中３数学｜中3数学の総復習全単元の重要問題と高校入試への準備（無料問題PDF）

中3数学では、式・方程式・関数・図形・データが高校数学へつながります。この総復習では、全18問で基本手順と単元をまたぐ活用を確認します。答えだけでなく、式の根拠、定理の条件、推定と確定の違いまで説明できるかを点検しましょう。

中3数学の単元チェック

分野	確認する単元	到達目標
数と式	展開・因数分解、平方根、根号の計算	公式の形を判断し、根号を正確に整理する
方程式	二次方程式	因数分解・平方根・解の公式を条件に応じて使う
関数	関数 `y`＝`ax`²、関数の利用	式・表・グラフを結び、変域や交点を求める
図形	相似、平行線と線分の比、円周角、三平方の定理	適用条件を確認し、角・比・長さを根拠から求める
データ	標本調査	無作為抽出と推定の意味を理解し、偏りを点検する

第1部：展開・因数分解・平方根

問題1：式の展開

（2x－3）²－（x＋1）（x－1）を簡単にしましょう。

問題2：因数分解

6x²－x－2を因数分解しましょう。

問題3：根号の計算

√48－√27＋√3を簡単にしましょう。

第2部：二次方程式

問題4：因数分解で解く

x²－5x－14＝0を解きましょう。

問題5：長方形の文章題

縦がxcm、横が縦より3cm長い長方形の面積が54cm²です。縦と横の長さを求めましょう。

第3部：関数 y＝ax²

問題6：式と値を求める

yはxの2乗に比例し、グラフは点（3, 18）を通ります。式を求め、x＝－4のときのyを求めましょう。

問題7：平均の変化の割合

y＝2x²で、xが－1から3まで増加するとき、yの増加量と平均の変化の割合を求めましょう。

問題8：直線と放物線

y＝x²とy＝4xの交点のx座標を求めましょう。また、0＜x＜4では、どちらのグラフが上にありますか。

第4部：相似と線分の比

問題9：相似な三角形の辺

相似な二つの三角形で、小さい三角形と大きい三角形の対応する辺の比は2：3です。小さい三角形のある辺が10cmなら、対応する大きい三角形の辺を求めましょう。

問題10：相似比と面積比

相似比が3：5である二つの図形があります。小さい図形の面積が36cm²のとき、大きい図形の面積を求めましょう。

問題11：平行線と線分の比

△ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DE∥BCです。AD：DB＝2：3、AC＝20cmのとき、AEを求めましょう。

第5部：円周角

問題12：中心角と円周角

同じ弧に対する中心角が136°です。円周角を求めましょう。

問題13：円に内接する四角形

円に内接する四角形ABCDで、∠A＝107°です。∠Cを求めましょう。

第6部：三平方の定理

問題14：斜辺を求める

直角をはさむ2辺が7cmと24cmの直角三角形の斜辺を求めましょう。

問題15：長方形の辺を求める

対角線が13cm、一辺が5cmの長方形があります。もう一辺を求めましょう。

第7部：標本調査

問題16：標本の割合から推定する

5,000人から250人を無作為に選ぶと、145人がある案に賛成しました。全体の賛成者はおよそ何人と推定されますか。

問題17：調査方法を評価する

市民の運動習慣を調べるため、平日の午後に市営スポーツ施設の入口で800人へ質問しました。この結果を市民全体へそのまま広げてよいか、理由とともに答えましょう。

第8部：単元横断問題

問題18：円周角と三平方の定理

ABが直径10cmの円で、円周上に点Cがあります。AC＝6cmのとき、BCを求めましょう。

解答と考え方

問題1〜3：展開・因数分解・平方根

（2x－3）²＝4x²－12x＋9、（x＋1）（x－1）＝x²－1です。したがって、3x²－12x＋10です。
戻る単元：展開公式と、かっこの前の負号
積が6x²と－2、中項の和が－xになる組を探すと、（3x－2）（2x＋1）です。展開すると6x²＋3x－4x－2に戻ります。
戻る単元：因数分解
√48＝4√3、√27＝3√3なので、4√3－3√3＋√3＝2√3です。
戻る単元：根号を含む式の計算

問題4〜5：二次方程式

x²－5x－14＝（x－7）（x＋2）なので、x＝7、－2です。どちらも元の式を0にします。
戻る単元：二次方程式
x（x＋3）＝54より、x²＋3x－54＝0。（x＋9）（x－6）＝0なのでx＝－9、6です。長さは正なのでx＝6。縦6cm、横9cmです。
戻る単元：二次方程式の文章題と解の吟味

問題6〜8：関数 y＝ax²

18＝a×3²よりa＝2なので、式はy＝2x²です。x＝－4のとき、y＝2×16＝32です。
戻る単元：関数 y＝ax²
x＝－1のときy＝2、x＝3のときy＝18です。yの増加量は18－2＝16、xの増加量は4なので、平均の変化の割合は16÷4＝4です。
戻る単元：変化の割合
x²＝4xよりx（x－4）＝0なので、交点のx座標は0、4です。0＜x＜4では4x－x²＝x（4－x）＞0なので、直線 y＝4xが上です。
戻る単元：直線と放物線の交点

問題9〜11：相似と線分の比

10×（3/2）＝15cmです。対応する辺を同じ順に並べます。
戻る単元：相似比
面積比は相似比の2乗なので9：25です。36×（25/9）＝100cm²です。
戻る単元：相似比と面積比
DE∥BCなのでAD：DB＝AE：EC＝2：3です。ACは5等分に対応し、20×（2/5）＝8cmです。
戻る単元：平行線と線分の比

問題12〜13：円周角

同じ弧に対する円周角は中心角の半分なので、136°×1/2＝68°です。
戻る単元：円周角と中心角
円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°なので、180°－107°＝73°です。
戻る単元：円に内接する四角形

問題14〜15：三平方の定理

斜辺をccmとすると、c²＝7²＋24²＝49＋576＝625です。長さなのでc＝25cmです。
戻る単元：三平方の定理
もう一辺をxcmとすると、x²＋5²＝13²です。x²＝144より、x＝12cmです。
戻る単元：斜辺以外の辺を求める方法

問題16〜17：標本調査

標本での賛成割合は145÷250＝0.58です。5,000×0.58＝2,900より、全体ではおよそ2,900人と推定されます。確定した人数ではありません。
戻る単元：標本の割合からの推定
そのまま広げるのは適切ではありません。スポーツ施設を利用している人が標本に入りやすく、運動習慣のある市民が多く選ばれる可能性があるからです。市民全体から無作為に選ぶ方法を検討します。
戻る単元：無作為抽出と偏り

問題18：単元横断問題

ABは直径なので、直径に対する円周角∠ACBは90°です。したがって、△ABCはABを斜辺とする直角三角形です。BC²＋6²＝10²より、BC²＝64。長さなのでBC＝8cmです。円周角で直角を見つけ、三平方の定理で長さを求めます。
戻る単元：直径に対する円周角と三平方の定理

結果から復習順を決める

正解数	現在地の目安	次の学習
15〜18問	中3の基礎が安定	時間制限のある複合問題、記述・証明へ進む
10〜14問	特定単元に弱点	各解答の「戻る単元」を1〜2分野選んで類題を解く
5〜9問	計算と条件判断に抜け	展開・因数分解、平方根、二次方程式を先に固める
0〜4問	前学年からの再整理が有効	中2数学の総復習から学習順を立て直す

正解数は目安です。偶然正解した問題や、根拠を説明できなかった問題も復習対象にします。計算問題は元の式へ代入し、図形は定理の条件を言葉にし、標本調査は推定であることを明記できれば、答案の再現性が高まります。

よくあるつまずき

展開・因数分解で、公式の符号や中項を確認しない。
平方根と二次方程式で、長さの正の値と方程式の正負二解を混同する。
関数で、xの増加量を使わずにyの増加量だけを答える。
相似で、対応順をそろえずに比を作る。
円周角で、同じ弧・直径・内接という条件を図の見た目で補う。
三平方の定理を直角でない三角形へ使う。
標本調査の推定値を、母集団の確定値として表現する。

学習範囲の根拠

本記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」の第3学年に示された「数と式」「図形」「関数」「データの活用」を横断して復習できるよう構成しています。

文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」（PDF）

前後の単元

前に学ぶ標本調査までの中3全単元を確認してから取り組みましょう。

全体像へ戻る中学数学の全単元一覧で、間違えた問題に対応する単元へ戻れます。

次に学ぶ高校数学の全単元一覧で、数学I・A・II・B・III・Cと中学数学のつながり、学習順を確認します。