中3数学の要点辞典｜全8単元の公式・定石・つまずきポイントと例題40問

例題1-1（展開）　次の式を展開してください。
(1) (x + 3)(x − 5)　(2) (2x − 3)²

(1)　公式①「たして真ん中、かけて最後」を使います。3 + (−5) = −2、3 × (−5) = −15。
= x² − 2x − 15

(2)　(2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² と当てはめます。
= 4x² − 12x + 9

答え：(1) x² − 2x − 15　(2) 4x² − 12x + 9

確認：x = 1 を入れてみます。(1) 元の式は 4 × (−4) = −16、答えは 1 − 2 − 15 = −16 ✓。(2) 元の式は (−1)² = 1、答えは 4 − 12 + 9 = 1 ✓

この検算を覚えてください：展開の前と後に、同じ数を代入すれば必ず同じ値になります。x = 1 なら暗算でできるので、テストでも使えます。

例題1-2（因数分解）　次の式を因数分解してください。
(1) x² − 7x + 12　(2) 2x² − 8

(1)　「たして −7、かけて 12」になる2数を探します。
かけて +12 なので2数は同符号。たして −7 なのでどちらも負。
候補は (−1, −12), (−2, −6), (−3, −4)。たして −7 になるのは (−3, −4)。
= (x − 3)(x − 4)

(2)　まず共通因数 2 でくくります。
2x² − 8 = 2(x² − 4)

かっこの中は「2乗どうしの引き算」なので、さらに分けられます。
= 2(x + 2)(x − 2)

答え：(1) (x − 3)(x − 4)　(2) 2(x + 2)(x − 2)

確認：展開して戻します。(1) (x−3)(x−4) = x² − 7x + 12 ✓　(2) 2(x² − 4) = 2x² − 8 ✓

(2)を (2x + 4)(x − 2) と書いたら：展開すると 2x² − 8 になるので値は合っています。ただし 2x + 4 = 2(x + 2) とまだくくれるので、因数分解としては未完成です。数の共通因数は前に出す——これが正しい形です。

例題1-3（計算の工夫）　次の計算を、公式を使って暗算で求めてください。
(1) 102²　(2) 98 × 102

(1)　102 = 100 + 2 と見て、公式②を使います。
(100 + 2)² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404

(2)　98 = 100 − 2、102 = 100 + 2。公式④の形です。
(100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996

答え：(1) 10404　(2) 9996

見つけ方：キリのよい数（100、50、20など）からいくつずれているかを見ます。「両方が同じ数だけ、逆向きにずれている」なら公式④です。97 × 103 なら 100² − 3² = 9991。

なぜこれを練習するのか：数の計算を速くするためだけではありません。「公式が使える形に、自分で作り替える」という動作の練習です。高校数学では、この作り替えが解法そのものになります。

例題1-4（文字式による説明）　連続する2つの奇数の積に 1 を足すと、4 の倍数になります。このことを説明してください。

手順1：文字で表す。連続する2つの奇数は、整数 n を使って
2n − 1 と 2n + 1
と表せます。（真ん中を 2n にすると、あとの計算が軽くなります）

手順2：式を作って計算する。
(2n − 1)(2n + 1) + 1 = (4n² − 1) + 1 = 4n²

手順3：結論を書く。n は整数なので n² も整数です。したがって 4n² は 4 の倍数です。

よって、連続する2つの奇数の積に 1 を足すと 4 の倍数になります。（説明終わり）

確認：3 × 5 + 1 = 16 = 4 × 4 ✓　7 × 9 + 1 = 64 = 4 × 16 ✓　11 × 13 + 1 = 144 = 4 × 36 ✓

置き方で計算量が変わる：もし 2n + 1 と 2n + 3 と置くと、積は 4n² + 8n + 3 になり、1 を足して 4n² + 8n + 4 = 4(n² + 2n + 1)。これでも正解ですが、ひと手間多い。公式④が使える形（対称な置き方）を選ぶと、計算がきれいに終わります。

「結論を書く」が採点対象：4n² まで出して終わりにすると減点されます。「n² は整数だから、4n² は4の倍数」と、最後の一文を必ず書いてください。

例題1-5（置きかえと、4つの項の因数分解）　次の式を因数分解してください。(1) (x + y)² − 4(x + y) + 3　(2) xy − x − y + 1

考え方：どちらも公式がそのままでは当てはまりません。「公式が使える形に、自分で持っていく」のがこの2問の共通点です。

(1) 同じかたまりを1文字に置く
x + y が2か所に出てきます。くり返し現れるかたまりは、1文字に置くと形が見えます。x + y = A とおくと
　A² − 4A + 3 = (A − 1)(A − 3)
A を戻して　(x + y − 1)(x + y − 3)

(2) 項が4つなら、2つずつに分ける
項が4つのときは2つずつ組にして、共通因数を作りにいきます。前2つを x でくくると
　x(y − 1) − (y − 1)
ここで y − 1 が共通になったので、これでくくって　(x − 1)(y − 1)

答え：(1) (x + y − 1)(x + y − 3)　(2) (x − 1)(y − 1)

確認：因数分解したら展開して戻すのが確実です。(2) は (x − 1)(y − 1) = xy − x − y + 1 でもとの式に戻ります。
数を入れて確かめる手もあります。x = 2、y = 3 なら、もとの式は 6 − 2 − 3 + 1 = 2、因数分解した式は 1 × 2 = 2。一致します。1組の数で合えば必ず正しい、とまでは言えませんが、書き間違いはほぼ見つかります。
(2) は後ろ2つを先にくくっても構いません（−(y − 1) の形に気づけるかどうかです）。どちらの組で試すかは決まっていないので、片方でうまくいかなければもう片方に切りかえます。

例題2-1（√を簡単にする）　次の数を、√ の中がいちばん小さい自然数になるように直してください。
(1) √12　(2) √50　(3) √12 + √27 − √48

(1)　12 = 4 × 3 なので　√12 = √4 × √3 = 2√3

(2)　50 = 25 × 2 なので　√50 = 5√2

(3)　全部そろえてから計算します。
√12 = 2√3、√27 = √(9 × 3) = 3√3、√48 = √(16 × 3) = 4√3
2√3 + 3√3 − 4√3 = (2 + 3 − 4)√3 = √3

答え：(1) 2√3　(2) 5√2　(3) √3

確認：(3) を電卓で見ると 3.464 + 5.196 − 6.928 = 1.732。√3 ≒ 1.732 と一致します。

探し方のコツ：√48 なら、48 を 4, 9, 16, 25, 36 で割ってみます。48 ÷ 16 = 3 で割り切れるので 4√3。いちばん大きい平方数で割ると、一度で終わります（4 で割って 2√12 としても、まだ √12 = 2√3 と続くので二度手間になります）。

例題2-2（有理化）　次の数の分母を有理化してください。
(1) 3/√2　(2) 2/(√3 − 1)

(1)　分母分子に √2 を掛けます。
3/√2 = (3 × √2)/(√2 × √2) = 3√2/2

(2)　分母が「√ − 数」の形なので、符号を変えたもの（√3 + 1）を分母分子に掛けます。
2/(√3 − 1) = {2(√3 + 1)} / {(√3 − 1)(√3 + 1)}

分母は公式④で (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2。
= {2(√3 + 1)} / 2 = √3 + 1

答え：(1) 3√2/2　(2) √3 + 1

確認：(2) の元の式は 2 ÷ (1.732 − 1) = 2 ÷ 0.732 ≒ 2.73。答えは 1.732 + 1 = 2.73 ✓

(2)で公式④が使える理由：(√3 − 1)(√3 + 1) は (a − b)(a + b) = a² − b² の形です。2乗すると √ が消える——だから符号を変えたものを掛けるのです。第1章の乗法公式が、そのまま道具になっています。

例題2-3（√の計算）　次の式を計算してください。
(1) (√3 + √2)²　(2) (√5 + 2)(√5 − 2)

(1)　公式②を使います。(√3)² + 2 × √3 × √2 + (√2)²
= 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6

(2)　公式④の形です。(√5)² − 2² = 5 − 4 = 1

答え：(1) 5 + 2√6　(2) 1

確認：(1) (1.732 + 1.414)² = 3.146² ≒ 9.90。答えは 5 + 2 × 2.449 = 9.90 ✓

(2)がきれいに1になる意味：√5 + 2 と √5 − 2 は、掛けると √ が消えるペアです。だから 1/(√5 − 2) を有理化すると √5 + 2 になります。有理化とこの計算は、同じ性質の表と裏です。

例題2-4（大小と整数部分）　√5 の整数部分と小数部分を求めてください。また、その小数部分を a とするとき a² + 4a の値を求めてください。

手順1：平方数ではさむ。
2² = 4、3² = 9。4 < 5 < 9 なので
2 < √5 < 3

したがって整数部分は 2。

手順2：小数部分を出す。小数部分は「もとの数 − 整数部分」なので
a = √5 − 2

手順3：代入する。そのまま代入すると計算が重いので、先に式を変形します。
a² + 4a = a(a + 4)

a = √5 − 2 なので a + 4 = √5 + 2。
a(a + 4) = (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1

答え：整数部分 2、小数部分 √5 − 2、a² + 4a = 1

確認：√5 ≒ 2.236 なので a ≒ 0.236。0.236² + 4 × 0.236 ≒ 0.056 + 0.944 = 1.00 ✓

そのまま代入したら：(√5 − 2)² + 4(√5 − 2) = (9 − 4√5) + (4√5 − 8) = 1。同じ答えですが、√5 の項が打ち消し合うのを最後まで待つことになります。先に因数分解して、公式④が使える形を作るほうが速くて安全です。

この考え方は高校でも出ます：√ を含む数の計算では、代入する前に式を整理するのが基本です。数学I・Aの「対称式」の考え方につながります。

例題2-5（√が整数になる条件）　(1) √(48n) が整数になるような自然数 n のうち、最小のものを求めてください。(2) √(120/n) が整数になるような自然数 n をすべて求めてください。

考え方：√ が整数になるのは、中身が「2乗の数（平方数）」になっているときです。だからこの型ではまず素因数分解して、指数がすべて偶数になるには何が足りないかを見ます。

(1)　48 = 2⁴ × 3。2 は4個（偶数個）なのでそのまま外に出せますが、3 が1個だけ余っています。
　√(48n) = 4√(3n) なので、3n が平方数になればよい。最小は 3n = 9、つまり n = 3。
　このとき √(48 × 3) = √144 = 12 で、確かに整数です。

(2)　120 = 2³ × 3 × 5。今度は割るので、条件が2つになります。
　① n は 120 の約数（そうでないと 120/n が整数にならない）
　② 120/n が平方数
　120 の約数のうち平方数は 1 と 4 だけです（9、16、25 は 120 を割り切りません）。
　120/n = 1 → n = 120、120/n = 4 → n = 30。

答え：(1) n = 3　(2) n = 30, 120

確認：(2) を検算すると √(120/30) = √4 = 2、√(120/120) = √1 = 1。どちらも整数です。
この型でいちばん多い誤りは、(2) で「120 の約数である」という条件を忘れることです。120/n が平方数という条件だけを追うと、分数の平方数まで拾ってしまいます。「整数になる」と書かれていたら、割り切れるかどうかを先に確かめてください。
また (1) で「最小の」と聞かれている点も大事です。n = 12, 27, 48 なども条件を満たしますが、問われているのは最小の1つ。条件を満たす数を全部書くのか、最小を1つ書くのかを、問題文で必ず確かめてください。

例題3-1（因数分解で解く）　x² − 5x + 6 = 0 を解いてください。

手順1：因数分解できるか試す。「たして −5、かけて 6」になる2数は −2 と −3。
(x − 2)(x − 3) = 0

手順2：「積が0」を使う。
x − 2 = 0 または x − 3 = 0
x = 2, 3

答え：x = 2, 3

確認：x = 2 なら 4 − 10 + 6 = 0 ✓　x = 3 なら 9 − 15 + 6 = 0 ✓

解の公式でやると：x = {5 ± √(25 − 24)}/2 = (5 ± 1)/2 = 3, 2。同じ答えですが手数が多い。因数分解が見えたら、そちらを使ってください。

例題3-2（平方完成で解く）　x² − 4x − 1 = 0 を、平方完成を使って解いてください。

手順1：定数項を右へ移す。
x² − 4x = 1

手順2：「係数の半分の2乗」を両辺に足す。x の係数は −4、半分は −2、2乗は 4。
x² − 4x + 4 = 1 + 4
(x − 2)² = 5

手順3：平方根をとる。
x − 2 = ±√5
x = 2 ± √5

答え：x = 2 + √5, 2 − √5

確認：√5 ≒ 2.236 なので x ≒ 4.236 または −0.236。x = 4.236 を入れると 17.94 − 16.94 − 1 ≒ 0 ✓

なぜ「半分の2乗」なのか：(x + m)² = x² + 2mx + m² だからです。x の係数は 2m なので、m はその半分。そして足すべき定数は m²、つまり半分の2乗。第1章の公式②を逆から使っているだけです。

この計算が高校でそのまま出ます：数学Iの2次関数では、平方完成が頂点を出す道具になります。ここで手が動くようにしておくと、高校で大きく差がつきます。

例題3-3（解の公式）　2x² + 3x − 1 = 0 を解いてください。

手順1：a, b, c を書き出す。
a = 2、b = 3、c = −1

手順2：√ の中を先に計算する。
b² − 4ac = 3² − 4 × 2 × (−1) = 9 + 8 = 17

（c が負なので −4ac は足し算になります。ここが最大の注意点）

手順3：公式に入れる。
x = (−3 ± √17) / (2 × 2) = (−3 ± √17) / 4

答え：x = (−3 + √17)/4, (−3 − √17)/4

確認：√17 ≒ 4.123 なので x ≒ 0.281 または −1.781。x = 0.281 を入れると 2(0.0790) + 0.843 − 1 ≒ 0.001。ほぼ0で ✓

手順を分ける理由：解の公式のミスは、ほとんどが√ の中の符号です。だから先に b² − 4ac だけを計算して、数を確定させてから公式に入れます。1行増えますが、事故が激減します。

√17 は簡単にできるか：17 は素数なので、これ以上小さくできません。そのままが答えです。

例題3-4（文章題）　縦が横より 3 cm 長い長方形があり、その面積は 40 cm² です。横の長さを求めてください。

手順1：求めるものを x とおく。横の長さを x cm とします。このとき x > 0（長さだから）。
縦は x + 3 cm。

手順2：式を作る。面積は「縦 × 横」なので
x(x + 3) = 40

手順3：解く。「＝0」の形に直します。
x² + 3x − 40 = 0
「たして 3、かけて −40」は 8 と −5。
(x + 8)(x − 5) = 0　→　x = −8, 5

手順4：答えを吟味する。x は長さなので x > 0。x = −8 は問題に合わないので捨てます。

答え：横の長さは 5 cm

確認：横 5 cm、縦 5 + 3 = 8 cm。面積は 5 × 8 = 40 cm² ✓

吟味の書き方：「x > 0 より x = −8 は問題に適さない。よって x = 5」と、はっきり書いてください。解を2つ出して片方に丸をつけるだけでは、なぜ捨てたのかが伝わりません。

両方が答えになる問題もある：たとえば「ある数を2乗すると、その数の3倍より4大きい」なら x² = 3x + 4 → x = 4, −1。「ある数」に正の制限がなければ、両方とも答えです。捨てるかどうかは、問題文の条件で決まります。

例題3-5（解から係数を求める）　(1) 二次方程式 x² + ax + b = 0 の解が 2 と −5 であるとき、a、b の値を求めてください。(2) x² − 3x + k = 0 の1つの解が 1 であるとき、k の値ともう1つの解を求めてください。

考え方：解が与えられている問題では、使える手が2つあります。①「解を代入すると式が成り立つ」　②「解がわかっていれば因数分解の形が書ける」。解が2つとも与えられているなら②、1つだけなら①——この使い分けで手数が変わります。

(1)　解が 2 と −5 なので、方程式は (x − 2)(x + 5) = 0 と書けます。展開すると
　x² + 3x − 10 = 0
もとの式 x² + ax + b = 0 と見比べて a = 3、b = −10。

(2)　解が1つしかわからないので、代入します。x = 1 を入れると
　1 − 3 + k = 0　→　k = 2
このとき方程式は x² − 3x + 2 = 0、つまり (x − 1)(x − 2) = 0 なので、もう1つの解は 2。

答え：(1) a = 3、b = −10　(2) k = 2、もう1つの解は 2

確認：(1) は x² + 3x − 10 = 0 を実際に解くと (x − 2)(x + 5) = 0 から x = 2, −5。与えられた解と一致します。
(2) でよくある誤りは、k を求めたところで止めてしまうことです。問題文は「もう1つの解」も聞いています。k を代入した式に戻って、最後まで解いてください。
なお (1) を「代入」で解くこともできます。x = 2 と x = −5 をそれぞれ入れて連立方程式を作る方法です。答えは同じですが、因数分解の形から入るほうが式が1本で済みます。どちらでも正解なので、思いついたほうで進めて構いません。

例題4-1（比例定数を決める）　y は x の2乗に比例し、x = 2 のとき y = 12 です。y を x の式で表し、x = −3 のときの y を求めてください。

手順1：式の形を書く。「2乗に比例」なので y = ax²。

手順2：わかっている点を代入する。
12 = a × 2² = 4a　→　a = 3

したがって　y = 3x²

手順3：x = −3 を代入する。
y = 3 × (−3)² = 3 × 9 = 27

答え：y = 3x²、x = −3 のとき y = 27

符号に注意：(−3)² = 9 であって −9 ではありません。2乗すると必ず0以上になります。−3² と書くと −9 の意味になってしまうので、かっこを必ず付けてください。

対称性の確認：x = 3 でも y = 27 です。y 軸について対称なので、x と −x で同じ値になります。

例題4-2（変域）　y = x² について、x の変域が −1 ≤ x ≤ 3 のときの y の変域を求めてください。

手順1：グラフを思い浮かべる。原点を頂点とする、上に開いた放物線です。

手順2：x = 0 が変域に入っているか確認する。−1 ≤ 0 ≤ 3 なので入っています。だから y は 0 になります。

手順3：いちばん大きい y を探す。原点から遠いほど y が大きくなるので、x = −1 と x = 3 を比べます。
x = −1 → y = 1／x = 3 → y = 9
大きいほうは 9。

答え：0 ≤ y ≤ 9

よくある誤答：両端だけを代入して 1 ≤ y ≤ 9 とするもの。x = 0 のとき y = 0 になるので、これは誤りです。実際 x = 0.5 なら y = 0.25 で、1 より小さい値が出てしまいます。

判定のしかたを覚える

0を含むかどうかだけで決まります。含むなら最小は 0、含まないなら両端のうち原点に近いほうが最小です。

例題4-3（変化の割合）　y = 2x² について、x が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めてください。

手順1：両端の y を計算する。
x = 1 のとき y = 2 × 1 = 2
x = 3 のとき y = 2 × 9 = 18

手順2：定義どおり割る。
(18 − 2) ÷ (3 − 1) = 16 ÷ 2 = 8

答え：8

公式で検算：y = ax² で x が p から q まで変わるとき、変化の割合は a(p + q)。
2 × (1 + 3) = 8 ✓

なぜ a(p+q) になるのか：
(aq² − ap²) ÷ (q − p) = a(q² − p²) ÷ (q − p) = a(q + p)(q − p) ÷ (q − p) = a(p + q)
第1章の公式④で因数分解して、約分しているだけです。公式として覚えなくても、その場で作れます。

一次関数との違いを確かめる：同じ y = 2x² で x が 0 から 2 なら、割合は 2 × (0 + 2) = 4。区間が変われば割合も変わります。一次関数では常に一定だったので、ここは感覚を切りかえてください。

例題4-4（放物線と直線）　放物線 y = x² と直線 y = x + 2 の交点を A, B（A の x 座標のほうが小さい）とします。
(1) A, B の座標を求めてください。
(2) 原点 O と A, B でできる三角形 OAB の面積を求めてください。

(1) 連立して解く。y を消して
x² = x + 2　→　x² − x − 2 = 0　→　(x + 1)(x − 2) = 0　→　x = −1, 2

y 座標も出します。x = −1 なら y = 1、x = 2 なら y = 4。
A(−1, 1)、B(2, 4)

(2) 面積を求める。直線 y = x + 2 が y 軸と交わる点を C とすると C(0, 2)。

三角形 OAB を、OC を共通の底辺とする2つの三角形に分けます。
・三角形 OCA：底辺 OC = 2、高さは A の x 座標の絶対値 1
・三角形 OCB：底辺 OC = 2、高さは B の x 座標 2

(1/2) × 2 × 1 + (1/2) × 2 × 2 = 1 + 2 = 3

答え：(1) A(−1, 1)、B(2, 4)　(2) 面積 3

まとめて計算する形：(1/2) × OC × (B の x 座標 − A の x 座標) = (1/2) × 2 × {2 − (−1)} = (1/2) × 2 × 3 = 3。y 軸で切って、左右の幅を足す——この形で覚えておくと速いです。

確認：A(−1,1), B(2,4), O(0,0) の三角形は、座標の格子を数えても面積 3 になります。

この形は高校でも頻出です：数学IIの「放物線と直線で囲まれた面積」（6分の1公式）は、この問題の続きにあたります 👉 数学II・B・Cの要点辞典

例題4-5（放物線と三角形の面積）　放物線 y = x² 上に2点 A(−1, 1)、B(2, 4) があります。原点を O とするとき、△OAB の面積を求めてください。

考え方：三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」ですが、この形では底辺をどこに取るかで手間がまったく変わります。AB を底辺にすると、O から AB までの距離（高さ）を出すのが大変です。
そこで直線 AB と y 軸の交点 C を取り、OC を底辺にします。OC は y 軸上にあるので長さがすぐ出て、高さは A と B の x 座標そのもの——これがこの型の定石です。

① 直線 AB を求める：傾きは (4 − 1) / (2 − (−1)) = 3 / 3 = 1。A(−1, 1) を通るので y = x + 2。よって C(0, 2)、OC = 2。

② OC で2つに分ける：△OAB = △OAC + △OCB。どちらも底辺は OC = 2、高さはそれぞれ |−1| = 1、|2| = 2 なので
　(1/2) × 2 × 1 + (1/2) × 2 × 2 = 1 + 2 = 3

答え：3

確認：高さに使うのは、A と B の x 座標の絶対値です。A は y 軸の左、B は右にあるので、2つを足します。もし A と B が y 軸の同じ側にあるなら、足すのではなく引くことになります。図を描いて、O から見て左右に分かれているかを必ず確かめてください。
なお A、B が y = x² 上にあることは (−1)² = 1、2² = 4 で確かめられます。与えられた点が本当に放物線上にあるかを最初に見ておくと、写し間違いに気づけます。

例題5-1（平行線と線分の比）　三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE // BC です。AD : DB = 2 : 3、BC = 10 cm のとき、DE の長さを求めてください。

手順1：比を「全体との比」に直す。AD : DB = 2 : 3 なので、AB 全体は 2 + 3 = 5。
AD : AB = 2 : 5

手順2：相似を使う。DE // BC なので △ADE ∽ △ABC（同位角が等しく、角 A は共通）。
DE : BC = AD : AB = 2 : 5

手順3：計算する。
DE : 10 = 2 : 5　→　5 × DE = 20　→　DE = 4

答え：DE = 4 cm

ここでの落とし穴：AD : DB = 2 : 3 をそのまま DE : BC = 2 : 3 としてしまう誤りが非常に多い。比べる相手は DB ではなく AB（全体）です。「部分 : 部分」を「部分 : 全体」に直してから使ってください。

検算のしかた：DE = 4 は BC = 10 より短い——三角形の中にある線分なので、当然短くなるはずです。もし答えが BC より長くなったら、比を逆に使っています。

例題5-2（面積比と体積比）　相似比が 2 : 3 である2つの三角形があり、小さいほうの面積は 12 cm² です。
(1) 大きいほうの面積を求めてください。
(2) 相似比 2 : 3 の2つの立体で、小さいほうの体積が 40 cm³ のとき、大きいほうの体積を求めてください。

(1)　相似比 2 : 3 なので、面積比は 2² : 3² = 4 : 9。
12 : x = 4 : 9　→　4x = 108　→　x = 27

(2)　体積比は 2³ : 3³ = 8 : 27。
40 : y = 8 : 27　→　8y = 1080　→　y = 135

答え：(1) 27 cm²　(2) 135 cm³

確認：(1) 12 × (9/4) = 27 ✓　(2) 40 × (27/8) = 135 ✓

覚え方：「面積は2回、体積は3回、長さをかけている」。だから比も2乗・3乗になります。相似比を 1 : 2 にして、実際に正方形と立方体で確かめてみると納得できます（面積は4倍、体積は8倍）。

逆向きも押さえる：面積比が 9 : 16 なら、相似比は 3 : 4（√をとる）。体積比が 8 : 125 なら相似比は 2 : 5（3乗根をとる）。この向きで聞かれることもあります。

例題5-3（中点連結定理）　三角形 ABC で、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とします。BC = 12 cm のとき MN の長さを求め、その理由を説明してください。

答え：MN = 6 cm

理由　M, N はそれぞれ AB, AC の中点なので
AM : AB = 1 : 2、AN : AC = 1 : 2

角 A は共通なので、2組の辺の比とその間の角が等しく、△AMN ∽ △ABC（相似比 1 : 2）。

したがって MN : BC = 1 : 2 であり、MN = 12 ÷ 2 = 6 cm。
また対応する角が等しいので MN // BC もいえます。

この定理が使える場面：「中点」という言葉が2つ出てきたら、まず中点連結を疑うのが定石です。四角形の4辺の中点を結ぶと平行四辺形になる——この有名な性質も、対角線を引いて中点連結を2回使えば説明できます。

台形バージョン：台形 ABCD（AD // BC）で、AB, DC の中点を結んだ線分の長さは (AD + BC) / 2 です。上底と下底の平均になります。

例題5-4（直角三角形と垂線）　∠A = 90° の直角三角形 ABC で、AB = 6 cm、AC = 8 cm です。点 A から辺 BC に垂線 AH を引くとき、BC、AH、BH の長さを求めてください。

手順1：BC を求める。三平方の定理（第7章）から
BC = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm

手順2：AH を面積から求める。三角形 ABC の面積を、2通りの見方で表します。
・直角をはさむ2辺で：(1/2) × 6 × 8 = 24
・BC を底辺、AH を高さとして：(1/2) × 10 × AH

同じ面積なので　(1/2) × 10 × AH = 24　→　AH = 4.8 cm

手順3：BH を相似から求める。△ABC ∽ △HBA（∠B が共通、∠BAC = ∠BHA = 90°）なので
AB : HB = BC : BA　→　6 : BH = 10 : 6　→　10 × BH = 36　→　BH = 3.6 cm

答え：BC = 10 cm、AH = 4.8 cm、BH = 3.6 cm

確認：CH = 10 − 3.6 = 6.4。三平方の定理で AH² + BH² = 4.8² + 3.6² = 23.04 + 12.96 = 36 = 6² = AB² ✓

この形から出る3つの関係：
AB² = BH × BC（36 = 3.6 × 10 ✓）
AC² = CH × CB（64 = 6.4 × 10 ✓）
AH² = BH × CH（23.04 = 3.6 × 6.4 ✓）

覚える必要はありません。3つの三角形が相似だという事実から、その場で作れます。ただし「この形が出たら相似が3つある」とだけ覚えておくと、手が早く動きます。

面積を2通りで表す技：手順2で使った「同じものを2通りで表して等号でつなぐ」は、中学でも高校でも繰り返し使う考え方です。垂線の長さを出すときの定番なので、覚えておいてください。

例題5-5（相似の証明）　三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、∠ADE = ∠ACB です。AD = 3 cm、AB = 8 cm、AE = 4 cm のとき、(1) △ADE ∽ △ACB であることを証明してください。(2) AC の長さを求めてください。

考え方：相似を示すときは、まず「等しい角」を2つ探します。1つは問題文にあります。もう1つは共通の角——ここが見つけにくいので、「共通の角はないか」を毎回いちばんに疑ってください。

(1) 証明

(2)　相似な図形では対応する辺の比が等しいので、対応の順に並べて
　AD : AC = AE : AB　→　3 : AC = 4 : 8　→　4 × AC = 3 × 8　→　AC = 6

答え：AC = 6 cm

確認：ここでいちばん多い誤りは、「△ADE ∽ △ABC」と書いてしまうことです。∠ADE と等しいのは ∠ACB なので、D に対応するのは C、E に対応するのは B。頂点は、等しい角どうしが同じ位置に来るように並べます。順を崩すと、次の比の式がそのまま間違いになります。
比を出したら数で確かめます。AD : AC = 3 : 6 = 1 : 2、AE : AB = 4 : 8 = 1 : 2。どちらも同じ比になっていれば、対応の取り方が合っている手がかりになります。

例題6-1（円周角と中心角）　円 O の周上に3点 A, B, P があり、∠AOB = 120° です（P は大きいほうの弧の上）。∠APB の大きさを求めてください。

考え方：∠AOB は弧 AB に対する中心角、∠APB は同じ弧に対する円周角です。

∠APB = ∠AOB ÷ 2 = 120° ÷ 2 = 60°

答え：60°

大事なのは「どちらの弧か」：P が小さいほうの弧にあると、話が変わります。そのときの円周角は、大きいほうの中心角 360° − 120° = 240° の半分で 120° になります。点がどちら側にあるかを、必ず図で確認してください。

確認：60° + 120° = 180°。これは円に内接する四角形の向かい合う角の和にあたり、つじつまが合っています。

例題6-2（半円の弧に対する円周角）　AB を直径とする円があり、その周上に点 P があります。AB = 10 cm、PA = 6 cm のとき、PB の長さと三角形 APB の面積を求めてください。

手順1：直角を見つける。AB は直径なので、直径に対する円周角 ∠APB = 90°。

手順2：三平方の定理を使う。
PA² + PB² = AB²
36 + PB² = 100　→　PB² = 64　→　PB = 8 cm

手順3：面積を出す。直角をはさむ2辺がわかったので
(1/2) × 6 × 8 = 24 cm²

答え：PB = 8 cm、面積 24 cm²

この性質の使いどころ：「直径」という言葉が出てきたら、直角がもらえます。直角がもらえれば三平方の定理が使え、面積も出ます。円の問題で行き詰まったら、まず直径を探してください。

逆も成り立つ：∠APB = 90° なら、P は AB を直径とする円の上にあります。「直角を保ちながら動く点の道すじ」を聞かれたら、この円が答えです。

例題6-3（弦の交点と相似）　円の2つの弦 AB と CD が円の内部の点 P で交わっています。PA = 2 cm、PB = 6 cm、PC = 3 cm のとき、PD の長さを求めてください。

手順1：相似な三角形を見つける。三角形 APC と三角形 DPB を比べます。
・∠APC = ∠DPB（対頂角）
・∠CAP = ∠BDP（弧 BC に対する円周角）

2組の角がそれぞれ等しいので　△APC ∽ △DPB

手順2：辺の比を書く。対応する順に並べると
PA : PD = PC : PB

手順3：計算する。
2 : PD = 3 : 6　→　3 × PD = 12　→　PD = 4 cm

答え：PD = 4 cm

確認：PA × PB = 2 × 6 = 12、PC × PD = 3 × 4 = 12。一致しています。

この関係の名前：PA × PB = PC × PD は、高校で「方べきの定理」として習います。中学では公式として習いませんが、相似から自分で作れます。作り方を知っていれば、公式を覚える必要はありません 👉 数学I・Aの要点辞典（第9章 図形の性質）

例題6-4（接線）　半径 3 cm の円 O の外部に点 P があり、OP = 5 cm です。P から円に引いた接線の接点を A とするとき、PA の長さを求めてください。

手順1：直角を見つける。接線と半径は接点で垂直なので ∠OAP = 90°。

手順2：三平方の定理を使う。直角三角形 OAP で、斜辺は OP = 5、1辺は OA = 3（半径）。
PA² = OP² − OA² = 25 − 9 = 16　→　PA = 4 cm

答え：PA = 4 cm

どちらが斜辺か：直角があるのは接点 A なので、その向かい側の OP が斜辺です。斜辺は「直角の向かい」——ここを取り違えると √(25 + 9) と計算してしまいます。

接線が2本引ける：円外の点からは接線が2本引けて、その長さは等しい（どちらも 4 cm）。理由は、2つの直角三角形が斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので合同だからです。

接線の性質は「直角の供給源」：円の問題で直角が必要になったら、直径か接線を探す——第6章の定石そのものです。

例題6-5（円周角の定理の逆）　四角形 ABCD について、∠BAC = 35°、∠BDC = 35° です。(1) 4点 A、B、C、D が同じ円周上にあることを説明してください。(2) さらに ∠ABD = 50° のとき、∠ACD を求めてください。

考え方：円周角の定理は逆も成り立ちます。「同じ弧を見る角は等しい」だけでなく、「等しい角で同じ線分を見ているなら、その4点は同じ円周上にある」。これが使えると、問題文に円が描かれていなくても自分で円を見つけられます。

(1)　∠BAC と ∠BDC は、どちらも線分 BC を見込む角です。しかも A と D は BC の同じ側にあります。
　この2つが等しい（35°）ので、円周角の定理の逆により 4点 A、B、C、D は同じ円周上にあります。

(2)　4点が同じ円周上にあるとわかったので、あとは円周角の定理をそのまま使います。
　∠ABD と ∠ACD は、どちらも線分 AD を見込む角で、B と C は AD の同じ側にあります。よって
　∠ACD = ∠ABD = 50°

答え：(1) 上のとおり　(2) ∠ACD = 50°

確認：使うときの条件は「同じ線分を見込むこと」と「2点が同じ側にあること」の2つです。反対側にあると、角は等しくならず和が 180° になります（これが円に内接する四角形の性質です）。図で左右どちら側かを必ず確かめてください。
この問題の要は (1) です。「4点が同じ円周上にある」と言えた瞬間に、円周角・内接四角形の性質がすべて使えるようになります。角度の問題で手が止まったら、等しい角が2つ見えていないかを探す——それが円を呼び出す合図になります。

例題7-1（基本と特別な三角形）　次の x を求めてください。
(1) 直角をはさむ2辺が 5 と 12 の直角三角形の斜辺 x
(2) 斜辺が 6、1つの角が 60° の直角三角形の、60° の向かいの辺 x

(1)　x² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169　→　x = 13
（5 : 12 : 13 は有名な組なので、覚えていれば即答できます）

(2)　30°, 60°, 90° の直角三角形は 1 : 2 : √3。斜辺が 2 にあたるので、比の 1 は 3 にあたります。
60° の向かいの辺は √3 にあたるので　x = 3√3

答え：(1) 13　(2) 3√3

(2)の確認：残りの辺（30° の向かい）は 3。三平方で 3² + (3√3)² = 9 + 27 = 36 = 6² ✓

比の対応の見分け方：1 : 2 : √3 の 2 が斜辺（いちばん長い）、1 が 30° の向かい（いちばん短い）、√3 が 60° の向かい。「小さい角の向かいは短い辺」——これで対応が決まります。

例題7-2（座標平面）　座標平面上の2点 A(1, 2)、B(4, 6) の距離を求めてください。

手順1：直角三角形を作る。A から右に、B から下に線を引くと、直角三角形ができます。

手順2：2辺の長さを出す。
横の長さ：4 − 1 = 3
縦の長さ：6 − 2 = 4

手順3：三平方の定理。
AB² = 3² + 4² = 25　→　AB = 5

答え：5

公式にすると：AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}。ただし公式を覚えるより、毎回直角三角形を描くほうが確実です。図を描けば、引き算の順序を間違えても2乗するので問題ありません。

高校でもそのまま使います：数学IIの「図形と方程式」では、この距離の公式が円の方程式の出発点になります 👉 数学II・B・Cの要点辞典（第3章）

例題7-3（立体）　縦 3 cm、横 4 cm、高さ 12 cm の直方体があります。頂点から最も遠い頂点までの距離（立体の対角線）を求めてください。

手順1：底面の対角線を出す。底面は 3 × 4 の長方形なので
√(3² + 4²) = √25 = 5 cm

手順2：その対角線と高さで、もう一度三平方。底面の対角線（5）と高さ（12）を2辺とする直角三角形ができます。
√(5² + 12²) = √169 = 13 cm

答え：13 cm

まとめて計算すると：√(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13。3辺の2乗を全部足して √——これが直方体の対角線の公式です。

2回使うのがポイント：立体のままでは三平方が使えません。まず底面という「平面」に降りて対角線を出し、次に「対角線と高さ」でできる平面に移る。平面を2回渡り歩いていると考えてください。

この問題は有名な組が2回出ています：3 : 4 : 5 と 5 : 12 : 13。覚えていれば計算せずに答えが出ます。

例題7-4（円と弦）　半径 5 cm の円で、中心から 3 cm の距離にある弦の長さを求めてください。

手順1：中心から弦に垂線を下ろす。この垂線は弦を2等分します。

手順2：直角三角形を見る。できた直角三角形は
・斜辺 ＝ 半径 ＝ 5
・1辺 ＝ 中心から弦までの距離 ＝ 3
・残り ＝ 弦の半分

(弦の半分)² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16　→　弦の半分 = 4

手順3：2倍する。
弦の長さ = 4 × 2 = 8 cm

答え：8 cm

「2倍する」を忘れないこと：三平方で出るのは弦の半分です。ここで止めて 4 cm と答える誤りが非常に多い。図を描いて、求めたのがどの部分かを毎回確認してください。

なぜ垂線が弦を2等分するのか：中心から弦の両端まではどちらも半径なので、二等辺三角形ができます。二等辺三角形の頂角から下ろした垂線は、底辺を2等分する——中2で習った性質です。

公式にすると：半径 r、中心からの距離 d のとき、弦の長さは 2√(r² − d²)。これも高校の「図形と方程式」でそのまま使います。

例題7-5（折り返し）　長方形 ABCD で AB = 8、AD = 10 です。頂点 D が辺 BC 上の点 E に重なるように折り、折り目を AF（F は辺 DC 上）とします。BE と DF を求めてください。

考え方：折り返しの問題で最初に書くのは、「折る前と折った後で、長さが変わらないのはどこか」です。ここでは AD が AE に、DF が FE に移ります。この2つを書いた時点で、直角三角形が2つ見えてきます。

① 直角三角形 ABE：AE = AD = 10、AB = 8 なので
　BE = √(10² − 8²) = √36 = 6

② 直角三角形 FCE：EC = BC − BE = 10 − 6 = 4。DF = x とおくと FE = x、FC = 8 − x なので
　x² = (8 − x)² + 4²　→　x² = 64 − 16x + x² + 16　→　16x = 80　→　x = 5

答え：BE = 6、DF = 5

確認：FC = 8 − 5 = 3、EC = 4、FE = 5 なので 3² + 4² = 5²。3 : 4 : 5 の直角三角形になっています。△ABE も 8 : 6 : 10 で、これは 3 : 4 : 5 の2倍。折り返しの問題では「同じ長さ」を式に書けたところで、あとは三平方の定理と方程式の作業になります。難しいのは計算ではなく、どこが動かないかを見つけるところです。

例題8-1（調査方法の判断）　次の調査は、全数調査と標本調査のどちらが適切ですか。理由もあわせて答えてください。
(1) 学校で行う身体測定
(2) 工場で作った電球の寿命の検査
(3) テレビ番組の視聴率

(1) 全数調査　……　一人ひとりの記録が必要で、全員分そろわないと意味がないから。人数も調べられる範囲です。

(2) 標本調査　……　寿命を調べるには電球が切れるまで使う必要があり、全部調べたら売る商品がなくなるから。

(3) 標本調査　……　全世帯を調べるのは費用と時間の面で不可能だから。一部の世帯から全体を推定します。

判断の基準を整理する

理由まで書くのが採点対象：「標本調査」とだけ書いても点になりません。「なぜ全部調べられないのか」を一文で添えてください。

例題8-2（個数の推定）　袋の中にたくさんの白い玉が入っています。中身をよくかき混ぜてから 50 個取り出し、すべてに印をつけて袋に戻しました。もう一度よくかき混ぜてから 60 個取り出したところ、印のついた玉が 3 個ありました。袋の中の玉はおよそ何個と考えられますか。

手順1：標本での割合を出す。2回目に取り出した 60 個のうち、印つきは 3 個。
3 ÷ 60 = 1/20

手順2：母集団でも同じ割合だと考える。袋全体の玉を x 個とすると、印つきは全部で 50 個。
50 : x = 3 : 60

手順3：解く。
3x = 50 × 60 = 3000　→　x = 1000

答え：およそ 1000 個

考え方の要点：「2回目に取り出した60個の中の印つきの割合」が、「袋全体の中の印つきの割合」と同じくらいだろう——これが唯一の仮定です。
袋全体で印つきは 50 個。それが全体の 1/20 にあたるので、全体は 50 × 20 = 1000 個。比例式を立てなくても、この考え方で暗算できます。

「よくかき混ぜて」が大事：問題文にこの言葉が入っているのは、無作為抽出であることを保証するためです。混ぜずに上のほうから取ったら、印つきの玉ばかり出てしまうかもしれません。この一言がない標本調査は、推定が当てになりません。

この方法の名前：野生動物の個体数を数えるときにも使われ、「標識再捕獲法」と呼ばれます。魚に印をつけて池に戻し、もう一度捕まえて割合を見る——同じ仕組みです。

例題8-3（平均の推定）　ある中学校の生徒 800 人から 50 人を無作為に選び、1日の読書時間を調べたところ、平均は 42 分でした。この中学校の生徒全体の、1日の読書時間の合計はおよそ何時間と考えられますか。

手順1：標本の平均が、母集団の平均と同じくらいだと考える。
生徒1人あたりおよそ 42 分。

手順2：全体の合計を出す。
800 × 42 = 33600 分

手順3：単位を直す。聞かれているのは時間です。
33600 ÷ 60 = 560 時間

答え：およそ 560 時間

単位に注意：問題文が「何時間」と聞いているのに「33600分」と答えると不正解です。標本調査の問題は計算が簡単なぶん、単位の変換と「およそ」の付け忘れで落とします。

この推定が当てになる条件：50人が無作為に選ばれていることです。もし「図書委員50人」を選んだら、読書時間は明らかに長く出ます。「無作為に」という言葉が問題文にあるかどうかを確認してください。

高校ではもっと進みます：数学Bの「統計的な推測」では、「およそ何分」ではなく「95%の信頼度で何分から何分の間」という形で答えられるようになります 👉 数学II・B・Cの要点辞典（第9章）

例題8-4（標本の選び方）　ある市の中学生 5000 人について、1日のスマートフォンの使用時間を調べたいと考えました。次の標本の選び方は適切ですか。適切でない場合は、その理由を書いてください。
(1) 市内の1つの中学校の3年生 200 人全員
(2) 市内の中学生全員に通し番号をつけ、乱数表を使って 200 人を選ぶ
(3) 駅前で放課後に見かけた中学生 200 人

(1) 適切ではない　……　1つの学校の1つの学年だけにかたよっています。学校や学年によって使用時間の傾向が違う可能性があり、市全体を代表していません。

(2) 適切　……　市内の中学生全員から、同じ確からしさで選ばれているので、無作為抽出になっています。

(3) 適切ではない　……　放課後に駅前にいる中学生にかたよっています。部活動をしている生徒や、家が学校の近くの生徒は選ばれにくく、母集団を代表していません。

「無作為」の意味をもう一度：母集団のどの個体も、同じ確からしさで選ばれるということです。「適当に選ぶ」「たまたま目についた人を選ぶ」は無作為ではありません。むしろ、そこには必ず何らかのかたよりが入ります。

実生活でも使える見方：ネットアンケートの結果を見るときは、「誰が答えたのか」を確認してください。そのサイトを見て、しかも答える気になった人だけの意見であって、全体の意見ではありません。この単元は、そういう見抜き方を教えてくれます。

記述のコツ：「かたよっているから」だけでは不十分です。「どういう人が選ばれにくいのか」を具体的に書くと、しっかりした答案になります。

例題8-5（割合の推定と、標本の大きさ）　ある工場では、1日に 12000 個の製品を作っています。(1) 無作為に 300 個を選んで調べたところ、不良品が 9 個ありました。この日の不良品はおよそ何個と考えられますか。(2) 別の日に 600 個を選んで調べたら、不良品は 21 個でした。この日の不良品はおよそ何個と考えられますか。

考え方：標本調査の考え方は「標本での割合が、母集団でもだいたい同じだろう」という一点だけです。だから式は比が等しい、の1本で足ります。
　（標本の不良品）:（標本の大きさ） = （全体の不良品）:（全体の個数）

(1)　標本での割合は 9 ÷ 300 = 0.03。これを全体にあてはめて
　12000 × 0.03 = 360　→　およそ360個

(2)　標本での割合は 21 ÷ 600 = 0.035。
　12000 × 0.035 = 420　→　およそ420個

答え：(1) およそ360個　(2) およそ420個

確認：比の式でも同じ答えになります。9 : 300 = x : 12000 から 300x = 108000、x = 360。割合で解いても比で解いても同じなので、書きやすいほうで構いません。
答えには必ず「およそ」を付けること。標本から出した推定値なので、ぴったり360個だと言い切ることはできません。ここを書き忘れると減点されるところです。
(1) と (2) で不良率が 3.0% と 3.5% に分かれました。これはどちらかが間違いというわけではありません。標本を取り直せば結果は少しずつ変わります。ただし標本を大きくするほど、この振れ幅は小さくなるので、より信頼できるのは600個を調べた (2) のほうです。「標本の大きさ」を大きくする意味は、ここにあります。