フェリス女学院中学校 2021年度 算数 過去問の傾向と対策

フェリス女学院中学校 2021年度 算数の傾向と対策【数強塾オリジナル類題つき】

※以下の解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、受験算数の正攻法と別解による二重検算済み）。本ページの類題はすべて数強塾のオリジナル問題です。実際の入試問題はフェリス女学院中学校の公式サイトでご確認ください。

2021年度のフェリスは、受験者平均点が57点まで上がったと伝えられる「取り組みやすい年」でした。こうした年に合否を分けるのは、難問への対応力よりも標準問題をノーミスで取りきる精度です。平均点が上がる年は1問の失点の重みが増すため、計算の正確さ、条件の読み落としのなさ、そして検算の習慣がそのまま合格可能性に直結します。また、フェリスは式や考え方を書かせる学校なので、「答えは合っているのに書き方で損をする」ことのない答案作りも欠かせません。ここでは、フェリス対策として鍛えておきたい分野から数強塾が自作した5つのオリジナル類題に挑戦しましょう。なお、2025年度版では「数の性質・平面図形と比・旅人算・ニュートン算・規則性」を、2024年度版では「時計算・場合の数・水そう・図形の移動・食塩水」を、2023年度版では「つるかめ算・立体図形・売買算・約束記号・論理推理」を、2022年度版では「仕事算・流水算・求積・日暦算・道順」を扱ったので、本ページではそれらと重ならない5分野（植木算と等差数列・相当算・角度・濃度のてんびん法・過不足算）を取り上げます。

類題1（植木算と等差数列）

問題（数強塾オリジナル）：まっすぐな道の片側に、道のはしからはしまで木を等間隔に植えます。間隔を6mにして植えると、間隔を8mにして植えるときよりも木が9本多く必要になります。
(1) この道の長さは何mですか。
(2) 間隔を6mにして植えるとき、植える費用は1本目が500円で、2本目からは1本ごとに前の木より20円ずつ高くなります。木を全部植えるのにかかる費用は合わせて何円ですか。

【📖大切な考え方】植木算の基本は「両はしに植えるとき、木の本数＝間の数＋1」。本数どうしを直接比べるのは難しくても、どちらの植え方でも「＋1」は共通なので、本数の差はそのまま「間の数の差」になります。

【👀ここに注目】道の長さを、6と8の最小公倍数である24mごとのまとまりで考えてみましょう。24mの中に、6m間隔なら間が4つ、8m間隔なら間が3つ。つまり24mごとに間の数の差が1つずつ生まれるのです。

方針：本数の差9本＝間の数の差9個 → 24mごとに差が1個 → 道の長さが求まる。(2)は等差数列の和の公式を使います。

解答

(1) 両はしに植えるので、どちらの植え方でも「本数＝間の数＋1」。本数の差が9本だから、間の数の差も9個。
道の長さ24mごとに、6m間隔の間は4つ、8m間隔の間は3つできるので、差が1つ生まれる。
差が9つになるのは 24 × 9 ＝ 216m。
（確かめ：216 ÷ 6 ＋ 1 ＝ 37本、216 ÷ 8 ＋ 1 ＝ 28本で、差は 37 − 28 ＝ 9本。）

(2) (1)より木は37本。費用は 500円、520円、540円、… と20円ずつ増える等差数列で、
37本目の費用は 500 ＋ 20 × (37 − 1) ＝ 500 ＋ 720 ＝ 1220円。
等差数列の和は「（はじめの数＋終わりの数）× 個数 ÷ 2」だから、
(500 ＋ 1220) × 37 ÷ 2 ＝ 1720 × 37 ÷ 2 ＝ 860 × 37 ＝ 31820円。

【✅検算】道の長さを□mとして □ ÷ 6 − □ ÷ 8 ＝ 9 を解く別解でも、□ ÷ 24 ＝ 9 から □ ＝ 216 で一致。費用も、500から1220まで20円きざみの37個をコンピュータ的に1つずつ全部たし上げると31820円になり、公式の結果と一致します。

【💡ポイントコラム】植木算は「木」の問題に見えて、本当の主役は「間」。両はし（＋1）、片はしだけ（そのまま）、池のまわり（間＝本数）の3パターンを、丸暗記ではなく図をかいて確かめられるようにしておくと、電柱・くい・テープのつなぎ目など、どんな着せかえ問題にも対応できます。

類題2（相当算）

問題（数強塾オリジナル）：ある本を、1日目に全体の4分の1より10ページ多く読み、2日目に残りの5分の2より6ページ少なく読んだところ、90ページ残りました。この本は全部で何ページありますか。

【📖大切な考え方】相当算は「もとにする量 × 割合 ＝ くらべる量」の関係を、最後の場面からさかのぼって使うのが定石。「〜より10ページ多い」「〜より6ページ少ない」のような端数は、先に足し引きして「ちょうど何分のいくつ」の形に整えてから割合の計算をします。

【👀ここに注目】1日目の「全体の4分の1」と2日目の「残りの5分の2」は、もとにする量がちがいます。全体を①とする比と、1日目の残りを①とする比を混ぜないよう、線分図を2段に分けてかくのが安全です。

方針：2日目の場面から逆算して「1日目の残り」を求め、次に1日目の場面から逆算して全体を求めます。

解答

まず2日目。1日目の残りを［1］とすると、2日目に読んだ量は［5分の2］− 6ページだから、2日目のあとに残るのは
［1］−（［5分の2］− 6ページ）＝［5分の3］＋ 6ページ。
これが90ページなので、［5分の3］＝ 90 − 6 ＝ 84ページ。
よって1日目の残り［1］は 84 ÷ 3 × 5 ＝ 140ページ。
次に1日目。全体を〈1〉とすると、1日目に読んだのは〈4分の1〉＋ 10ページだから、残りは
〈4分の3〉− 10ページ ＝ 140ページ。
よって〈4分の3〉＝ 140 ＋ 10 ＝ 150ページ。
全体〈1〉は 150 ÷ 3 × 4 ＝ 200ページ。

【✅検算】200ページで最初から順にたどると、1日目は 200 × 4分の1 ＋ 10 ＝ 60ページ読んで残り140ページ。2日目は 140 × 5分の2 − 6 ＝ 50ページ読んで残り 140 − 50 ＝ 90ページ。問題の条件とぴったり一致。（全体を□ページとおいて方程式で解く別解、および1〜2000ページを全部ためす全探索でも□＝200だけが条件に合い、一致）

【💡ポイントコラム】相当算のミスの大半は「もとにする量のすり替え」に気づかないこと。「残りの5分の2」と出てきたら、線分図の2段目を新しくかき始める——この習慣だけで正答率は大きく変わります。フェリスのように考え方を書かせる学校では、線分図そのものが得点力のある答案になります。

類題3（角度・正五角形と対角線）

問題（数強塾オリジナル）：正五角形ABCDEがあります。
(1) 対角線ACと対角線BDの交わる点をPとするとき、角APBの大きさを求めなさい。
(2) 正五角形の5本の対角線をすべてひくと、内側に星形（星形五角形）ができます。星の5つの先端の角の大きさの和を求めなさい。

（図は数強塾作成のイメージ図です）

【📖大切な考え方】正五角形の内角は 540 ÷ 5 ＝ 108度。対角線をひいてできる三角形は、正五角形の辺どうしが等しいことから二等辺三角形だらけになります。「二等辺三角形を見つけて底角を求める」をくり返すのが正多角形の角度問題の王道です。

【👀ここに注目】(2)で5つの先端の角を1つずつ求めてたすのは、じつは遠回り。三角形の外角の定理（外角＝となり合わない2つの内角の和）を使うと、5つの角を1つの三角形に集められます。1つずつ求める方法と両方で解いて、答えが合うことを確かめましょう。

方針：(1)は二等辺三角形の底角から三角形ABPの内角をそろえる。(2)は先端の角を計算で求める方法と、外角の定理で集める方法の2通り。

解答

(1) 三角形ABCは AB ＝ BC の二等辺三角形で、角ABC ＝ 108度だから、
角BAC ＝ 角BCA ＝ (180 − 108) ÷ 2 ＝ 36度。
同じように三角形BCDでも 角CBD ＝ 36度なので、
角ABD ＝ 角ABC − 角CBD ＝ 108 − 36 ＝ 72度。
三角形ABPの内角の和より、
角APB ＝ 180 − 角PAB − 角ABP ＝ 180 − 36 − 72 ＝ 72度。

(2) 先端Aの角は、角EAB ＝ 108度から両わきの 角BAC ＝ 36度と 角DAE ＝ 36度を引いて、
角CAD ＝ 108 − 36 − 36 ＝ 36度。
正五角形の対称性から、5つの先端の角はすべて36度なので、和は 36 × 5 ＝ 180度。

【✅検算】(1)は、正五角形の頂点の位置を座標で決めて対角線の交わる角度を計算する別解でも72.0度となり一致。(2)は外角の定理を使う別解——星の先端の角2つ分が、対角線どうしの作る三角形の外角1つに集まることを利用して、1つの三角形の内角の和180度に5つの角がちょうど集められる——でも180度となり、36 × 5の計算と一致します。

【💡ポイントコラム】「36度・72度・108度」は正五角形ファミリーの角度3兄弟。この3つの数がお互いに 36 ＋ 72 ＝ 108、72 × 2 − 36 ＝ 108 のようにつながっていることを知っていると、正五角形がらみの角度問題は初見でも見通しが立ちます。フェリスで挙げられることの多い「三角定規の30・45・60・90度」とあわせて、特別な角度のセットとして頭に入れておきましょう。

類題4（濃度・てんびん法）

問題（数強塾オリジナル）：
(1) 濃度4％の食塩水と濃度9％の食塩水を混ぜて、濃度6％の食塩水を600g作ります。それぞれ何gずつ混ぜればよいですか。
(2) (1)でできた6％の食塩水600gに、さらに9％の食塩水を加えて濃度7％の食塩水にします。9％の食塩水を何g加えればよいですか。

（図は数強塾作成のイメージ図です）

【📖大切な考え方】食塩水を混ぜる問題は、てんびん法（うでの長さとおもりのつり合い）で整理すると速く正確です。うでの長さ＝濃度の差、おもりの重さ＝食塩水の重さで、「うでの長さの比」と「おもりの重さの比」は逆比になります。

【👀ここに注目】(1)のうでの長さは、6 − 4 ＝ 2 と 9 − 6 ＝ 3 で比は2：3。だからおもり（食塩水の重さ）の比はその逆比の3：2。「薄いほうをたくさん入れるのに、なぜか薄いほうのうでは短い」——この逆転を体で覚えるのがてんびん法マスターへの道です。

方針：(1)は逆比で600gを比例配分。(2)も同じてんびんで、支点を7％に移して考えます。

解答

(1) うでの長さの比は (6 − 4)：(9 − 6) ＝ 2：3。
おもり（重さ）の比はその逆比で 3：2。
合わせて600gだから、4％の食塩水は 600 × 5分の3 ＝ 360g、9％の食塩水は 600 × 5分の2 ＝ 240g。

(2) 6％と9％を混ぜて7％にするので、うでの長さの比は (7 − 6)：(9 − 7) ＝ 1：2。
おもりの比はその逆比で 2：1。
6％の食塩水が600gだから、9％の食塩水は 600 × 2分の1 ＝ 300g。

【✅検算】食塩の重さで確かめます。(1) 360gの4％には 360 × 0.04 ＝ 14.4g、240gの9％には 240 × 0.09 ＝ 21.6g の食塩が入っていて、合計 36g。600gに対して 36 ÷ 600 ＝ 0.06 ＝ 6％で一致。(2) 6％600gの食塩36gに、9％300gの食塩 27g を加えると 63g。全体は 600 ＋ 300 ＝ 900gで、63 ÷ 900 ＝ 0.07 ＝ 7％で一致。（加える量を□gとして食塩の重さの方程式 36 ＋ 0.09 × □ ＝ 0.07 × (600 ＋ □) を解く別解でも□＝300で一致）

【💡ポイントコラム】てんびん法は「速い」だけでなく「検算しやすい」のが本当の強み。てんびんで出した答えを、食塩の重さの合計で確かめる——この往復をセットにすれば、濃度問題での失点はほぼ防げます。記述式のフェリス型答案では、てんびん図をかいたうえで食塩の重さの式を添えると、考え方が採点者に伝わりやすくなります。

類題5（過不足算）

問題（数強塾オリジナル）：あめを何人かの子どもに配ります。1人に7個ずつ配ると15個足りず、1人に5個ずつ配ると13個余ります。子どもの人数とあめの個数を求めなさい。

【📖大切な考え方】過不足算は「配り方を変えたときの、必要な個数の差」に注目します。1人あたり 7 − 5 ＝ 2個ずつ多く配ると、全体では「15個足りない」と「13個余る」の間の開き、つまり 15 ＋ 13 ＝ 28個だけ多く必要になります。

【👀ここに注目】「足りない」と「余る」が両方出てきたら、差は引き算ではなくたし算。数直線で「持っているあめの個数」を真ん中にかくと、必要量が上に15、下に13ずれている——差が28になる理由が目で見てわかります。

方針：全体の差28個 ÷ 1人あたりの差2個 ＝ 人数。人数が出たら、余りのほうの式であめの個数を求めます。

解答

1人あたりの差は 7 − 5 ＝ 2個。
全体で必要な個数の差は 15 ＋ 13 ＝ 28個。
よって子どもの人数は 28 ÷ 2 ＝ 14人。
あめの個数は、5個ずつ配ると13個余ることから、
5 × 14 ＋ 13 ＝ 70 ＋ 13 ＝ 83個。

【✅検算】7個ずつ配るには 7 × 14 ＝ 98個必要で、83個しかないから 98 − 83 ＝ 15個足りない——問題の条件と一致。（人数を□人として 7 × □ − 15 ＝ 5 × □ ＋ 13 を解く方程式の別解でも□＝14、あめ83個で一致。1〜1000人を全部ためす全探索でも条件に合うのはこの組だけ）

【💡ポイントコラム】過不足算は「不足と不足」「余りと余り」の組み合わせなら差は引き算、「不足と余り」ならたし算。丸暗記ではなく、毎回数直線をかいて確かめる習慣にしておくと、長いす問題（1脚に座る人数を変える）や部屋割り問題への応用でも迷いません。

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