中高一貫校の高校1年生には、夏休みの課題として問題集や冊子が配られます。フェリス女学院、横浜共立学園、洗足学園、湘南白百合学園、横浜雙葉、横浜女学院——学校ごとに教材は違っても、高1の夏に出される2次関数の問題は、驚くほど同じ型に収まります。
そして、その多くがそのまま大学入試につながる内容です。ここで「答えが合っていたからOK」で流してしまうか、「なぜその計算をするのか」まで踏み込むかで、2年半後の答案が変わります。このページでは、高1の夏に出会う2次関数の最大・最小の5つの型を整理し、それぞれの詳しい解説記事へ案内します。
このページの使い方
- まず「型の見分け方」で、いま手が止まっている問題がどれかを判定する
- 該当する型の解説記事へ進む（学校名がついていますが、型が同じならどの学校の人が読んでも役に立ちます）
- 最後に「全部に共通する1行」を確認して、丸暗記から抜け出す
1．高1の夏に出る2次関数は、この5つの型に収まる
| 型 | 見分け方（文字がどこにあるか） | 問われる力 | 解説記事 |
|---|---|---|---|
| ①文字係数型 | 式の中に文字があり、定義域の指定がない／単純 | 平方完成、答えが式になっても平気でいられるか | 横浜共立学園 高1版 |
| ②軸が動く型 | 式の中に文字、定義域は固定 | 軸が範囲の左・中・右で3つに分ける | フェリス女学院 高1版 |
| ③定義域が動く型 | 式は固定、定義域の端に文字 | 窓のほうが動く。最小と最大で分け方が変わる | 洗足学園 高1版 |
| ④置き換え型 | 同じかたまりが2回以上出てくる | 置き換えた文字の変域を必ず調べる | 湘南白百合学園 高1版 |
| ⑤逆算型・不等式型 | 最大値や「つねに成り立つ」条件が与えられている | 場合分けを尽くし、仮定と重ねて答えを絞る | 横浜雙葉 高1版／横浜女学院 高1版 |
型の見分け方は、たった1つの質問で決まる
「文字は、式の中にあるか？ 範囲のほうにあるか？ それとも答えの側に与えられているか？」
式の中 → グラフが動く（②）／範囲 → 窓が動く（③）／答えの側 → 逆算（⑤）。同じかたまりが繰り返されていれば置き換え（④）。この判定を最初の10秒でやるだけで、方針で迷う時間がなくなります。
2．5つの型に共通する、たった1行
型は5つありますが、使う道具は1つだけです。
y ＝ a ×（軸からの距離）2 ＋（頂点の高さ）
平方完成とは、2次関数を「軸からの距離だけで値が決まる形」に書き直す作業です。この形にした瞬間、次のことが確定します。
ここから全部が出てくる
・下に凸（ の係数が正）なら、軸に近いほど低く、遠いほど高い
・上に凸（ の係数が負）なら、軸に近いほど高く、遠いほど低い
あとは「見てよい範囲（定義域）の中で、その距離が最小・最大になる点はどこか」を選ぶだけ。公式は1つも要りません。
3．図で一気に整理する：軸と定義域の位置関係
定義域つきの最大・最小は、次の6枚に尽きます。赤が最小、緑が最大です。
下に凸のとき（ の係数が正）
図1：下に凸。最小は「軸が定義域の中なら頂点、外なら軸に近いほうの端」。最大はつねに「軸から遠いほうの端」。
上に凸のとき（ の係数が負）
図2：上に凸。役割がそっくり入れ替わる。最大は「軸が中なら頂点、外なら近いほうの端」、最小はつねに「軸から遠いほうの端」。
| 凸の向き | 最小値をとる場所 | 最大値をとる場所 |
|---|---|---|
| 下に凸 | 軸が定義域内 → 頂点 軸が外 → 軸に近いほうの端 |
軸から遠いほうの端 |
| 上に凸 | 軸から遠いほうの端 | 軸が定義域内 → 頂点 軸が外 → 軸に近いほうの端 |
【落とし穴】最小値の場合分けは「軸が定義域の中か外か」で決まりますが、最大値の場合分けは「軸が定義域の中点より左か右か」で決まります。同じ問題でも、最小と最大で分け方が違う。ここを取り違える人が本当に多い。
4．学校別の解説記事
それぞれの学校の夏課題でよく出る型に合わせて、例題を変えて解説しています。自分の学校のページがなくても、型が同じなら同じように使えます。
フェリス女学院 高1軸が動く型。3つに場合分けする理由と、「最小値の最大値」という二段構えの問題。
洗足学園 高1定義域が動く型。最小が3つ、最大が2つに分かれる理由まで踏み込む。
湘南白百合学園 高1置き換え型。tの変域を調べないと必ず間違える理由を、グラフで確認する。
横浜雙葉 高1文章題（面積の最大）と、最大値から係数を逆算する型。変域の決め方と答案の書き方。
横浜女学院 高1「すべてのxで成り立つ」条件。判別式が使える場合と使えない場合の違い。
5．夏の課題を「作業」で終わらせないための3つの問い
中高一貫校の数学は進度が速く、夏の課題は「解いて提出するもの」になりがちです。しかし本当に価値があるのは、解いた後の10分です。
丸をつけたあとに、自分へ聞く
- なぜその式変形をしたのか、途中式ごとに理由を言えるか
- いまグラフのどこを見て、何と何を比べているのか説明できるか
- 具体的な数値を1つ入れて、自分で検算したか
この3つに答えられるなら、その問題はもう入試レベルで武器になっています。答えが合っていてもここで詰まるなら、まだ「作業ができただけ」です。
とくに場合分けの問題では、大学入試の記述式で答えの式より「なぜ分けたか」の一文に配点があります。「軸が定義域に含まれるとき」と書けるかどうか。それは知識ではなく、絵が見えているかどうかの差です。
6．中高一貫校の高1が、夏につまずきやすい理由
理由1 進度が速く、定着の前に次へ進む
体系数学などの教材では、公立中高より1年前後速く進みます。理解が追いつく前に単元が変わるため、夏休みが唯一の追いつきどころになります。
理由2 2次関数は「暗記が効かない」最初の単元
中学までは解法を覚えれば得点できました。2次関数の場合分けは状況判断なので、覚え方を変える必要があります。ここが最初の分岐点です。
理由3 質問できる相手が夏休みにいない
学校がなく、友だちには聞きにくい。分からない1問の前で止まったまま、日数だけが過ぎていく——これがいちばんもったいない。
7．オンラインなら、誰にも知られずに聞けます
「こんなことを聞いていいのかな」と思う質問ほど、実は根っこにあります。私は12年間、その根っこを一緒に掘り返す仕事をしてきました。
数強塾は、オンラインの完全1対1です
- 誰にも会いません。校舎に通わないので、同じ学校の友だちや先輩に見られる心配がありません。
- 恥ずかしくありません。1対1なので、他の生徒の前で間違える心配がない。「全然分からない」と言える場所です。
- すぐ始められます。自宅のパソコン・タブレットから、今日つまずいた課題の1問を持ち込むところから始められます。
- プロ講師だけが教えます。学生アルバイトは在籍していません。各校の進度・教材（体系数学など）に合わせて指導します。
- 「解けた」で終わらせません。なぜその式変形をするのか、答案にどう書くのかまで詰めます。
体験授業は有料3,000円（税込）です。無料ではありませんが、その1回で実際に手が止まっている問題を一緒に解き、いまの状態と必要な手当てをお伝えします。
8．よくある質問
Q. 自分の学校の記事がありません。どれを読めばいいですか？
A. 型で選んでください。学校名は例題の出どころを示しているだけで、内容はどの中高一貫校の生徒にも通用します。上の表で、いま解いている問題に近い型の記事を開いてください。
Q. 夏休みの課題は、答えを写してでも終わらせるべきですか？
A. 提出物としては終わりますが、9月の実力テストで同じ問題が形を変えて出たときに必ず止まります。写す時間で解説を1回読むほうが速いというのが、12年間指導してきた実感です。
Q. 場合分けはどうすれば書けるようになりますか？
A. 式から入らず、先に数直線と放物線の絵を描くことです。絵が3通りに分かれた瞬間、それがそのまま場合分けになります。絵を描かずに式だけで分けようとすると、必ずもれます。
Q. 夏休みの途中からでも間に合いますか？
A. 間に合います。むしろ課題が半分残っている段階のほうが、どこで詰まっているかを特定して立て直しやすいです。オンラインなので、申し込みからすぐに開始できます。
9．関連ページ
次のステップ（発展編）
2次関数の最大・最小【発展編】｜2変数・最大値と最小値の差・絶対値つきを本質から解く
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中2の夏休みの数学の宿題｜全講座の「つまずきポイント」総まとめ
連立方程式・1次関数・場合の数・順列・組合せ・確率・平行と合同それぞれの「何を問われ、どこでつまずくか」と、残り日数での進め方の優先順位を整理しています（中高一貫校の先取り内容にも対応）。
体系数学の「いかつい1問」を、段階を踏んで解く
中高一貫校で使われる体系数学から、2次方程式の発展問題（ax²+bx+c=0 が x=1/2, 1 を解にもつときの分数式の値）を、代入・比・同次式・カタマリ処理の4段階で完全解説しました。5つのカッコが1項に化ける「変装」の図解つきです。
