栄光学園中学校 算数の傾向と対策【オリジナル類題つき】

栄光学園中学校 算数の傾向と対策【数強塾オリジナル類題つき】

栄光学園中学校（鎌倉市）は、神奈川県を代表する男子最難関校のひとつとして広く知られています。イエズス会を母体とするカトリックの男子校で、毎年、東京大学をはじめとする難関大学へ多くの合格者を送り出しており、首都圏の男子受験生にとって最上位の目標校のひとつです。本記事では、公開されている入試情報をもとに算数の傾向を整理したうえで、オンライン数学専門塾「数強塾」が作成したオリジナル類題5問（数の性質・調べ上げ/条件整理・速さ・平面図形・立体図形）を、考え方・解答・検算つきで掲載します。

栄光学園の算数はどんな試験か（公開情報にもとづく傾向）

本記事は特定年度の問題の転載・解説ではなく、公開情報から知られる一般的な傾向の整理です。次のような特徴が知られています。

• 試験形式：算数は試験時間60分・70点満点で実施されると各種公開情報で案内されています。募集人員は男子180名で、国語・算数・理科・社会の4科入試（合計240点満点）です。
• 算数で差がつく入試：公式の入試状況ページによると、2026年度入試の算数は受験者平均33.6点・合格者平均42.0点で、平均点の差は約8点。他教科とくらべても算数の出来が合否に影響しやすい入試といえます。年度によっては受験者平均と合格者平均の差が20点近くになることもあり、算数対策の重要度が高い学校です。
• 考える過程を重視する出題：例年、公式のあてはめでは処理できない、初見の設定をその場で整理し、手を動かして実験・調べ上げをしながら考えさせる問題が出題される傾向が知られています。大問数は多くなく、1問あたりにじっくり時間をかけるタイプの試験構成といわれます。
• 出題分野：数の性質（整数）、場合の数・調べ上げ、規則性、速さ、平面図形、立体図形（切断・展開図など）が出題される傾向が知られています。とくに「設定の読み取り」「実験して規則を見つける」「途中の考え方を筋道立てて書く」力が試されるといわれます。

※以下の類題5問は、上記の傾向をふまえて数強塾が独自に作成したオリジナル問題です。実在の過去問の複製ではありません。全問、正攻法の解答に加えて独立した別の方法による二重検算を行い、答えの一致を確認しています。

類題1（数の性質）

【📖大切な考え方】「和＋積」という操作を見たら、「それぞれの数に1をたしてから考える」のが急所です。aとbから作られる数は a＋b＋a×b ですが、これに1をたすと a＋b＋a×b＋1＝(a＋1)×(b＋1) となります（たての長さa＋1、よこの長さb＋1の長方形の面積を、4つの部分 a×b、a、b、1 に切り分ける面積図で確かめられます）。つまり「新しい数＋1」は「もとの2数それぞれに1をたした数の積」。操作を何回くり返しても、「各数に1をたした数の積」は変わらないのです。

解答　(1) 1と2を先に選ぶと、1＋2＋1×2＝5 で黒板は「5、3」。次に 5＋3＋5×3＝23。
2と3を先に選ぶと、2＋3＋2×3＝11 で黒板は「1、11」。次に 1＋11＋1×11＝23。
どちらも最後に残る数は 23 です。
(2) 考え方の通り、「最後に残る数＋1」は、はじめの6つの数それぞれに1をたした数の積になります。
(1＋1)×(2＋1)×(3＋1)×(4＋1)×(5＋1)×(6＋1)＝2×3×4×5×6×7＝5040
よって最後に残る数は 5040−1＝5039 です。

【✅検算】(2)を、積の考え方を使わずに、実際の操作で愚直に計算し直します。左はしから順に操作すると、1と2→1＋2＋2＝5、5と3→5＋3＋15＝23、23と4→23＋4＋92＝119、119と5→119＋5＋595＝719、719と6→719＋6＋4314＝5039。積の式から求めた 5040−1＝5039 と一致しました。さらに別の順番（6と5→41、41と4→209、209と3→839、839と2→2519、2519と1→5039）でも同じ値になり、「順番によらない」ことも実地に確かめられます。(1)の23も、(1＋1)×(2＋1)×(3＋1)−1＝24−1＝23 と一致します。

類題2（調べ上げ・条件整理）

【📖大切な考え方】4つの数を小さい順に ア＜イ＜ウ＜エ とします。6つの和の中で、それぞれの数はちょうど3回ずつ使われるので、6つの和の合計は「4つの数の和」の3倍です。また、いちばん小さい和は必ずア＋イ、いちばん大きい和は必ずウ＋エ、2番目に小さい和は必ずア＋ウ、2番目に大きい和は必ずイ＋エです。ただし3番目と4番目（ア＋エとイ＋ウ）はどちらが大きいか決まらないので、ここで場合分けの調べ上げが必要になります。

解答　(1) 6つの和の合計は 12＋15＋17＋20＋22＋25＝111。これは4つの数の和の3倍なので、4つの数の和は 111÷3＝37。
(2) ア＋イ＝12（最小）、ウ＋エ＝25（最大）、ア＋ウ＝15（2番目に小さい）、イ＋エ＝22（2番目に大きい）。残る17と20が、ア＋エとイ＋ウのどちらかです。
ア＋イ＝12 と ア＋ウ＝15 をくらべると、ウはイより 15−12＝3 大きい数です。
・イ＋ウ＝17 の場合：イ＋（イ＋3）＝17 より イ＝7。すると ア＝12−7＝5、ウ＝10、エ＝37−12−10＝15。確かめ：ア＋エ＝5＋15＝20（残った和と一致）。すべての条件に合います。
・イ＋ウ＝20 の場合：イ＋（イ＋3）＝20 より イ×2＝17 となり、イが整数になりません。不適。
よって4つの整数は 5、7、10、15 です。

【✅検算】5、7、10、15から2つ選ぶ6通りの和を全部作り直します。5＋7＝12、5＋10＝15、5＋15＝20、7＋10＝17、7＋15＝22、10＋15＝25。小さい順に並べると 12、15、17、20、22、25 で、問題の6つの和と完全に一致します。また4つの和は 5＋7＋10＋15＝37 で(1)とも一致。さらに数強塾では、コンピュータで整数の組をすべて調べ、この6つの和になる4整数の組が「5、7、10、15」ただ1組であることも確認しています。

類題3（速さ・文章題）

【📖大切な考え方】PQ間の道のりが分かっていないのに(1)から時間が求められるのが本問の面白いところです。注目するのは「花子さんが太郎くんと出会った瞬間の、太郎くんと次郎くんの間の距離」です。この距離は、2人の速さの差×経過時間で表せます。一方、この距離を花子さんと次郎くんが両側からつめて3分で出会うので、速さの和×3分でも表せます。「同じ距離を2通りに表す」——文章題の核心となる考え方です。

解答　(1) 出発してから花子さんが太郎くんと出会うまでの時間を□分とします。
このとき太郎くんと次郎くんの間の距離は、(80−65)×□＝15×□（m）。
この距離を、花子さんと次郎くんが向かい合って進んでつめるので、(65＋60)×3＝375（m）。
よって 15×□＝375、□＝375÷15＝25分後。
(2) 花子さんと太郎くんは、PQ間の道のりを2人で合わせて進んで25分で出会ったので、
PQ間＝(80＋60)×25＝3500m。
(3) 花子さんが次郎くんと出会うのは出発から 25＋3＝28分後。次郎くんはPから出発して28分歩いているので、出会った地点は 65×28＝Pから1820mの地点です。

【✅検算】3人の位置を、答えの数値から独立に計算し直します。25分後：太郎くんはPから 80×25＝2000m、花子さんはQから 60×25＝1500m、つまりPから 3500−1500＝2000m。同じ位置なので、たしかに出会っています。28分後：次郎くんはPから 65×28＝1820m、花子さんはQから 60×28＝1680m、つまりPから 3500−1680＝1820m。これも一致。さらに「太郎くんとの出会いの3分後」という条件も 28−25＝3分 で満たされており、すべての条件に合っています。

類題4（平面図形）

【📖大切な考え方】正六角形は「対角線AD、BE、CFで6つの正三角形に分けられる」「1辺と長い対角線（ADなど）の長さの比は1：2」「BCとADは平行」など、性質の宝庫です。交わる2本の線分と平行線があれば、ちょうちょ形（砂時計形）の相似がつくれます。面積は、正六角形全体を基準にして「全体の何分の何か」で追いかけると、計算がすっきりします。

解答　(1) BCとADは平行です（どちらも正六角形の向かい合う辺・対角線の方向）。ACとBDが点Pで交わっているので、三角形PBCと三角形PDAはちょうちょ形の相似です。相似比は BC：AD＝1：2（正六角形の1辺と長い対角線の比）。したがって BP：PD＝1：2 です。同じ相似から CP：PA＝1：2 も分かります。
(2) 三角形ABDに注目します。底辺をAD（長い対角線）とすると、正六角形の面積は「三角形ABDと同じ底辺ADで、Bと反対側もあわせた形」を考えると整理でき、三角形ABDの面積は正六角形の3分の1、すなわち 108÷3＝36cm²です（正六角形を対角線AD、BE、CFで6つの合同な正三角形に分け、三角形ABDが正三角形2つ分＝6分の2にあたることからも分かります）。
(1)より BP：PD＝1：2 なので、BP：BD＝1：3。三角形ABPと三角形ABDは高さが共通で底辺の比が1：3だから、三角形ABP＝36×1/3＝12cm²。
(3) 四角形APDEを、対角線ADで三角形APDと三角形ADEに分けます。
・三角形ACDの面積：三角形ABDと同様に正六角形の3分の1で36cm²。CP：PA＝1：2 より AP：AC＝2：3 なので、三角形APD＝36×2/3＝24cm²。
・三角形ADEの面積：これも底辺ADをもつ三角形で、正六角形の3分の1＝36cm²。
よって四角形APDE＝24＋36＝60cm²。

【✅検算】別の分け方で全体を組み立て直します。正六角形は、四角形APDE（60）、三角形ABP（12）、三角形BPC、三角形PCD、三角形AEF に分けられます。三角形PCDは、三角形ACDのうちCP：PA＝1：2の「CP側」なので 36×1/3＝12cm²。三角形BPCは三角形PDAとの相似比1：2から面積比1：4で、三角形PDA＝24cm²より 24×1/4＝6cm²。三角形AEFは正六角形の6分の1で 108÷6＝18cm²。合計は 60＋12＋6＋12＋18＝108cm² となり、正六角形全体とぴったり一致します。また数強塾では、座標計算による面積計算でも BP：PD＝1：2、三角形ABP＝全体の9分の1（12cm²）、四角形APDE＝60cm² になることを確認しています。

類題5（立体図形）

【📖大切な考え方】切断の2大ルールは、①同じ面の上にある2点は結べる、②平行な面につく切り口の線は平行になる、です。3点を通る平面が指定されたら、まず結べる線を引き、平行ルールで切り口を面から面へ広げていきます。本問の切り口は三角形にはならず、側面を斜めに通っていくのがポイント。体積は、「頂点の真下」にある点に注目してすい体に分解すると見通しよく計算できます。

解答　(1) MとNは同じ上の面にあるので、まず結べます。次に、切り口が側面をどう通るかを「延長」で調べます。MNをのばすと、辺CBをBの側にのばした直線と点Xで交わります。三角形AMNが直角二等辺三角形（AM＝AN＝6cm）なので、MNは辺ABと45°で交わり、三角形MBXも直角二等辺三角形になって BX＝MB＝6cm。XはMNの延長上の点なので切断面の上にあり、同時に側面BCGFをふくむ平面の上にもあります。したがって、側面BCGF上の切り口はXとGを結ぶ直線で決まり、これが辺BFと交わる点をPとすると、三角形の相似（Xから水平に6cmでBF、18cmでCGに届き、高さ12cmを下る縮図）より、BからPまでは 12×6/18＝4cm。つまりBP＝4cmです。辺AD側もまったく対称で、切り口は辺DH上の点Q（DQ＝4cm）を通ります。よって切り口は M→P→G→Q→N と結んだ五角形です。向かい合う側面の切り口MPとQGが平行になっていること（平行な面につく切り口は平行のルール）も確かめられます。
(2) 点Cをふくむ側の立体は、頂点B、C、Dをふくむ側です。ここで、GはちょうどCの真下にあることに注目し、Gを頂点とするすい体に分解します。
・五角すいG-MBCDN：底面は、上の面の正方形ABCDから三角形AMN（直角をはさむ2辺が6cmと6cm）を取り除いた五角形MBCDN。面積は 12×12−6×6÷2＝144−18＝126（cm²）。高さは、Gから上の面までの距離で12cm。体積は 126×12÷3＝504（cm³）。
・側面ABFEの上に残るすきま：三角すいM-BPG。切り口の線MPと、五角すいの面GMBの間の部分で、三角形MBP（MB＝6cm、BP＝4cm、Bの角が直角、面積12cm²）を底面とすると、高さはGとこの側面との距離で12cm。体積は 12×12÷3＝48（cm³）。
・側面ADHEの上にも、同じ形の三角すいN-DQGが対称にでき、体積48cm³。
よって点Cをふくむ側の体積は 504＋48＋48＝600cm³。
(3) 立方体の体積は 12×12×12＝1728（cm³）。点Aをふくむ側は 1728−600＝1128（cm³）。よって 600：1128＝25：47（両方を24でわる）。

【✅検算】まず(3)の比の逆算：25＋47＝72、1728÷72＝24 なので、25×24＝600、47×24＝1128 と全体がぴったり合います。次に(2)を独立の方法で確認します。数強塾では、立方体を細かい柱に刻んで切断面の上下を数え上げるコンピュータによる近似計算を行い、点Cをふくむ側の体積が600cm³（誤差0.001%未満）になることを確認しています。また、切り口が通る点P、Qの位置（Bから4cm、Dから4cm）も、切断面が平面である条件（面の上のどの線分もまっすぐつながる条件）から独立に検算し、一致しました。三角形の切り口と早合点せず、側面での通り道をていねいに調べることが大切です。

栄光学園を目指す受験生への学習アドバイス

【時期別】

• 6年生の夏まで：全分野の典型問題を穴なく仕上げることが最優先です。栄光学園のような思考力型の入試ほど、土台となる典型解法の抜けが命取りになります。計算力（速く正確に、そして工夫して）も、この時期に徹底的にきたえておきましょう。
• 秋（9〜11月）：初見の応用問題に、1問15〜20分かけてじっくり取り組む練習を始めます。本記事の類題のように「実験して規則を見つける」「同じものを2通りに表す」「場合分けして調べ上げる」といった手の動かし方を、型として身につける時期です。過去問演習は、学校販売の過去問題セットや市販の過去問集を使い、時間を計って取り組みましょう。
• 直前期（12月〜1月）：60分の使い方の練習が中心です。じっくり型の試験では、1つの問題に沈み込みすぎない判断力と、部分点につながる「考えの筋道を書く」練習の両方が大切と考えられます。答案に図・表・式を残す習慣を最後まで続けましょう。

【分野別】

• 数の性質：素因数分解・約数・倍数を「計算技術」ではなく「数の構造を見る道具」として使えるように（類題1）。「1をたす・そろえる・2通りに表す」といった発想の引き出しを増やしましょう。
• 調べ上げ・場合の数：樹形図・表による調べ上げを面倒がらないこと。決まるところから確定させ、決まらないところだけ場合分けする整理術（類題2）が効きます。
• 速さ・文章題：線分図やダイヤグラムで状況を図示し、「同じ距離・同じ時間を2通りに表す」練習を（類題3）。出した答えで全員の動きを再現して確かめる習慣が失点を防ぎます。
• 平面図形：平行線を見つけてちょうちょ形の相似をつくる、全体を基準に面積比で追う（類題4）といった定石を、1つずつ言葉で説明できるレベルに。
• 立体図形：切断の2大ルールと、すい体への分解・相似比の活用（類題5）は必須技術です。見取り図と投影図（真上・真横から見た図）を自分の手でかく練習を重ねましょう。

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