獨協医科大学 医学部 数学 全問解説｜70分・大問5題の解き方と時間配分

解き方

(1)(i) \(9^{\log_{3}4}\) をどう潰すか

見慣れない \(9^{\log_{3}4}\) が置いてありますが、これは底をそろえれば数値になります。

\[9^{\log_{3}4}=\left(3^{2}\right)^{\log_{3}4}=3^{2\log_{3}4}=3^{\log_{3}16}=16\]

よって方程式は \(4^{x}-8\cdot2^{x}+16-4=0\)、すなわち \(t=2^{x}\ (t\gt0)\) とおいて

\[t^{2}-8t+12=0\quad\Longrightarrow\quad (t-2)(t-6)=0\quad\Longrightarrow\quad t=2,\ 6\]

\(2^{x}=2\) から \(x=1\)、\(2^{x}=6\) から \(x=\log_{2}6\)。どちらも \(t\gt0\) を満たします。

(1)(ii) 底の変換 → 真数条件 → 底で場合分け、の3手

まず真数条件。\(x-3\gt0,\ 5-x\gt0,\ \sqrt x\gt0\) から \(3\lt x\lt5\)。

次に底をそろえます。\(\log_{a^{2}}(5-x)=\dfrac{\log_{a}(5-x)}{\log_{a}a^{2}}=\dfrac12\log_{a}(5-x)\) なので、両辺を2倍すると

\[2\log_{a}(x-3)-\log_{a}(5-x)\lt2\log_{a}\sqrt{x}\quad\Longleftrightarrow\quad \log_{a}(x-3)^{2}\lt\log_{a}\bigl\{(5-x)x\bigr\}\]

ここで底 \(a\) が1より大きいか小さいかで不等号の向きが変わります。共通して現れる2次不等式は

\[(x-3)^{2}\ \text{と}\ (5-x)x\ \text{の大小}\quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}-11x+9=(x-1)(2x-9)\ \text{の符号}\]

• \(a\gt1\)（対数は増加）: \((x-1)(2x-9)\lt0\) より \(1\lt x\lt\dfrac92\)。真数条件 \(3\lt x\lt5\) と合わせて \(\boldsymbol{3\lt x\lt\dfrac92}\)。
• \(0\lt a\lt1\)（対数は減少）: \((x-1)(2x-9)\gt0\) より \(x\lt1\) または \(x\gt\dfrac92\)。真数条件と合わせて \(\boldsymbol{\dfrac92\lt x\lt5}\)。

2つの答えが \(x=\frac92\) を境に隣り合うのは偶然ではありません。境界は不等式が等号になる点で、底の大小はどちら側を取るかしか変えないからです。片方を出せばもう片方は「残り」だと分かります。

(2) 極形式に直すと、\(\beta\) 倍の正体が見える

\[\alpha=-2+2\sqrt3\,i=4\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=4\left(\cos\frac23\pi+i\sin\frac23\pi\right)\]
\[\beta=\frac14+\frac{\sqrt3}{4}i=\frac12\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)=\frac12\left(\cos\frac13\pi+i\sin\frac13\pi\right)\]

ここが最大の分岐点です。\(\beta\) を掛けることは「原点のまわりに \(\frac{\pi}{3}\) 回転して、原点からの距離を半分にする」——この一言に翻訳できるかどうかで、以降の見通しがまるで変わります。

ド・モアブルの定理から、\(\mathrm{A}_n,\mathrm{B}_n\) に対応する複素数は

\[4\beta^{\,n-1}=\frac{1}{2^{\,n-3}}\left(\cos\frac{n-1}{3}\pi+i\sin\frac{n-1}{3}\pi\right)\]
\[\alpha\beta^{\,n-1}=\frac{1}{2^{\,n-3}}\left(\cos\frac{n+1}{3}\pi+i\sin\frac{n+1}{3}\pi\right)\]

したがって \(|\mathrm{OA}_n|=|\mathrm{OB}_n|=\dfrac{1}{2^{\,n-3}}\)、そして偏角の差は

\[\angle\mathrm{A}_n\mathrm{O}\mathrm{B}_n=\frac{n+1}{3}\pi-\frac{n-1}{3}\pi=\frac{2}{3}\pi\]

つまり \(D_n\) はすべて「頂角 \(120^\circ\) の二等辺三角形」で、大きさだけが半分ずつ縮み、向きが \(60^\circ\) ずつ回っていく。面積は

\[|D_n|=\frac12\cdot\left(\frac{1}{2^{\,n-3}}\right)^{2}\sin\frac23\pi=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{1}{4^{\,n-3}}\]

\(n=1\) で \(4\sqrt3\)、\(n=2\) で \(\boldsymbol{\sqrt3}\)。

(2) \(S_2\)：重なりを計算せずに「ちょうど半分」と言い切る

\(D_2\) のうち \(D_1\) の外に出る部分の面積を求めます。ここで効くのが次の事実です。

\[\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\ \text{の中点}\ \mathrm{M}\ \text{は線分}\ \mathrm{OB}_1\ \text{上にあり、}\ \mathrm{OB}_1\perp\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\]

実際、\(\mathrm{A}_2(1,\sqrt3)\)、\(\mathrm{B}_2(-2,0)\) の中点は \(\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\) で、これは \(120^\circ\) 方向の単位ベクトルそのもの。二等辺三角形 \(\mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2\) の頂点 \(\mathrm{O}\) から底辺への垂線が \(\mathrm{OB}_1\) と重なる、というだけのことです。

したがって直線 \(\mathrm{OB}_1\) は \(D_2\) を面積の等しい2つの三角形に分け、その一方だけが \(D_1\) の外側にあります。

\[S_2=|D_1|+\frac12|D_2|=4\sqrt3+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{9\sqrt3}{2}\]

(2) \(S_n=S_{n-1}\) となる最小の \(n\)

\(S_n=S_{n-1}\) は「\(D_n\) が \(D_1\cup\cdots\cup D_{n-1}\) にすっかり飲み込まれた」ということ。\(D_n\) と \(D_{n-1}\) の位置関係は \(D_2\) と \(D_1\) の場合とまったく同じ（\(60^\circ\) 回転して等辺の長さが半分）ですから、直前の三角形からのはみ出しは毎回起こります。効いてくるのは回転が一周して、もっと大きな古い三角形の内側に戻ってくるかどうかです。

\(D_n\) が占める向きの範囲は \(60(n-1)^\circ\) から \(60(n+1)^\circ\) まで。\(n=6\) では \(300^\circ\sim420^\circ\)（＝\(60^\circ\)）で、これは \(D_5\)（\(240^\circ\sim360^\circ\)）と \(D_1\)（\(0^\circ\sim120^\circ\)）でちょうど覆われます。しかも等辺の長さは \(|\mathrm{OA}_6|=\dfrac18\) と、\(|\mathrm{OA}_5|=\dfrac14\) の半分、\(|\mathrm{OA}_1|=4\) の32分の1。角度が一周したところで初めて、はみ出す先が残らなくなるのです。

\[\boldsymbol{n=6}\]

検算：面積の増分を数値計算で追うと \(n=2,3,4,5\) では正、\(n=6\) 以降はぴったり0でした。

解き方

(1) \(a_1\) は「効かない目」を数えるだけ

注目するのは①、③、⑤の3点だけです。1回の試行で、この3点の色が変わるのは目が1、3、5のとき。目が2、4、6なら3点は動きません。

最初は全部白なので、1回後に「3点が同色」なのは3点が動かなかったときだけ。

\[a_1=\frac{3}{6}=\frac12\]

\(a_2\) は2回ぶん数えます。ここで2回では3点を全部黒にできない（そのためには3回の反転が要る）ので、2回後の「同色」は全部白の場合しかありません。つまり、2回とも動かない（\(\left(\frac36\right)^2\)）か、同じ番号を2回出して元に戻す（1、3、5のどれかで2回、\(\left(\frac16\right)^2\times3\)）の2通りです。

\[a_2=\left(\frac16\right)^{2}\times3+\left(\frac36\right)^{2}=\frac{3}{36}+\frac{9}{36}=\frac13\]

(1) 漸化式は「同色を保つ／同色に戻る」の2通り

\(n+1\) 回後に3点が同色になるのは、\(n\) 回後の状態から次の2つの場合です。

• \(n\) 回後に同色だった（確率 \(a_n\)）→ \(n+1\) 回目は2、4、6のいずれか（確率 \(\frac36\)）。
• \(n\) 回後に同色でなかった（確率 \(1-a_n\)）→ このとき3点のうちちょうど1個だけが他の2個と違う色になっています。その1個の番号が出れば同色に戻る（確率 \(\frac16\)）。

2つ目が要点です。3点が「同色でない」とは、白2黒1か白1黒2のどちらか。どちらの場合も「浮いている1個」がただ1つ決まるので、確率は必ず \(\frac16\) になります。

\[a_{n+1}=a_n\cdot\frac36+(1-a_n)\cdot\frac16=\frac13a_n+\frac16\]

特性方程式 \(a=\frac13a+\frac16\) の解は \(a=\frac14\)。よって

\[a_{n+1}-\frac14=\frac13\left(a_n-\frac14\right)\quad\Longrightarrow\quad a_n-\frac14=\left(\frac13\right)^{n-1}\left(a_1-\frac14\right)=\frac14\left(\frac13\right)^{n-1}\]
\[\therefore\ a_n=\frac14\left(1+\frac{1}{3^{\,n-1}}\right)\]

検算：\(n=1\) で \(\frac12\)、\(n=2\) で \(\frac14\cdot\frac43=\frac13\)。合っています。\(n\to\infty\) で \(\frac14\) に近づくのも、3点の色が「ほぼランダムな \(2^3=8\) 通り」に均されて、全部同じになるのが2通り、と考えれば納得できます。

(2) 5個ぜんぶを見る。ただし「黒の個数」だけで足りる

5個の石の状態は \(2^{5}=32\) 通りありますが、どの石も対等なので「黒石の個数 \(k\)」だけ分かれば確率は決まります。さらに \(k\) と \(5-k\) もひとまとめにできて、状態は

\[p_n:\ k=0,5\qquad q_n:\ k=1,4\qquad r_n:\ k=2,3\]

の3つだけになります。1回の試行では \(k\) が \(\pm1\) 動くか（確率 \(\frac56\)、そのうち黒を選べば \(-1\)、白を選べば \(+1\)）、動かない（確率 \(\frac16\)）。\(k\) 個の黒から1個選ぶ確率は \(\frac{k}{5}\cdot\frac56=\frac{k}{6}\) です。

\(k=0\) になるには、\(k=0\) のまま（\(\frac16\)）か、\(k=1\) から黒を消す（\(\frac16\)）。\(k=5\) も対称に同じ。まとめて

\[p_{n+1}=\frac16p_n+\frac16q_n\]

\(k=1\) になるには、\(k=0\) から白を1個黒に（\(\frac56\)）、\(k=1\) のまま（\(\frac16\)）、\(k=2\) から黒を1個消す（\(\frac26\)）。\(k=4\) も対称なので

\[q_{n+1}=\frac56p_n+\frac16q_n+\frac13r_n\]

あとは \(r_n=1-(p_n+q_n)\) を使って表を4段回すだけです。

\[(p_1,q_1,r_1)=\left(\frac16,\ \frac56,\ 0\right),\quad (p_2,q_2,r_2)=\left(\frac16,\ \frac{5}{18},\ \frac59\right)\]
\[(p_3,q_3,r_3)=\left(\frac{2}{27},\ \frac{10}{27},\ \frac59\right),\qquad p_4=\frac16\cdot\frac{2}{27}+\frac16\cdot\frac{10}{27}=\frac{2}{27}\]

(2) 仕上げは包除原理。ここで(1)が効いてくる

求める \(b_n\) は「①⑤③が同色」または「②⑤④が同色」の確率。事象を \(A,B\) とすると

\[b_n=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

\(P(A)=P(B)=a_n\) は対称性から明らか。問題は \(A\cap B\) です。

ここが設問の山場。\(A\) は①③⑤が同色、\(B\) は②④⑤が同色。⑤が両方に入っているので、両方が起これば①②③④⑤の5個すべてが同じ色——つまり \(P(A\cap B)=p_n\) です。

\[b_n=2a_n-p_n\]

\(a_4=\dfrac14\left(1+\dfrac{1}{27}\right)=\dfrac{7}{27}\)、\(p_4=\dfrac{2}{27}\) だから

\[b_4=2\cdot\frac{7}{27}-\frac{2}{27}=\frac{12}{27}=\frac49\]

検算：サイコロ4回の \(6^{4}=1296\) 通りを全列挙して数えたところ576通り、\(\frac{576}{1296}=\frac49\) で一致しました。

解き方

下ごしらえ：2本の方向ベクトルと、2つの動点

\[\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,\ 3,\ 3),\qquad \overrightarrow{\mathrm{CD}}=(2,\ 2,\ 1)\]
\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(4,\ -5+3p,\ 2+3p),\qquad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(-1+2q,\ -1+2q,\ 4+q)\]

この2行を書いた時点で、(1)〜(3)はすべて機械的に処理できます。

(1) 共線条件は「一方が他方の実数倍」

\(\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}\) が一直線上 \(\iff\) \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) となる実数 \(k\) が存在する。成分ごとに

\[4=k(-1+2q)\ \cdots①\qquad -5+3p=k(-1+2q)\ \cdots②\qquad 2+3p=k(4+q)\ \cdots③\]

①と②の右辺が同じなので、いきなり \(4=-5+3p\)、すなわち \(\boldsymbol{p=3}\)。

これを③に入れると \(11=k(4+q)\)。①と辺々で比を取れば \(k\) が消えて

\[11(-1+2q)=4(4+q)\quad\Longrightarrow\quad 18q=27\quad\Longrightarrow\quad q=\frac32\]

①と②を見比べて \(k\) を使わずに \(p\) を出すのがこの設問の設計です。3本の式から愚直に \(k\) を消去しようとすると倍の手間がかかります。

(2) 内積を0にする、それだけ

\[\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(-5+2q,\ 4+2q-3p,\ 2+q-3p)\]

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3(0,1,1)\) なので、\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0\) は

\[(4+2q-3p)+(2+q-3p)=0\quad\Longrightarrow\quad 6+3q-6p=0\quad\Longrightarrow\quad 2-2p+q=0\]

第1成分が0の方向ベクトルなので、実質2成分の足し算で終わります。

(3) \(|\mathrm{PQ}|^{2}\) を2変数の平方和に整理する

\[|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}=(-5+2q)^{2}+(4+2q-3p)^{2}+(2+q-3p)^{2}=9q^{2}-18qp+18p^{2}-36p+45\]

ここからが山場です。\(q\) について平方完成 → 残りを \(p\) について平方完成の順で進めます。

\[9q^{2}-18qp=9(q-p)^{2}-9p^{2}\]
\[\Longrightarrow\ |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}=9(q-p)^{2}+9p^{2}-36p+45=9(q-p)^{2}+9(p-2)^{2}+9\]

\((q-p)^{2}\geqq0\)、\((p-2)^{2}\geqq0\) だから \(|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^{2}\geqq9\)。等号は \(q=p\) かつ \(p=2\)、すなわち \(\boldsymbol{p=q=2}\)。

\[\mathrm{P}_1(4,\ 1,\ 8),\qquad \mathrm{Q}_1(3,\ 3,\ 6),\qquad |\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1|=3\]

\(p=q=2\) は(2)の条件 \(2-2p+q=0\) を満たします。これは偶然ではありません。\(|\mathrm{PQ}|\) が最小になるとき、線分 \(\mathrm{PQ}\) は直線 \(\mathrm{AB}\) にも直線 \(\mathrm{CD}\) にも垂直になる（この線分を2直線の共通垂線といいます）。実際 \(\overrightarrow{\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1}=(-1,2,-2)\) は \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(0,3,3)\) とも \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(2,2,1)\) とも内積が0です。平方完成の形にもそれが表れていて、\(9(q-p)^{2}\) は \(p\) を止めて \(q\) だけ動かしたときの最小条件、\(9(p-2)^{2}\) はそのうえで \(p\) を動かしたときの最小条件にあたります。

(3) 2平面のなす角を、2直線のなす角に読み替える

2平面 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{A}\) と \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{C}\) の交線は直線 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\) です。定義により、交線上の1点で交線に垂直に引いた2直線のなす角を測ります。

ここで\(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\) は \(\mathrm{AB}\) にも \(\mathrm{CD}\) にも垂直でした。\(\mathrm{AB}\) は平面 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{A}\) に含まれ、\(\mathrm{CD}\) は平面 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{C}\) に含まれます。通る点は \(\mathrm{P}_1\) と \(\mathrm{Q}_1\) で違いますが、2直線のなす角は方向ベクトルだけで決まるので、\(\mathrm{CD}\) を平面内で平行移動して \(\mathrm{P}_1\) を通らせれば「交線上の1点で交線に垂直な2直線」になります。したがって \(\theta\) は \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) のなす角、またはその補角。

\[\cos\theta=\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|}=\frac{|0+6+3|}{3\sqrt2\cdot3}=\frac{9}{9\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\]
\[\therefore\ \theta=\frac{\pi}{4}\]

\(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}\) の指定があるので絶対値を付けます。

解き方

係数決定：微分係数の一致を先に使う

「微分可能」は「連続」かつ「左右の微分係数が一致」。先に微分係数の条件を使うと、文字が1つずつ落ちて楽です。

\[f'(x)=\begin{cases}-2 & (x\lt-1)\\ 2bx-1 & (-1\lt x\lt2)\\ 3(1-c)x^{2}+8bx-3 & (2\lt x)\end{cases}\]

• \(x=-1\) で微分可能：\(-2=-2b-1\) より \(b=\dfrac12\)。
• \(x=2\) で微分可能：\(4b-1=12(1-c)+16b-3\)。\(b=\frac12\) を入れて \(1=17-12c\) より \(c=\dfrac43\)。
• \(x=-1\) で連続：\(2+a=-2b+1+2c\)。\(b,c\) を入れて \(a=2c-2=\dfrac23\)。
• \(x=2\) で連続：\(f(2^{-})=b-2+2c=\dfrac76\)、\(f(2^{+})=2+16b-c-5d=\dfrac{26}{3}-5d\)。等号から \(d=\dfrac32\)。

結果、\(f\) は次の形になります。

\[f(x)=\begin{cases}-2x+\dfrac23 & (x\lt-1)\\ \dfrac12(x-1)^{2}+\dfrac23 & (-1\leqq x\lt2)\\ -\dfrac13x^{3}+2x^{2}-3x+\dfrac{11}{6} & (2\leqq x)\end{cases}\]

真ん中を平方完成しておくのが後半への布石です。頂点 \(\left(1,\dfrac23\right)\) がそのまま(1)の答えに出てきます。

(1) グラフの「山と谷」を4つの数字で押さえる

3つの枝をつなぐと、次のように動きます。

• \(x\lt-1\)：傾き \(-2\) の直線。\(x\to-1^{-}\) で \(f\to\dfrac83\)。
• \(-1\leqq x\lt2\)：下に凸の放物線。\(f(-1)=\dfrac83\)、\(x=1\) で極小 \(\dfrac23\)、\(x\to2^{-}\) で \(\dfrac76\)。
• \(2\leqq x\)：\(f'(x)=-x^{2}+4x-3=-(x-1)(x-3)\) より \(2\lt x\lt3\) で増加、\(x\gt3\) で減少。極大 \(f(3)=\dfrac{11}{6}\)、その後 \(-\infty\) へ。

押さえるべき値は \(\dfrac23\)（谷）、\(\dfrac76\)（つなぎ目）、\(\dfrac{11}{6}\)（山）、\(\dfrac83\)（左端） の4つ。水平線 \(y=k\) を下から上げていくと交点の個数は

\[1\ \to\ 2\ \left(k=\tfrac23\right)\ \to\ \boldsymbol{3}\ \to\ 2\ \left(k=\tfrac{11}{6}\right)\ \to\ 1\]

と変化します。したがって相異なる3個の実数解をもつのは

\[\frac23\lt k\lt\frac{11}{6}\]

検算：この開区間の1999点すべてで解が3個、区間の外と両端では3個にならないことを計算で確認しました。

(1) \(\alpha\) は「いちばん左の解」——放物線の左半分にいる

まず、\(x\lt-1\) の直線部分の値域は \(y\gt\dfrac83\) ですが、いまの \(k\) は \(k\lt\dfrac{11}{6}\lt\dfrac83\) なので、直線部分に解は現れません。よって最小の解 \(\alpha\) は放物線の減少部分 \(-1\leqq x\leqq1\) にあります。ここで \(f\) は \(\frac83\) から \(\frac23\) まで単調に減るので、\(k\) と \(\alpha\) は1対1に対応します。

\[\frac12(\alpha-1)^{2}+\frac23=k\quad\Longrightarrow\quad \alpha=1-\sqrt{2\left(k-\frac23\right)}\]

\(k\) が \(\frac23\) に近づけば \(\alpha\to1\)、\(k\) が \(\frac{11}{6}\) に近づけば

\[\alpha\to1-\sqrt{\frac73}=1-\frac{\sqrt{21}}{3}=\frac{3-\sqrt{21}}{3}\]

\(\alpha\) は \(k\) の減少関数なので、求める範囲は

\[\frac{3-\sqrt{21}}{3}\lt\alpha\lt1\]

(2) 底辺を固定して、いちばん遠い点を探す

\(f(2)=\dfrac76\)、\(f'(2)=1\)（左右どちらの式で計算しても1）。よって \(\mathrm{P}\) における法線の傾きは \(-1\) で

\[y-\frac76=-(x-2)\quad\Longrightarrow\quad y=-x+\frac{19}{6}\]

\(x\lt0\) の \(C\) は、\(-1\leqq x\lt0\) が放物線、\(x\lt-1\) が直線 \(y=-2x+\frac23\) の2つに分かれます。放物線側は \(\frac12(x-1)^{2}+\frac23=-x+\frac{19}{6}\) すなわち \(x^{2}=4\) より \(x=\pm2\) で、\(-1\leqq x\lt0\) には解がありません。よって交点は直線部分にあり

\[-2x+\frac23=-x+\frac{19}{6}\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac52,\qquad \mathrm{Q}\left(-\frac52,\ \frac{17}{3}\right)\]

三角形 \(\mathrm{QPR}\) は底辺 \(\mathrm{QP}\)（法線上）が固定なので、面積を最大にするのは法線からの距離が最大の \(\mathrm{R}\)。差を \(g(x)=f(x)-\left(-x+\frac{19}{6}\right)\) とおくと、\(2\leqq x\) では

\[g(x)=-\frac13x^{3}+2x^{2}-2x-\frac43=-\frac13(x-2)\left(x^{2}-4x-2\right)\]

と因数分解でき、\(x^{2}-4x-2=0\) の解は \(2\pm\sqrt6\)（\(2+\sqrt6\fallingdotseq4.45\)）。よって \(2\lt x\lt4\) では \(x-2\gt0\) かつ \(x^{2}-4x-2\lt0\) で \(g(x)\gt0\)、すなわち \(C\) は法線の上側にあります。あとは \(g(x)\) を最大にすればよく、微分して

\[g'(x)=f'(x)+1=0\quad\Longrightarrow\quad -x^{2}+4x-3=-1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-4x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\pm\sqrt2\]

\(2\lt x\lt4\) を満たすのは \(x=2+\sqrt2\)。

\(y\) 座標は、\(x^{2}-4x+2=0\) を使うと計算が一瞬で終わります。\(f(x)\) を \(x^{2}-4x+2\) で割ると

\[f(x)=(x^{2}-4x+2)\left(-\frac13x+\frac23\right)+\frac{x}{3}+\frac12\]

第1項は0になるので

\[f(2+\sqrt2)=\frac{2+\sqrt2}{3}+\frac12=\frac{2(2+\sqrt2)+3}{6}=\frac{7+2\sqrt2}{6}\]
\[\therefore\ \mathrm{R}\left(2+\sqrt2,\ \frac{7+2\sqrt2}{6}\right)\]

「無理数を3次式に代入しない」——これがこの設問で最も差がつく一手です。素直に \((2+\sqrt2)^{3}\) を展開すると計算量が3倍になり、符号ミスも入ります。

解き方

共通接線の条件は「値が一致」＋「傾きが一致」の2本

\(f(x)=ax^{2}+1\)、\(g(x)=2\log x\) とおくと \(f'(x)=2ax\)、\(g'(x)=\dfrac2x\)。接点の \(x\) 座標を \(t\) として

\[at^{2}+1=2\log t\ \cdots①\qquad 2at=\frac2t\ \cdots②\]

②から \(at^{2}=1\)。これを①に代入すると

\[1+1=2\log t\quad\Longrightarrow\quad \log t=1\quad\Longrightarrow\quad t=e\]
\[\therefore\ a=\frac{1}{t^{2}}=\frac{1}{e^{2}}\]

②を「\(at^{2}=1\)」の形にしてから①に入れるのがコツ。\(a\) を \(1/t^{2}\) と書いて代入しても同じですが、この形なら \(\log\) の式が一瞬で片づきます。

(1) 面積：\(\int\log x\,dx\) だけ思い出せばよい

\(1\leqq x\leqq e\) では \(C_1\) が上、\(C_2\) が下です。実際 \(h(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{2}}+1-2\log x\) とおくと

\[h'(x)=\frac{2x}{e^{2}}-\frac2x=\frac{2(x^{2}-e^{2})}{e^{2}x}\lt0\qquad(0\lt x\lt e)\]

で \(h\) は減少し、接点で \(h(e)=0\)。よって \(1\leqq x\lt e\) では \(h(x)\gt0\) です（\(x=1\) では \(C_1\) が \(1+\dfrac{1}{e^{2}}\)、\(C_2\) が \(0\)）。

\[T=\int_{1}^{e}\left(\frac{x^{2}}{e^{2}}+1-2\log x\right)dx\]

\(\displaystyle\int\log x\,dx=x\log x-x\) を使うと

\[T=\left[\frac{x^{3}}{3e^{2}}-2x\log x+3x\right]_{1}^{e}=\left(\frac{e}{3}+e\right)-\left(\frac{1}{3e^{2}}+3\right)=\frac43e-\frac{1}{3e^{2}}-3\]

\(-2\log x\) の原始関数は \(-2(x\log x-x)=-2x\log x+2x\) で、この \(+2x\) が \(+x\) と合わさって \(+3x\) になります。ここを \(+x\) のままにするのがよくある取りこぼしです。

(1) 体積：バウムクーヘン分割で1行にする

\(y\) 軸まわりの回転体で、\(x\) の区間で挟まれた領域を回すときはバウムクーヘン（円筒殻）分割が最短です。

\[V_1=2\pi\int_{1}^{e}x\bigl\{f(x)-g(x)\bigr\}dx=2\pi\int_{1}^{e}\left(\frac{x^{3}}{e^{2}}+x-2x\log x\right)dx\]

\(\displaystyle\int x\log x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\log x-\frac{x^{2}}{4}\) なので

\[V_1=2\pi\left[\frac{x^{4}}{4e^{2}}-x^{2}\log x+x^{2}\right]_{1}^{e}=2\pi\left\{\frac{e^{2}}{4}-\left(\frac{1}{4e^{2}}+1\right)\right\}=\frac12\left(e^{2}-\frac{1}{e^{2}}-4\right)\pi\]

これを \(y\) で積分しようとすると一気に重くなります。\(C_2\) は \(x=e^{y/2}\)、\(C_1\) は \(x=e\sqrt{y-1}\) と2通りの逆関数が現れ、しかも \(y\) の範囲で場合分けが要ります。バウムクーヘンを知っているかどうかで、この設問の所要時間は大きく変わります。

(2) 弧長：置換の狙いは「根号を外すこと」

\[1+\{g'(x)\}^{2}=1+\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{2}+4}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad L=\int_{\sqrt5}^{2\sqrt3}\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}\,dx\]

問題文が指定するとおり \(\sqrt{x^{2}+4}=t\) とおきます。両辺2乗して \(x^{2}=t^{2}-4\)、微分して \(x\,dx=t\,dt\)。積分区間は \(x:\sqrt5\to2\sqrt3\) に対し \(t:3\to4\)。

ここで分母分子に \(x\) を掛けて \(x\,dx\) の形を作るのが定石です。

\[L=\int_{\sqrt5}^{2\sqrt3}\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x^{2}}\cdot x\,dx=\int_{3}^{4}\frac{t}{t^{2}-4}\cdot t\,dt=\int_{3}^{4}\left(1+\frac{4}{t^{2}-4}\right)dt\]

\(\dfrac{4}{t^{2}-4}=\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t+2}\) と部分分数分解して

\[L=\left[t+\log\left|\frac{t-2}{t+2}\right|\right]_{3}^{4}=\left(4+\log\frac26\right)-\left(3+\log\frac15\right)=1+\log\frac53\]

検算：数値積分すると \(L=1.5108\ldots\)、\(1+\log\frac53=1.5108\ldots\) で一致します。