小学生算数｜大宮開成中の算数入試問題 折り返しと角度を丁寧に解説（無料問題PDF）

問題1の解答・解説

答えは65°です。

解説で使う点の名前

元の問題図には点名がないため、解説の中だけで次のように名前を付けます。

• A：正方形の左下の頂点
• D：正方形の右下の頂点
• P：折る前の左上の頂点
• B：折り目と正方形の上辺が交わる点
• C：Pを折り返した後の点（図の中央付近の頂点）

求めるアは、三角形ACDのCの角、つまり ∠ACD です。

最初に考えたいこと

70°からアを直接求めようとすると、角度のつながりが見えません。最初に見るべき手がかりは次の2つです。

1. 正方形の上辺と左辺は垂直なので、70°の隣には20°ができる。
2. 紙を折る操作は折り目を軸とする線対称なので、折る前後で角度と長さが保たれる。

そこで、まず折り目と左辺の間の20°を求め、その20°を折った後の図へ移します。

なぜこの発想になるのか

紙の折り返しでは、折り目上の点A、Bは動きません。一方、左上の頂点PはCへ移ります。そのため、線分APは線分ACへ、線分BPは線分BCへ重なります。

折り目ABをはさんだ対応する角は等しいので、

∠PAB = ∠BAC

です。また、折っても線分の長さは変わらないため、

AP = AC

です。この「等しい角」と「等しい長さ」の両方を使うことが、この問題の中心です。

なぜこの方法で解けるのか

最終的に求めたい∠ACDは、三角形ACDの角です。三角形ACDで AC=AD を示せれば二等辺三角形になり、Aの角を1つ求めるだけでCの角も決まります。

AC=AD になる理由は、折り返しにより AC=AP、正方形の辺なので AP=AD だからです。したがって、途中で求めるべき角は三角形ACDの頂角 ∠CAD だと分かります。

解答・途中式

正方形の上辺と左辺がつくる角は90°です。図の70°から、折り目ABと左辺APがつくる角は、

90° - 70° = 20°

となります。つまり、

∠PAB = 20°

です。

折り返しによってAPはACへ移るので、折り目ABの反対側にも同じ20°ができます。

∠BAC = 20°

正方形の上辺と下辺ADは平行です。そのため、折り目ABと下辺ADがつくる角は70°です。よって三角形ACDのAの角は、

∠CAD
= ∠DAB - ∠CAB
= 70° - 20°
= 50°

です。

次に、折り返しと正方形の性質から、

AC = AP
AP = AD

なので、

AC = AD

です。したがって三角形ACDは、Aを頂角とする二等辺三角形です。CとDの角は等しいため、

∠ACD
= (180° - 50°) ÷ 2
= 65°

となります。したがって、

ア = 65°

です。

検算

三角形の内角の和で確認

三角形ACDの3つの角は、

50° + 65° + 65° = 180°

となり、内角の和と一致します。

線対称を方向角で確認

下辺ADの向きを0°とすると、折り目ABの向きは70°、折る前の左辺APの向きは90°です。90°の線を70°の折り目で反射すると、折った後のACの向きは、

2 × 70° - 90° = 50°

です。これは途中で求めた ∠CAD=50° と一致します。

よくある誤り

1. 70°を2で割って35°とする。 折り目が二等分するのは、折る前の線と折った後の対応する線がつくる角です。図に書かれた70°そのものを二等分するわけではありません。
2. AC=AD の理由を書かずに二等辺三角形とする。 AC=AP は折り返し、AP=AD は正方形の性質という2段階の根拠が必要です。

次に解く問題・関連解説

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