中2数学の要点辞典｜全6単元の公式・定石・つまずきポイントと例題30問

例題1-1（同類項とかっこ）　次の計算をしてください。
(1) 3x + 2y − 5x + 4y　(2) (3a − 2b) − (a − 5b)

(1)　x どうし、y どうしをまとめます。
(3 − 5)x + (2 + 4)y = −2x + 6y

(2)　後ろのかっこの前がマイナスなので、中の符号がすべて変わります。
3a − 2b − a + 5b
= (3 − 1)a + (−2 + 5)b = 2a + 3b

答え：(1) −2x + 6y　(2) 2a + 3b

確認：a = 1, b = 1 を入れてみます。元の式は (3 − 2) − (1 − 5) = 1 + 4 = 5、答えは 2 + 3 = 5 ✓

この検算は全問で使えます：計算の前と後に、同じ数を代入すれば必ず同じ値になります。1 を入れれば暗算でできるので、テスト中でも1問10秒です。

例題1-2（単項式の乗除）　6a²b ÷ 3ab × 2b を計算してください。

手順1：左から順に計算する。まず ÷ を分数に直します。
6a²b ÷ 3ab = (6a²b) / (3ab)

手順2：約分する。係数は 6 ÷ 3 = 2、a は a² ÷ a = a、b は b ÷ b = 1。
= 2a

手順3：残りをかける。
2a × 2b = 4ab

答え：4ab

確認：a = 1, b = 2 なら、元の式は 12 ÷ 6 × 4 = 8、答えは 4 × 1 × 2 = 8 ✓

よくある誤り：÷ 3ab × 2b を「3ab × 2b で割る」と読んでしまうこと。× と ÷ は左から順に計算します。もし 3ab × 2b で割るなら、問題文に ÷ (3ab × 2b) とかっこが付きます。

安全なやり方：すべてを1つの分数にまとめてから約分するのが確実です。(6a²b × 2b) / (3ab) = 12a²b² / (3ab) = 4ab。同じ答えになります。

例題1-3（等式の変形）　台形の面積の公式 S = (a + b)h / 2 を、h について解いてください。

手順1：分母を払う。両辺に 2 をかけます。
2S = (a + b)h

手順2：h の係数で割る。両辺を (a + b) で割ります。
h = 2S / (a + b)

答え：h = 2S / (a + b)

確認：上底 a = 3、下底 b = 5、高さ h = 4 の台形なら面積は (3+5) × 4 ÷ 2 = 16。
求めた式に入れると h = 2 × 16 / (3 + 5) = 32 / 8 = 4 ✓

やっていることは方程式と同じ：16 = (3+5)h/2 から h を求めるのと、手順はまったく同じです。数のかわりに文字が入っているだけだと思ってください。

この操作が高校でも出ます：物理や化学の公式変形も、まったく同じ操作です。「解きたい文字を1人にする」——これが等式の変形の目的です。

例題1-4（文字式による説明）　連続する3つの整数の和は、3の倍数になります。このことを説明してください。

手順1：置き方を書く。整数 n を用いて、連続する3つの整数を
n − 1、n、n + 1
と表します。（真ん中を n にするのがコツです）

手順2：式を作って計算する。
(n − 1) + n + (n + 1) = 3n

手順3：結論を書く。n は整数なので、3n は3の倍数です。

したがって、連続する3つの整数の和は3の倍数になります。（説明終わり）

確認：4 + 5 + 6 = 15 = 3 × 5 ✓　10 + 11 + 12 = 33 = 3 × 11 ✓

置き方で計算量が変わる：n, n+1, n+2 と置いても正解ですが、和は 3n + 3 = 3(n + 1) となり、最後にくくる手間が増えます。真ん中を n にすると −1 と +1 が打ち消し合って、一発で 3n。対称に置くという考え方は、高校でもずっと使います。

おまけ：この結果から「連続する3つの整数の和は、真ん中の数の3倍」だとわかります。4 + 5 + 6 = 5 × 3。式が意味を教えてくれる——これが文字式で説明する価値です。

例題1-5（分数の形の式の加減）　次の計算をしてください。
　(1) (2x + y)/3 − (x − 2y)/4　　(2) x/2 + (x − 3y)/6 − y/3

考え方：分母の最小公倍数で通分して、分子どうしをまとめます。分子が2項以上あるときは、通分した時点で必ずかっこをつけること。ここを省くと、次の行でマイナスをかけ忘れます。

(1)　分母をそろえて 12 に。
　= {4(2x + y) − 3(x − 2y)} / 12
　= (8x + 4y − 3x + 6y) / 12
　= (5x + 10y) / 12

(2)　分母をそろえて 6 に。
　= {3x + (x − 3y) − 2y} / 6
　= (3x + x − 3y − 2y) / 6
　= (4x − 5y) / 6

答え：(1) (5x + 10y) / 12　(2) (4x − 5y) / 6

確認：数を入れれば、その場で確かめられます。(1) に x = 1、y = 1 を入れると、もとの式は 3/3 − (−1)/4 = 5/4、答えの式も 15/12 = 5/4。(2) に x = 2、y = 1 を入れると、どちらも 1/2 になります。
いちばん多い間違いは、(1) の − 3(x − 2y) を − 3x − 6y としてしまうこと。マイナスはかっこの中の全部にかかります。
もうひとつ大事なのは、これは方程式ではないので、分母を払ってはいけないということです。12 を掛けて 5x + 10y と答えると、もとの式の 12 倍になってしまいます。等号で結ばれた式（方程式）なら両辺に同じ数を掛けられますが、ただの式にはその自由がありません。

例題2-1（加減法・代入法）　連立方程式 2x + 3y = 12、x − y = 1 を解いてください。

方法1：代入法　下の式から x = y + 1。これを上の式に代入します。
2(y + 1) + 3y = 12
2y + 2 + 3y = 12
5y = 10　→　y = 2

x = y + 1 = 3

方法2：加減法　下の式を2倍して x の係数をそろえます。
2x + 3y = 12
2x − 2y = 2　（右辺も2倍）
辺々引くと　5y = 10　→　y = 2、x = 3

答え：x = 3, y = 2

確認：両方の式に入れます。2 × 3 + 3 × 2 = 12 ✓　3 − 2 = 1 ✓

どちらを選ぶか：この問題は x − y = 1 がすぐ x = y + 1 に直せるので、代入法のほうが速い。両方が ax + by = c の形なら加減法です。10秒だけ形を見てから、手を動かし始めてください。

例題2-2（分数・小数を含む）　連立方程式 0.2x + 0.3y = 1.3、x/2 − y/3 = 0 を解いてください。

手順1：どちらも整数の式に直す。
上の式：両辺を 10 倍　→　2x + 3y = 13
下の式：両辺を 6 倍　→　3x − 2y = 0

手順2：加減法で y を消す。上を2倍、下を3倍して y の係数を 6 にそろえます。
4x + 6y = 26
9x − 6y = 0
辺々足すと　13x = 26　→　x = 2

手順3：y を求める。3 × 2 − 2y = 0　→　y = 3

答え：x = 2, y = 3

確認：0.2 × 2 + 0.3 × 3 = 0.4 + 0.9 = 1.3 ✓　2/2 − 3/3 = 1 − 1 = 0 ✓

符号のそろえ方：+6y と −6y のように符号が逆になったら足す、同じ符号なら引く。「足すか引くか」は、そろえた項の符号で決まります。

10倍・6倍を忘れやすい項：右辺です。0.2x + 0.3y = 1.3 を10倍したのに右辺を 1.3 のままにする——これが最頻出のミスです。

例題2-3（文章題・速さ）　A地点からB地点まで、行きは時速 4 km、帰りは時速 6 km で往復したところ、合計 5 時間かかりました。A地点とB地点の距離を求めてください。

手順1：置き方を書く。A地点とB地点の距離を x km とします。

手順2：式を作る。「時間 ＝ 距離 ÷ 速さ」なので
行きの時間：x / 4 時間
帰りの時間：x / 6 時間

合計が 5 時間なので
x/4 + x/6 = 5

手順3：解く。両辺を 12 倍します。
3x + 2x = 60　→　5x = 60　→　x = 12

手順4：確かめる。行き 12 ÷ 4 = 3 時間、帰り 12 ÷ 6 = 2 時間。合計 5 時間 ✓

答え：12 km

この問題は文字1つで解けます：連立方程式の単元ですが、2つの数量が「行きの距離＝帰りの距離」で結ばれているので、文字は1つで足ります。「文字を2つ置かなければいけない」わけではありません。

よくある誤り：「平均の速さは (4 + 6) ÷ 2 = 5 km/時」として 5 × 5 = 25 km、往復なので片道 12.5 km——これは誤りです。速さは単純に平均できません（同じ距離を進むのにかかる時間が違うため）。実際の平均の速さは 24 ÷ 5 = 4.8 km/時。必ず「時間の合計」で式を立ててください。

例題2-4（文章題・割合）　ある中学校の昨年の生徒数は男女合わせて 400 人でした。今年は男子が 5 % 増え、女子が 10 % 減ったので、全体では 10 人減りました。昨年の男子と女子の人数をそれぞれ求めてください。

手順1：置き方を書く。昨年の男子を x 人、女子を y 人とします。

手順2：2本の式を立てる。
（合計の関係）　x + y = 400
（増減の関係）　男子は 0.05x 人増え、女子は 0.1y 人減り、全体で 10 人減ったので
0.05x − 0.1y = −10

手順3：解く。下の式を 100 倍して整数に。
5x − 10y = −1000　→　両辺を5で割って　x − 2y = −200

x + y = 400 から x = 400 − y。代入して
400 − y − 2y = −200　→　−3y = −600　→　y = 200、x = 200

手順4：確かめる。今年の男子は 200 × 1.05 = 210 人、女子は 200 × 0.9 = 180 人。合計 390 人で、昨年より 10 人減 ✓

答え：昨年の男子 200 人、女子 200 人

「増えた分」と「増えた後」を区別する：増減の式を立てるときは「増えた分」だけを書きます（0.05x）。「増えた後の人数」で式を立てるなら 1.05x + 0.9y = 390 となり、右辺が 390 になります。どちらでも正解ですが、混ぜると必ず間違えます。どちらの立て方をしているか、自分で決めてから書いてください。

答えの吟味：人数なので正の整数でなければなりません。もし小数や負の数が出たら、式の立て方を見直してください。

例題2-5（A = B = C の形）　x + 2y = 3x − y = 7 を解いてください。

考え方：等号が2つ並んだ形は、そのままでは扱えません。「3つのうち2つを選んで＝で結ぶ」を2回やって、ふつうの連立方程式に直します。
選び方は3通り（A = B と B = C、A = B と A = C、A = C と B = C）ありますが、どれを選んでも同じ解になります。いちばん式が簡単になる組を選ぶと速く済みます。

ここでは数がある 7 と結ぶのがいちばん簡単なので
　x + 2y = 7　……①
　3x − y = 7　……②

②より y = 3x − 7。これを①に代入して
　x + 2(3x − 7) = 7　→　7x − 14 = 7　→　7x = 21　→　x = 3
　y = 3 × 3 − 7 = 2

答え：x = 3、y = 2

確認：3つの式すべてに入れて確かめます。x + 2y = 3 + 4 = 7、3x − y = 9 − 2 = 7。どちらも 7 になり、確かに x + 2y = 3x − y = 7 が成り立っています。
別の組み方（x + 2y = 3x − y と 3x − y = 7）で解いても x = 3、y = 2 になります。3つのうち2つを選べば足りるのは、残りの1つが自動的に成り立つからです。3つ全部を連立させる必要はありません。

例題3-1（2点から式を求める）　2点 (1, 3)、(3, 7) を通る直線の式を求めてください。

手順1：傾きを出す。
a = (7 − 3) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2

手順2：1点を代入して切片を出す。y = 2x + b に (1, 3) を入れて
3 = 2 × 1 + b　→　b = 1

答え：y = 2x + 1

確認：使わなかったほうの点で確かめます。x = 3 のとき y = 2 × 3 + 1 = 7 ✓

この検算を必ずやってください：2点のうち片方は式を作るのに使い、もう片方は検算に使えます。無料で手に入る検算なので、使わない手はありません。

傾きの意味を確かめる：a = 2 は「x が1増えると y が2増える」という意味。実際 x が 1 から 3 へ2増えたとき、y は 3 から 7 へ4増えています。4 ÷ 2 = 2 ✓

例題3-2（傾きと1点から）　変化の割合が −2 で、x = 1 のとき y = 5 である一次関数の式を求めてください。また、この直線と x 軸との交点の座標を求めてください。

手順1：式を作る。変化の割合が傾きなので y = −2x + b。
(1, 5) を代入して　5 = −2 + b　→　b = 7

y = −2x + 7

手順2：x 軸との交点。x 軸上の点は y = 0 です。
0 = −2x + 7　→　x = 7/2

答え：y = −2x + 7、x 軸との交点は (7/2, 0)

確認：x = 1 のとき −2 + 7 = 5 ✓　x = 3.5 のとき −7 + 7 = 0 ✓

軸との交点の覚え方：
x 軸との交点　→　y = 0 を代入
y 軸との交点　→　x = 0 を代入（これが切片）
「その軸の上では、もう一方の座標が0」と考えれば、暗記の必要はありません。

傾きが負のグラフ：−2 なので右下がり。「右へ1、下へ2」動きます。グラフを描いて、右下がりになっているか確認してください。

例題3-3（2直線の交点）　2直線 y = 2x + 1 と y = −x + 7 の交点の座標を求めてください。

手順1：連立して解く。どちらも y = の形なので、右辺どうしを等号でつなぎます。
2x + 1 = −x + 7
3x = 6　→　x = 2

手順2：y を求める。どちらの式に入れても同じです。
y = 2 × 2 + 1 = 5

答え：(2, 5)

確認：もう一方の式でも確かめます。y = −2 + 7 = 5 ✓　一致しました。

なぜ右辺どうしを結べるのか：交点ではどちらの式の y も同じ値だからです。y = 2x + 1 かつ y = −x + 7 なら、2x + 1 と −x + 7 は同じもの。「同じものは等号で結べる」という当たり前の話です。

交点が存在しない場合：y = 2x + 1 と y = 2x + 5 なら、傾きが同じ＝平行なので交わりません。式で解こうとすると 1 = 5 という成り立たない式になります。これは「解なし」のサインです。

例題3-4（一次関数の利用）　水そうに 20 L の水が入っています。ここに毎分 4 L の割合で水を入れるとき、
(1) x 分後の水の量を y L として、y を x の式で表してください。
(2) 水そうの水が 100 L になるのは何分後ですか。

(1) 手順1：変化の割合と最初の値を読む。
毎分 4 L 増える　→　変化の割合（傾き）は 4
最初（x = 0）に 20 L　→　切片は 20

y = 4x + 20

(2) 手順2：y = 100 を代入する。
100 = 4x + 20　→　4x = 80　→　x = 20

答え：(1) y = 4x + 20　(2) 20 分後

確認：20 分で 4 × 20 = 80 L 増え、もともとの 20 L と合わせて 100 L ✓

文章題での読み取り方

「1あたりいくつ変わるか」が傾き、「スタート地点」が切片。この対応さえ押さえれば、料金でも水そうでも動点でも同じように式が立ちます。

変域を聞かれたら：水そうの容量が 100 L なら、0 ≤ x ≤ 20 です。現実にあり得る範囲を答えます。

例題4-1（平行線と角）　平行な2直線 ℓ、m の間に折れ線があり、ℓ との角が 50°、m との角が 30° です。折れ点の角の大きさを求めてください。

手順1：補助線を引く。折れ点を通り、ℓ（および m）に平行な直線を1本引きます。

手順2：角を分ける。折れ点の角は、補助線によって2つに分かれます。
・上側の角は、ℓ との錯角なので 50°
・下側の角は、m との錯角なので 30°

手順3：足す。
50° + 30° = 80°

答え：80°

補助線を引く理由：ℓ と m は平行ですが、折れ点はどちらの直線上にもありません。だから、そのままでは錯角が使えません。折れ点を通る平行線を引くことで、上下それぞれで錯角が作れるようになります。

この形はほぼ必ず出ます：「平行線の間に折れ線」を見たら、折れ点を通る平行線を引く——1本の補助線で解決します。折れ点が2つ以上あるときは、それぞれの折れ点に引いてください。

例題4-2（多角形の角）　(1) 十角形の内角の和を求めてください。(2) 正十角形の1つの内角の大きさを求めてください。

(1)　(n − 2) × 180° に n = 10 を入れて
(10 − 2) × 180° = 8 × 180° = 1440°

(2) 方法1：内角の和から。正十角形は10個の角がすべて等しいので
1440° ÷ 10 = 144°

(2) 方法2：外角から（こちらが速い）。外角の和は何角形でも 360°。正十角形なら1つの外角は
360° ÷ 10 = 36°
内角と外角は足して 180° なので
180° − 36° = 144°

答え：(1) 1440°　(2) 144°

どちらが速いか：方法2（外角から）です。360 ÷ n は割り切れることが多く、暗算できます。正多角形の角を聞かれたら、まず外角から考えてください。

逆向きの問題：「1つの外角が 24° の正多角形は何角形か」なら 360 ÷ 24 = 15 で正十五角形。「内角が 150°」なら外角は 30° なので 360 ÷ 30 = 12 で正十二角形。内角で聞かれても、外角に直してから割るのが定石です。

なぜ外角の和が 360° なのか：多角形の周りを1周歩くと、各頂点で外角のぶんだけ向きを変え、スタート地点に戻ったときちょうど1回転しています。だから合計 360°。角の数に関係ないのは、この説明を知っていれば納得できます。

例題4-3（合同条件の選び方）　次の各場合、2つの三角形は合同といえますか。いえる場合は合同条件を答えてください。
(1) AB = DE、BC = EF、∠B = ∠E
(2) AB = DE、BC = EF、∠A = ∠D
(3) AB = DE、∠A = ∠D、∠B = ∠E

(1) 合同といえる　……　∠B は辺 AB と BC の間の角です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

(2) 合同とはいえない　……　∠A は辺 AB と BC の間の角ではありません（AB と AC の間の角）。この条件だけでは、形が2通りに決まってしまうことがあります。

(3) 合同といえる　……　∠A と ∠B は、辺 AB の両端の角です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

判定のしかた：角が「どの2辺の間にあるか」「どの辺の端にあるか」を、図で指さして確認してください。条件の名前を暗記するより、この確認のほうが確実です。

(2)がなぜダメか：AB と ∠A を固定して BC の長さだけ決めると、点 C の位置が2か所あり得ることがあります（B を中心にした円が、A から出る半直線と2点で交わる場合）。だから形が1つに決まりません。高校の「正弦定理で角が2通り出る」問題は、これと同じ現象です。

もう1つの条件：3組の辺がそれぞれ等しい——これも合同条件です。辺だけで決まるのは、三角形が「変形しない図形」だからです（四角形は辺の長さが同じでも形が変わります）。

例題4-4（合同の証明）　線分 AB と線分 CD が点 O で交わっていて、AO = BO、CO = DO です。このとき AC = BD であることを証明してください。

証明

△AOC と △BOD において

仮定より　AO = BO　……①
仮定より　CO = DO　……②
対頂角は等しいので　∠AOC = ∠BOD　……③

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△AOC ≡ △BOD

合同な図形では対応する辺が等しいので
AC = BD　（証明終わり）

この答案で点になるのはどこか
・「△AOC と △BOD において」——どの2つを比べるかの宣言
・①②③それぞれの理由（「仮定より」「対頂角は等しいので」）
・合同条件の名前を正確に書くこと
・最後の一文（聞かれているのは AC = BD なので、そこまで書く）

③が見つかるかどうかが山場：辺の条件は問題文に書いてありますが、3つ目は自分で見つける必要があります。「共通」「対頂角」「錯角」を上から順に探す——この順で見れば、たいてい見つかります。

対応の順を守る：△AOC ≡ △BOD と書いたので、A↔B、O↔O、C↔D が対応します。だから AC に対応するのは BD。順番を守って書けば、対応する辺が自動的に読めます。

例題4-5（外角を使う）　(1) 正十八角形の1つの内角の大きさを求めてください。(2) 1つの内角が 144° である正多角形は、何角形ですか。

考え方：内角から攻めると (n − 2) × 180 ÷ n という分数の計算になります。ところが外角の和は、何角形でもいつも 360°。正多角形なら外角はすべて等しいので、外角から入るとわり算1回で済みます。

(1)　外角は 360° ÷ 18 = 20°。内角と外角は一直線に並ぶので
　内角 = 180° − 20° = 160°

(2)　内角が 144° なので外角は 180° − 144° = 36°。外角の和は 360° だから
　360° ÷ 36° = 10　→　正十角形

答え：(1) 160°　(2) 正十角形

確認：内角の和の式でも確かめられます。(1) は (18 − 2) × 180 ÷ 18 = 2880 ÷ 18 = 160、(2) は正十角形の内角が (10 − 2) × 180 ÷ 10 = 144。どちらの道でも同じ答えになります。
使い分けの目安は「1つ分の角を聞かれたら外角から、全部の和を聞かれたら内角の和から」。とくに (2) のように角度から角の数を逆に求める問題は、外角のほうが圧倒的に速くなります。360 のわり算になるので、割り切れるかどうかで答えが整数になるかの見当もつきます。

例題5-1（二等辺三角形）　AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A = 40° です。∠B の大きさを求めてください。また、∠B の二等分線と AC の交点を D とするとき、∠BDC の大きさを求めてください。

手順1：底角を求める。AB = AC なので ∠B = ∠C（二等辺三角形の底角）。
内角の和が 180° なので
∠B = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°

手順2：∠BDC を求める。BD は ∠B の二等分線なので ∠DBC = 70° ÷ 2 = 35°。
三角形 DBC で内角の和を使うと
∠BDC = 180° − 35° − 70° = 75°

答え：∠B = 70°、∠BDC = 75°

別解（外角を使う）：∠BDC は三角形 ABD の外角なので、となり合わない2つの内角の和に等しい。
∠BDC = ∠A + ∠ABD = 40° + 35° = 75° ✓
外角を使うと引き算が1回減ります。角度の計算では、この形を探す習慣をつけてください。

底角の見つけ方：AB = AC なので、等しい2辺にはさまれた ∠A が頂角。残りの ∠B と ∠C が底角です。図がどんな向きでも、等しい辺を先に確認すれば迷いません。

例題5-2（平行四辺形になる条件）　四角形 ABCD について、次の条件のとき平行四辺形といえますか。
(1) AB // DC、AB = DC
(2) AB // DC、AD = BC
(3) AC と BD がそれぞれの中点で交わる

(1) 平行四辺形といえる　……　1組の対辺が平行でその長さが等しい（条件⑤）。AB と DC という同じ1組について、平行と長さの両方が言えています。

(2) 平行四辺形とはいえない　……　平行なのは AB と DC の組、長さが等しいのは AD と BC の組で、別々の組です。この条件は等脚台形でも成り立ちます。

(3) 平行四辺形といえる　……　対角線がそれぞれの中点で交わる（条件④）。

(2)の反例を思い浮かべる：上底と下底が平行で、左右の辺の長さが等しい台形（等脚台形）。平行四辺形ではありません。「条件が2つあるから大丈夫」と思わず、同じ組かどうかを確認してください。

覚え方：条件⑤は「平行」と「等しい」が同じ辺のペアについて言えるときだけ使えます。この一点を押さえておけば、(2)のような引っかけに引っかかりません。

例題5-3（平行四辺形の証明）　平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に、BE = DF となる2点 E, F をとります（E は B 側、F は D 側）。このとき、四角形 AECF は平行四辺形であることを証明してください。

方針：対角線を使う条件④で示します。四角形 AECF の対角線は AC と EF です。

証明

AC と BD の交点を O とします。

平行四辺形 ABCD の対角線はそれぞれの中点で交わるので
AO = CO　……①
BO = DO　……②

仮定より　BE = DF　……③

②③より
EO = BO − BE = DO − DF = FO　……④

①④より、四角形 AECF は対角線 AC と EF がそれぞれの中点 O で交わるので、平行四辺形です。（証明終わり）

この証明の要点：
・「平行四辺形 ABCD」は最初から与えられているので、その性質（対角線が中点で交わる）は使ってよい
・示したいのは「AECF が平行四辺形」なので、こちらには条件を使う
・同じ点 O が両方の対角線の中点になっていることを示すのがゴール

「性質」と「条件」の使い分けが、まさにここです。与えられている図形には性質を、示したい図形には条件を——この向きを守れば、証明の道筋が自然に決まります。

別の方針もある：△ABE ≡ △CDF を示して AE = CF、同様に AF = CE を示せば、2組の対辺が等しい（条件②）でも証明できます。どの条件を使うかで、書く量が変わります。対角線が図に描かれているなら、条件④がいちばん短く済みます。

例題5-4（等積変形）　四角形 ABCD の面積を変えずに、頂点 D を辺 BC の延長線上に移して三角形に作り変えるには、どうすればよいですか。理由も説明してください。

方法　対角線 AC を引きます。次に、点 D を通り AC に平行な直線を引き、辺 BC の延長との交点を E とします。すると三角形 ABE が、もとの四角形 ABCD と同じ面積になります。

理由　三角形 ACD と三角形 ACE を比べます。
・底辺 AC は共通
・DE // AC なので、D と E から AC までの距離（高さ）は等しい

したがって △ACD = △ACE（面積が等しい）。

四角形 ABCD = △ABC + △ACD、三角形 ABE = △ABC + △ACE なので、
四角形 ABCD ＝ 三角形 ABE（説明終わり）

等積変形の考え方：底辺を固定して、頂点を底辺に平行な直線上で動かすと、高さが変わらないので面積も変わりません。「面積を変えずに形を変える」——この操作が等積変形です。

使いどころ：
・四角形を三角形に直して、面積を計算しやすくする
・土地を分ける問題（境界線をまっすぐにする）
・図形の面積を2等分する直線を引く

高校でも同じ発想が出ます：数学IIの「放物線と直線で囲まれた面積」では、面積を変えずに図形を移す考え方が使われます。中2で身につけた「平行なら高さが同じ」が、そのまま効いています。

例題5-5（直角三角形の合同）　AB = AC の二等辺三角形 ABC で、底辺 BC の中点を M とします。M から辺 AB、AC にそれぞれ垂線 MD、ME を引くとき、MD = ME であることを証明してください。

考え方：直角三角形どうしの合同では、ふつうの合同条件のほかに2つ使えます——「斜辺と1つの鋭角」と「斜辺と他の1辺」。直角が1つ確保されているぶん、等しいものが2つ見つかれば足りるのがこの条件の強みです。
ここでは MD ⊥ AB、ME ⊥ AC から直角が2つ。あとは二等辺三角形の底角が等しいことと、M が中点であることを使います。

答え：上のとおり

確認：②で使った BM と CM は、直角の向かい側にある辺、つまり斜辺です。「斜辺と1つの鋭角」の条件では、等しいと言う辺が斜辺でなければいけません。ここを別の辺で書くと条件を満たしません。
③の底角が等しいことは、AB = AC から出ます。与えられた条件のうち、まだ使っていないものが残っていないかを確かめる——証明で手が止まったら、この見直しが有効です。ここでは AB = AC、M が中点、垂線の3つをすべて使い切っています。

例題6-1（さいころ2個）　大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の和が 7 になる確率を求めてください。

手順1：全部の場合の数。大小を区別して 6 × 6 = 36 通り。

手順2：和が7になる場合を書き出す。
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)　の 6 通り

手順3：確率を出す。
6 / 36 = 1/6

答え：1/6

なぜ区別するのか：もし区別せずに「和は2から12までの11通り」と考えて 1/11 とすると誤りです。和が 2 になるのは (1,1) の1通りだけ、和が 7 になるのは6通り。起こりやすさが違うものを同じに数えてはいけません。

表で整理すると速い：縦に大の目、横に小の目で 6 × 6 の表を作り、和が 7 になるマスに印をつけます。ちょうど斜め1本に並ぶので、数え間違えません。

和が7がいちばん出やすい：2 と 12 は1通り、7 は6通り。真ん中が最も多いのは、組み合わせの数がそうなっているからです。

例題6-2（少なくとも）　コインを 3 枚同時に投げるとき、少なくとも1枚は表が出る確率を求めてください。

手順1：全部の場合の数。各コインが表・裏の2通りなので 2 × 2 × 2 = 8 通り。

手順2：反対を数える。「少なくとも1枚は表」の反対は「1枚も表が出ない」＝「3枚とも裏」で、これは 1 通りだけ。

手順3：1から引く。
1 − 1/8 = 7/8

答え：7/8

正面から数えると：「表が1枚」3 通り、「表が2枚」3 通り、「表が3枚」1 通りで合計 7 通り。7/8 で一致します。ただし場合分けが3つ必要で、数え落としの危険があります。

「少なくとも」を見たら反対を数える：これはこの先ずっと使う定石です。高校の確率でも、まったく同じ形で出てきます 👉 数学I・Aの要点辞典（第7章 確率）

樹形図で確かめる：3枚のコインを順に見ていくと、2 → 4 → 8 と枝が増えます。8本の枝のうち「裏裏裏」だけが該当しない——図で見ると一目です。

例題6-3（くじ引き）　5 本のくじの中に当たりが 2 本あります。この中から続けて 2 本引くとき（引いたくじは戻さない）、2本とも当たりである確率を求めてください。

手順1：1本目が当たりの確率。5 本のうち当たりは 2 本なので 2/5。

手順2：2本目も当たりの確率。1本目で当たりを1本引いたので、残りは4本、そのうち当たりは1本。よって 1/4。

手順3：かける。
(2/5) × (1/4) = 2/20 = 1/10

答え：1/10

別解（全部書き出す）：当たりを A₁, A₂、はずれを B₁, B₂, B₃ と区別して、2本の選び方を数えます。組み合わせは 10 通り、そのうち両方当たりは {A₁, A₂} の 1 通り。1/10 ✓

「戻さない」が効いている：2本目のときは全体も当たりも1つずつ減っています。もし「引いたくじを戻す」なら、2本目も 2/5 のままで、答えは (2/5)² = 4/25 になります。問題文の「戻す／戻さない」を必ず確認してください。

当たりを区別する理由：A₁ と A₂ を区別しないと、「当たり2本」を1通りと数えるか2通りと数えるかで混乱します。区別して数えるのが、いつでも安全です。

例題6-4（四分位数と箱ひげ図）　次の 9 個のデータについて、中央値・第1四分位数・第3四分位数・四分位範囲を求めてください。
1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15

手順1：中央値を出す。すでに小さい順に並んでいます。9 個なので5番目が中央値。
Q₂ = 7

手順2：下半分・上半分に分ける。まん中の 7 は、どちらにも入れません。
下半分：1, 3, 4, 6（4個）
上半分：9, 10, 12, 15（4個）

手順3：それぞれの中央値を出す。4個なので、真ん中2つの平均です。
Q₁ = (3 + 4) ÷ 2 = 3.5
Q₃ = (10 + 12) ÷ 2 = 11

手順4：四分位範囲。
Q₃ − Q₁ = 11 − 3.5 = 7.5

答え：中央値 7、Q₁ = 3.5、Q₃ = 11、四分位範囲 7.5

この箱ひげ図の5つの数：最小値 1、Q₁ = 3.5、中央値 7、Q₃ = 11、最大値 15。箱の左端が 3.5、右端が 11、中の線が 7 になります。

最頻出のミス：中央値を上下両方に入れてしまうこと。この例だと下半分を 1,3,4,6,7 の5個としてしまい、Q₁ = 4 という違う答えになります。データが奇数個のときは、まん中の1個を除くと覚えてください。

範囲との違い：範囲は 15 − 1 = 14、四分位範囲は 7.5。四分位範囲は、飛び離れた値（この場合の 15）の影響を受けにくいので、散らばりを比べるときはこちらが使われます。

高校でもこのまま出ます：数学Iの「データの分析」で、同じ四分位数と箱ひげ図を扱います 👉 数学I・Aの要点辞典（第5章）

例題6-5（2つのデータを比べる）　A組とB組（どちらも20人）の得点について、最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値が次のようになりました。

次の（ア）〜（ウ）は、この表から正しいと判断できますか。

（ア）四分位範囲は A組のほうが大きい
（イ）12点以上の生徒は、A組に少なくとも5人いる
（ウ）B組には、ちょうど8点の生徒が必ずいる

考え方：この形の問題で問われているのは計算ではなく、「その5つの数から、どこまで言えるか」です。言えることと言えないことの線引きを、1つずつ確かめます。

（ア）正しい：四分位範囲は Q₃ − Q₁ なので、A組は 12 − 5 = 7、B組は 10 − 7 = 3。A組のほうが散らばりが大きいとわかります。

（イ）正しい：20人を小さい順に並べると、Q₃ は上位10人のまん中、つまり15番目と16番目の平均です。これが12なので、16番目から20番目までの5人は12点以上。よって少なくとも5人います。

（ウ）正しいとは言えない：20人は偶数なので、中央値は10番目と11番目の平均です。たとえば10番目が7点、11番目が9点でも中央値は8点になります。8点の生徒が1人もいなくても、中央値は8になり得ます。

答え：（ア）正しい　（イ）正しい　（ウ）正しいとは言えない

確認：（ウ）の反例を実際に作ってみます。4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 15, 18, 20 の20個は、最小値4・Q₁ 7・中央値8・Q₃ 10・最大値20 でB組の表と完全に一致しますが、8点は1つもありません。
このほか平均値も、この5つの数からは求められません。中央値が同じでも平均が同じとは限らない——「読み取れること」と「読み取れないこと」を分けるのが、この単元でいちばん問われるところです。