く距離を y m として、y を x の式で表してください。
(2) 1200 m 歩くのに何分かかりますか。
(3) x の変域を答えてください（ただし、この人は最大 30 分しか歩けないとします）。

(1)　1分あたり 60 m 進むので
y = 60x

(2)　y = 1200 を代入します。
1200 = 60x　→　x = 20（分）

(3)　時間は負にならず、最大 30 分なので
0 ≦ x ≦ 30

答え：(1) y = 60x　(2) 20 分　(3) 0 ≦ x ≦ 30

確認：20 分で 60 × 20 = 1200 m ✓

「1あたりの量」が比例定数：分速 60 m の 60 が、そのまま a になります。「1分あたり」「1個あたり」「1枚あたり」——この言葉を探せば、比例定数が見つかります。

変域を書く意味：数学の式としては x = −5 も計算できますが、「−5分歩く」は現実にはありません。問題の場面で意味のある範囲を答えるのが、変域を聞かれる理由です。

例題4-5（反比例の利用）　面積が 24 cm² の長方形があります。縦の長さを x cm、横の長さを y cm とするとき、(1) y を x の式で表してください。(2) x = 8 のときの y を求めてください。(3) 縦を3倍にすると、横は何倍になりますか。

考え方：文章題では、まず「何がずっと変わらないのか」を探します。ここで変わらないのは面積 24。縦と横は変わりますが、かけると必ず 24 です。x × y = 24 と書けた時点で、これは反比例だと決まります。

(1) x × y = 24 より y = 24 / x

(2) y = 24 / 8 = 3　よって 3 cm

(3) 縦を 3x にすると y = 24 / (3x)。これはもとの 24 / x の 1/3 です。よって横は 1/3 倍。

答え：(1) y = 24 / x　(2) 3 cm　(3) 1/3 倍

確認：(x, y) をいくつか書き出すと (1, 24) (2, 12) (3, 8) (4, 6) (6, 4) (8, 3)。どの組もかけると 24 です。「一方が3倍になると、もう一方は 1/3 倍」——これが反比例そのもので、比例の「一方が3倍なら、もう一方も3倍」とちょうど裏返しになっています。
なお、この問題では x は長さなので x > 0 です。グラフを描くときも右上の部分だけになります。式だけを見て負の側まで描いてしまうのが、文章題でのよくある誤りです。

例題5-1（作図の選び方）　次の点を作図するには、どの作図を使えばよいですか。
(1) 2点 A, B から等しい距離にある点
(2) 2直線 ℓ, m から等しい距離にある点
(3) 直線 ℓ 上にあり、点 P から最も近い点

(1) 垂直二等分線　……　線分 AB の垂直二等分線は、「A からの距離と B からの距離が等しい点」を全部集めた線です。

(2) 角の二等分線　……　2直線がつくる角の二等分線は、「両方の直線から等しい距離にある点」を集めた線です。

(3) 垂線　……　点 P から直線 ℓ に下ろした垂線の足が、最も近い点です。

この3つで区別できる：
・相手が2つの点　→　垂直二等分線
・相手が2つの直線　→　角の二等分線
・最短距離　→　垂線

なぜ垂線が最短なのか：直線上のほかの点まで行くと、垂線を1辺とする直角三角形の斜辺になります。斜辺はいちばん長い辺なので、垂線のほうが短い——中3の三平方の定理につながる話です。

作図の跡を残す：答案ではコンパスで描いた弧を消さないでください。「どの点を中心に、どんな半径で描いたか」が、作図の根拠になります。

例題5-2（おうぎ形）　半径 6 cm、中心角 120° のおうぎ形について、弧の長さと面積を求めてください。

手順1：円全体の何分の何かを出す。
120 / 360 = 1/3

手順2：円全体の値を出す。
円周：2π × 6 = 12π cm
円の面積：π × 6² = 36π cm²

手順3：割合を掛ける。
弧の長さ：12π × 1/3 = 4π cm
面積：36π × 1/3 = 12π cm²

答え：弧の長さ 4π cm、面積 12π cm²

この順番がおすすめ：「割合を先に出す」と、弧でも面積でも同じ数を掛けるだけで済みます。公式を2つ暗記するより、「円の 1/3 だ」と1回言葉にするほうが確実です。

もう1つの公式：おうぎ形の面積は (1/2) × 弧の長さ × 半径 でも出ます。(1/2) × 4π × 6 = 12π ✓　三角形の面積の公式に似ているのが面白いところです（おうぎ形を細かく切って三角形と見なす発想で、高校の積分につながります）。

確認のしかた：120° は円の 1/3 なので、答えも円全体の 1/3 になっているはず。12π ÷ 3 = 4π ✓、36π ÷ 3 = 12π ✓

例題5-3（図形の移動）　方眼紙の上に三角形があります。次の移動をしたとき、どの性質が保たれますか。
(1) 右へ3、上へ2 平行移動する
(2) 直線 ℓ について対称移動する
(3) 点 O を中心に 180° 回転移動する

(1) 平行移動　……　形・大きさ・向きがすべて保たれます。対応する点を結んだ線分は、すべて平行で長さが等しいのが特徴です。

(2) 対称移動　……　形と大きさは保たれますが、向きが裏返ります。対応する点を結んだ線分は、折り目の直線に垂直で、その中点が直線上にある（＝直線が垂直二等分線になっている）。

(3) 180° の回転移動　……　形と大きさが保たれ、点 O について点対称な位置に移ります。対応する点を結ぶと、必ず O を通り、O がその中点になります。

見分け方のコツ：「裏返っているかどうか」を見てください。裏返っていれば対称移動、裏返っていなければ平行移動か回転移動です。

作図との関係：対称移動の性質「折り目が垂直二等分線になる」は、第5章の作図そのものです。「対称移動した図形をかけ」という問題は、各頂点について垂直二等分線の作図をするのと同じことをしています。

例題5-4（複合図形の面積）　半径 6 cm の円の中に、中心角 120° のおうぎ形があります。おうぎ形以外の部分の面積を求めてください。

手順1：どちらの方針が楽か決める。「おうぎ形以外」なので、円全体から、おうぎ形を引くのがいちばん簡単です。

手順2：円全体の面積。
π × 6² = 36π cm²

手順3：おうぎ形の面積。例題5-2より 12π cm²。

手順4：引く。
36π − 12π = 24π cm²

答え：24π cm²

別の考え方：残りの部分は中心角 360° − 120° = 240° のおうぎ形です。
36π × (240/360) = 36π × (2/3) = 24π ✓
2通りで同じ答えになれば、まず間違いありません。

複合図形の考え方：
・足す　→　いくつかの知っている形に分けられるとき
・引く　→　大きい形から一部を取り除いた形のとき
どちらが少ない手数で済むかを、計算を始める前に決めてください。

π は最後まで残す：π ≒ 3.14 として途中で小数にすると、誤差が出るうえ計算が重くなります。指示がなければ π のまま答えます。

例題5-5（おうぎ形を逆から求める）　半径 6 cm のおうぎ形について。(1) 弧の長さが 4π cm のとき、中心角は何度ですか。(2) そのおうぎ形の面積を求めてください。(3) 半径 6 cm、面積 15π cm² のおうぎ形の中心角は何度ですか。

考え方：おうぎ形は「円のうちの何割か」です。中心角が a 度なら、円全体の a/360 の割合。弧も面積も、円のぶんに同じ割合を掛けたもの——この1点さえ押さえていれば、どちらを聞かれても同じ形の式で書けます。

(1)　弧の長さ = 2π × 6 × (a/360) = 12π × (a/360)。これが 4π なので
　12π × (a/360) = 4π　→　a/360 = 1/3　→　a = 120

(2)　面積 = π × 6² × (120/360) = 36π × (1/3) = 12π cm²

(3)　面積 = 36π × (a/360)。これが 15π なので
　a/360 = 15/36 = 5/12　→　a = 150

答え：(1) 120°　(2) 12π cm²　(3) 150°

確認：(2) は別の道でも出せます。S = (1/2) × ℓ × r を使うと (1/2) × 4π × 6 = 12π。同じ答えになりました。2通りで一致すれば、まず間違いありません。
この式は覚えるものというより、おうぎ形を細かく切って交互に並べると、底辺が ℓ、高さが r の三角形に近づく——そう見れば自然に出てきます。中心角がわからなくても面積が出せるので、持っておくと強い道具です。
いちばん多い間違いは、弧の長さと面積で掛けるもとを取り違えることです。弧は 2πr（円周）に、面積は πr² に割合を掛けます。a/360 の部分は共通なので、どちらのもとに掛けているかだけを確かめてください。

例題6-1（円柱の表面積と体積）　底面の半径が 3 cm、高さが 5 cm の円柱について、表面積と体積を求めてください。

手順1：展開図を思い浮かべる。側面は長方形、底面は円が2つ。

手順2：側面積。長方形の横は底面の円周、縦は高さ。
2π × 3 × 5 = 30π cm²

手順3：底面積（2つ分）。
π × 3² × 2 = 18π cm²

手順4：表面積。
30π + 18π = 48π cm²

手順5：体積。底面積 × 高さ。
9π × 5 = 45π cm³

答え：表面積 48π cm²、体積 45π cm³

側面の長方形の横が円周になる理由：円柱の側面を切り開くと、底面の円をまっすぐに伸ばしたものが横の長さになります。缶詰のラベルをはがして広げると長方形になる——あのイメージです。

底面を2つ足す：「表面積」は外側全部の面積なので、上のふたと下の底、両方必要です。1つしか足さないのが最頻出のミスです。

例題6-2（円錐と球の体積）　(1) 底面の半径 3 cm、高さ 4 cm の円錐の体積を求めてください。(2) 半径 3 cm の球の体積と表面積を求めてください。

(1)　円錐はとがっているので 1/3。
底面積 × 高さ × 1/3 = π × 9 × 4 × 1/3 = 12π cm³

(2)　球の公式に r = 3 を入れます。
体積：(4/3)π × 3³ = (4/3)π × 27 = 36π cm³
表面積：4π × 3² = 36π cm²

答え：(1) 12π cm³　(2) 体積 36π cm³、表面積 36π cm²

(1)の確認：同じ底面・同じ高さの円柱なら 9π × 4 = 36π。その 1/3 が 12π ✓　円柱の体積を先に出して3で割ると、1/3 の掛け忘れが防げます。

(2)で数が同じになるのは偶然：r = 3 のときだけ、体積と表面積の数値が両方 36π になります（単位は違います）。r = 2 なら体積 (32/3)π、表面積 16π で一致しません。「いつも同じ」と思い込まないでください。

球の公式の覚え方：「身の上に心配ある参上」（3 分の 4 パイ r の 3 乗）と「心配ある事情」（4 パイ r の 2 乗）という語呂が有名です。ただし「体積が3乗、表面積が2乗」という理屈で覚えるほうが、忘れにくいです。

例題6-3（円錐の展開図）　底面の半径が 3 cm、母線の長さが 9 cm の円錐について、側面のおうぎ形の中心角と、側面積を求めてください。

手順1：おうぎ形の弧の長さを出す。側面のおうぎ形の弧は、底面の円周とぴったり重なります。
底面の円周 = 2π × 3 = 6π cm

手順2：おうぎ形は、半径9の円の何分の何かを出す。半径 9 の円の円周は 2π × 9 = 18π。
6π / 18π = 1/3

手順3：中心角。円全体の 1/3 なので
360° × 1/3 = 120°

手順4：側面積。半径 9 の円の面積の 1/3。
π × 9² × 1/3 = 81π / 3 = 27π cm²

答え：中心角 120°、側面積 27π cm²

この単元でいちばん大事な関係：「側面のおうぎ形の弧 ＝ 底面の円周」。円錐を組み立てるとき、おうぎ形の弧が底面の円にぴったり巻きつくからです。紙で円錐を作ってみると、一発で納得できます。

公式にすると：底面の半径 r、母線 ℓ のとき
中心角 = 360° × r / ℓ　（ここでは 360 × 3 / 9 = 120 ✓）
側面積 = πrℓ　（ここでは π × 3 × 9 = 27π ✓）
公式を覚えてもよいですが、導き方を知っていれば忘れても作れます。

表面積は：側面 27π ＋ 底面 9π ＝ 36π cm²。底面は1つだけ（円錐にふたはない）です。

例題6-4（ねじれの位置）　直方体 ABCD−EFGH において、辺 AB とねじれの位置にある辺をすべて答えてください。

手順1：ねじれの位置の定義を確認する。交わらず、しかも平行でもない2直線です。

手順2：辺を3つに分類する。直方体の辺は全部で12本。AB 自身を除く11本を分けます。

答え：CG, DH, EH, FG の 4 本

確認：4 + 3 + 4 = 11。AB 以外の11本がすべて分類できました ✓　本数を合計して確かめるのが、数え落としを防ぐいちばんの方法です。

探し方の手順：
① AB と交わる辺を探す（端点 A と B から出ている辺）
② AB と平行な辺を探す
③ 残りが全部ねじれの位置

この順番なら数え落としません。いきなり「ねじれの位置」を探すと、必ず見落とします。

平面との違い：平面では、2直線は「交わる」か「平行」の2通りしかありません。空間だから3通りになる——これが空間図形の新しさです。

例題7-1（度数分布表と階級値）　次は、あるクラス 20 人のテストの点数を整理した度数分布表です。

(1) 60 点以上 70 点未満の階級の階級値と相対度数を求めてください。
(2) 70 点未満の生徒は何人ですか。

(1) 階級値　……　階級のまん中の値なので
(60 + 70) ÷ 2 = 65（点）

(1) 相対度数　……　その階級の度数を全体で割ります。
7 ÷ 20 = 0.35

(2)　70 点未満なので、下から3つの階級を足します（累積度数）。
2 + 3 + 7 = 12（人）

答え：(1) 階級値 65 点、相対度数 0.35　(2) 12 人

相対度数の確認：すべての階級の相対度数を足すと 0.1 + 0.15 + 0.35 + 0.25 + 0.15 = 1.00 ✓　合計が1になるかで検算できます。

「70点未満」の数え方：70 点ちょうどの人は「70 以上 80 未満」の階級に入るので、数えません。「未満」は、その数を含まない——第2章の不等号の話がここで効きます。

例題7-2（代表値の使い分け）　次の 10 個のデータについて、平均値・中央値・最頻値を求めてください。
52, 55, 58, 61, 61, 64, 67, 70, 73, 79

平均値　……　合計を個数で割ります。
合計 = 640　→　640 ÷ 10 = 64.0

中央値　……　すでに小さい順です。10 個（偶数）なので5番目と6番目の平均。
(61 + 64) ÷ 2 = 62.5

最頻値　……　2回出てくるのは 61 だけ。
61

答え：平均値 64.0、中央値 62.5、最頻値 61

3つの値がずれている意味：平均値（64.0）が中央値（62.5）より大きくなっています。これは大きいほうに裾が伸びていることの表れです（79 という高い値が平均を引き上げている）。

偶数個のときの中央値：10 個なら「まん中」がぴったりないので、5番目と6番目の平均を取ります。奇数個なら、そのまま中央の1個です。

この見方は高校まで続きます：平均と中央値のズレの向きから、分布の偏りが読める——数学Iのデータの分析でも、まったく同じ考え方を使います 👉 数学I・Aの要点辞典（第5章）

例題7-3（どの代表値を使うか）　ある店で、1日に売れたTシャツのサイズを調べました。
S: 3枚、M: 12枚、L: 8枚、LL: 2枚

店長が「明日いちばん多く仕入れるべきサイズ」を決めたいとき、どの代表値を使えばよいですか。理由も答えてください。

答え：最頻値を使う。いちばん多く売れたサイズ（M）を知りたいから。

なぜ平均値ではダメか：サイズは S, M, L, LL という数ではない値なので、そもそも足したり割ったりできません。「平均サイズ」に意味がないのです。

なぜ中央値でもないか：中央値は「順位のまん中」なので、いちばん多く売れたサイズとは限りません。仕入れの判断には、実際にいちばん出た値が必要です。

代表値の選び方をもう一度

この判断が問われる：計算だけならどれも簡単ですが、「どれを使うべきか」と理由を書かせる問題が増えています。「何を知りたいのか」から逆算して選んでください。

例題7-4（相対度数と確率）　ペットボトルのキャップを投げて、表が出るか裏が出るかを調べました。

(1) 相対度数の求め方を説明してください。
(2) この結果から、表が出る確率はおよそいくつと考えられますか。

(1)　表が出た回数 ÷ 投げた回数です。たとえば 500 回のときは 203 ÷ 500 = 0.406。

(2)　投げる回数を増やすほど、相対度数はおよそ 0.40 に近づいています。したがって、表が出る確率はおよそ 0.40 と考えられます。

答え：(1) 表が出た回数 ÷ 投げた回数　(2) およそ 0.40

ここが確率の出発点：コインなら「表と裏は同じくらい起こりやすい」と決めて 1/2 と考えられます。しかしペットボトルのキャップは形が非対称なので、そう決められません。だから実際に何度も投げて、相対度数がどこに近づくかを調べる——これが確率のもう1つの決め方です。

回数を増やすほど安定する：50 回では 0.360 とばらついていますが、5000 回では 0.402。試行回数が多いほど、真の値に近づきます。

この先どうつながるか：中2では「同じくらい起こりやすい」と決めて計算する確率を習います 👉 中2数学の要点辞典（第6章）。中3の標本調査、高校の統計的な推測も、「一部から全体を推し量る」という同じ考え方の続きです。

例題7-5（累積度数と累積相対度数）　30人の通学時間を調べたら、次のようになりました。

(1) 通学時間が20分未満の人は何人で、全体の約何%ですか。(2) 短いほうから数えて15番目の人は、どの階級に入りますか。(3) 累積相対度数が初めて 0.5 を超えるのはどの階級ですか。

考え方：累積度数は「その階級までの度数を足したもの」です。上から順に足していくだけですが、「○○未満が何人か」「下から何番目はどこか」を聞かれたら累積で見る——この対応がつくと、表を作った時点でほとんど答えが見えます。

(1)　20分未満は 4 + 9 = 13 人。割合は 13 ÷ 30 = 0.433… なので約43%。

(2)　累積度数を見ると、20分未満までで 13 人、30分未満までで 23 人。14 番目から 23 番目までが次の階級に入るので、15番目は 20分以上30分未満。

(3)　累積相対度数は 0.13 → 0.43 → 0.77 と進むので、初めて 0.5 を超えるのは 20分以上30分未満の階級。

答え：(1) 13人・約43%　(2) 20分以上30分未満　(3) 20分以上30分未満

確認：累積度数のいちばん下は、必ず度数の合計と同じになります。ここが 30 でなければ、どこかで足し忘れています。同じように累積相対度数のいちばん下は必ず 1.00。この2つが、そのまま検算になります。
(2) と (3) が同じ階級になったのは偶然ではありません。30人の真ん中は15番目と16番目で、累積相対度数が 0.5 を超える階級は、ちょうど真ん中の人が入る階級だからです。
「以上」と「未満」の境目を両方に数えないことにも注意してください。ちょうど20分の人は、10 以上 20 未満 ではなく 20 以上 30 未満 に入ります。