一次不等式では、両辺への同じ数の加減など、方程式と共通する操作を使います。負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが逆になります。文字で割る場合は、正・負・0を先に分けます。解は一つの値とは限らず、範囲や「解なし」「すべての実数」になることもあります。
絶対値は数直線上の距離として読みます。基本20題と仕上げ10題に加え、条件の確認や発展演習を掲載しています。まず基本問題で止まった操作を特定し、解答を閉じて説明できるか、後日も別の問題で確かめましょう。
この道場の使い方
黒板の中が問題、その下が解説です。不等式では、答えが出たら実際に数を代入して確かめてください。範囲の中の数と外の数を1つずつ入れれば、向きの取り違えはその場で分かります。
数I「数と式」のうち、実数・絶対値・1次不等式に絞った20題です。展開と因数分解や二重根号を含む難問は数と式の特訓道場（難問）にあります。
第1章 実数と絶対値
第1問
次の数を、有理数と無理数に分けなさい。
使う道具分数で表せるものが有理数。
有理数（）、、、
無理数、
答 有理数： 無理数：
ひとこと根号がついていても無理数とは限りません。 は整数です。まず簡単にしてから判断してください。有限小数も循環小数も分数で表せるので有理数です。
第2問
次の絶対値の値を求めなさい。
(1) (2) (3) (4)
使う道具絶対値は原点からの距離。符号を外すだけ。
答 (1) 3 (2) 5 (3) 0 (4)
ひとこと絶対値はつねに0以上です。負になることはありません。だから のような方程式には解がありません（第3問）。
第3問
次の方程式を解きなさい。
(1) (2) (3)
使う道具（）なら 。
(1)
(2) または なので
(3) 絶対値は負にならないので解なし。
たしかめ、。どちらも成り立ちます。
答 (1) (2) (3) 解なし
ひとこと(2)は「2からの距離が3」と読めます。数直線で2の左右に3ずつ進めば5と 。距離として読むと暗算でも出せます（第6問）。
第4問
次の不等式を解きなさい。
(1) (2)
使う道具 なら「はさむ」、 なら「外に分かれる」。
(1) 原点からの距離が3より小さいので
(2) 距離が2より大きいので
答 (1) (2)
ひとことこの問題は右辺が正なので、「距離が指定値より小さい」は内側の区間、「大きい」は外側の二つの範囲です。右辺が0以下の場合や等号がある場合は、非負性と端点を改めて確認します。
第5問
を解き、整数解をすべて求めなさい。
使う道具第4問と同じで、中身をひとかたまりと見る。
各辺に1を足して
整数解は の5個です。
答 。整数解は5個
ひとこと 図のとおり、「1を中心に、左右へ2ずつ」の範囲です。等号がつくので端の点も塗りつぶします。中心と半径で読むと、計算せずに答えが見えます。
第6問
次の問いに答えなさい。
(1) 数直線上で3と7の距離を求めなさい。 (2) 3からの距離が4である点をすべて求めなさい。
使う道具2点 、 の距離は 。
(1)
（ でも同じです。）
(2) を解いて
答 (1) 4 (2)
ひとこと引く順番はどちらでも構いません——絶対値で符号が消えるからです。絶対値を距離として読む習慣がつくと、この単元は一気に楽になります。
第7問
次の循環小数を分数で表しなさい。
(1) (2) (3)
使う道具1桁循環なら9分の、2桁循環なら99分の。
(1)(2)(3)
たしかめ。 と対応しています。
答 (1) (2) (3)
ひとこと循環小数はすべて有理数です（第1問）。だから「小数だから無理数」ではありません。循環するかどうかが分かれ目になります。
第2章 1次不等式
第8問
不等式 を解き、最小の整数解を求めなさい。
使う道具方程式と同じように移項する（正の数で割るときは向きは変わらない）。
整数では5が最小です。
たしかめ なら で成立。 なら で等号になり成立しません。
答 。最小の整数解は5
ひとこと に4は含まれません。だから最小の整数は5。境界の値を必ず代入して確かめる——これが検算の型です。
第9問
次の不等式を解きなさい。
(1) (2)
使う道具負の数で割ると、不等号の向きが変わる。
(1) 両辺を で割って
(2) 両辺を で割って
たしかめ (1)で なら で成立。 なら で等号になり成立しません。
答 (1) (2)
ひとことこの計算で注意するのがここです。負の数で割ったら必ず向きを変える。向きを変え忘れると答えが正反対になるので、代入して確かめてください。
第10問
不等式 を解きなさい。
使う道具分母をはらってから解く。両辺に6（正の数）をかけるので向きは変わりません。
たしかめ なら 、 で 。成り立ちます。
答
ひとことかける数が正なら向きはそのままです。分母をはらうときにかけるのは分母の最小公倍数で、これは正の数。向きが変わるのは負の数のときだけと徹底してください。
第11問
連立不等式 を解き、整数解をすべて求めなさい。
使う道具それぞれ解いて、共通部分をとる。
共通部分は
整数解は3と4の2個です。
答 。整数解は3と4
ひとこと 図の上の帯がこの範囲です。「かつ」なので重なった部分だけ。数直線に2本引いて重なりを見るのが確実です。両端は含まれないので白丸になります。
第12問
次の範囲にある整数の個数を求めなさい。
(1) (2) (3)
使う道具実際に書き出す。
(1) の2個
(2) の4個
(3) の5個
答 (1) 2個 (2) 4個 (3) 5個
ひとこと等号があるかないかで個数が変わります。(3)は と計算できますが、0を数え忘れるミスが多いので、迷ったら書き出してください。
第13問
1個80円のみかんと、150円のかごを1つ買います。代金を1000円以内にするとき、みかんは最大で何個買えますか。
使う道具不等式を立ててから、整数で考える。
みかんを 個とすると
は整数なので最大10個。
たしかめ 10個なら 円で1000円以内。11個なら 円で超えます。
答 10個
ひとこと10.625個は買えません。個数は整数なので切り捨てます。最後に必ず「その個数で本当に足りるか」を確かめてください。
第14問
次の不等式を解きなさい。
(1) (2)
使う道具 が消えたら、残った式の真偽で判断する。
(1) 両辺から を引くと 。これは成り立たないので解なし。
(2) 同じく 。これはつねに成り立つのですべての実数が解。
答 (1) 解なし (2) すべての実数
ひとこと が消えても慌てないでください。残った式が正しければ全部が解、正しくなければ解なし。「0=0 型」と同じ考え方です。
負の数で割ると不等号はなぜ逆？｜向きと端点の確認・翌日追試
不等式で答えが逆向きになるときは、「移項」と「負の数で割る」を同じ操作として覚えていないかを確かめます。高校数学Ⅰの数強塾オリジナル問題です。式変形・数直線・元の式への代入をつなぎ、説明の直後と後日の結果を分けて残します。
1．まず自力で解く
5−2x < 11
解の範囲を求め、不等号の向きが変わる行に印を付けてください。境界の値を含むかも答えます。
解答と数直線を見る
両辺から5を引くと −2x < 6。この操作では向きは変わりません。次に両辺を−2で割るので、不等号を逆にして x > −3 です。
x＝−3を元の式に入れると11 < 11で成り立たないため、−3は含みません。x＝0なら5 < 11で成り立ち、x＝−4なら13 < 11で成り立ちません。
この代入は向きや端点の誤りを見つける確認です。二つの値が合っただけで範囲全体を証明したことにはなりません。解全体は、同値な式変形から求めています。
2．向きが逆になる理由を説明する
2 < 5の両方に−1を掛けると、−2 > −5になります。数直線を0について左右反転すると、大小の順番も反対になります。一般にa < bならb−aは正で、負の数cを掛けたc(b−a)は負です。つまりcb−ca < 0なので、ca > cbです。負の数で割るのは負の逆数を掛けることなので、同じ理由で向きが逆になります。
- −2x < 6からx < −3とした → 割った数−2を囲み、2 < 5の例で向きを確認する。
- 5を移項する時点で向きを変えた →「両辺から同じ5を引いた」と書き直す。
- x≧−3とした → 元の記号に等号がないことと、境界を代入した結果を照合する。
3．翌日以降：向きも端点も変わる問題
前の解答を閉じて、次を解いてください。
3−4x ≧ 15
解の範囲、向きが変わる操作、境界を含む理由を書き、x＝−4とx＝0で検算します。
翌日追試の解答
両辺から3を引いて −4x ≧ 12。−4で割ると向きが逆になり、x ≦ −3です。x＝−3で15 ≧ 15が成り立つため、端点を含みます。
x＝−4なら19 ≧ 15で正しく、x＝0なら3 ≧ 15となり誤りです。初問の「右向き・白丸」を覚えるのではなく、今回の式と等号の有無から判断してください。
4．発展：文字で割る前に符号を確認
ax < 6を、aの値が分からないままx < 6/aと書いてよいですか。
符号と0の場合を分ける
そのままでは書けません。a > 0ならx < 6/a、a < 0ならx > 6/a。a＝0なら元の式は0 < 6なので、すべての実数xが解です。0で割る式は作れません。
5．学習記録で、直した理由を残す
初回の誤った行、指導で使った問い、直後に説明できた操作、後日の答案・端点・ヒントの有無を日付とともに記録します。「符号を間違えた」で終えず、「負の数で割る行」「境界に等号を含めるか」のように次に確かめる点を具体化してください。
この追加節と今回の説明修正はAIを用いて作成し、藤原進之介・数学担当講師による個別確認は未実施です。公式講師紹介は本教材の個別監修を示すものではありません。問題・数直線・指導例は数強塾独自の教材です。数直線の範囲は式変形と代入で検算しています。
第3章 応用
第15問
次の不等式を解きなさい。
(1) (2)
使う道具中身をひとかたまりと見て、第4問の形にする。
(1)
各辺に1を足して 、2で割って
(2) または なので
答 (1) (2)
ひとこと (1)は と書き直せるので、中心 、半径 の範囲です。図の下の帯がこれにあたります。
第16問
不等式 をみたす整数がちょうど5個であるとき、整数 の値を求めなさい。
使う道具小さいほうから順に整数を並べる。
をみたす整数は 。5個目は6なので
たしかめ なら の5個。 なら4個、 なら6個になります。
答
ひとこと が整数と指定されているので値が1つに決まります。もし実数なら が答えになります。条件をよく読むことが決め手です。
第17問
不等式 について、次の問いに答えなさい。
(1) は解に含まれますか。 (2) この範囲の幅（長さ）を求めなさい。
使う道具等号の有無を確認する。
(1) なので は含まれません（数直線では白丸）。
(2)
答 (1) 含まれない (2) 3
ひとこと幅は等号の有無に関係なく同じ（3）ですが、含まれる整数の個数は変わります（第12問）。区別して考えてください。
第18問
次の数を小さい順に並べなさい。
使う道具すべて2乗して比べる（どれも正の数なので大小関係は変わりません）。
したがって
答
ひとこと二つの数がともに0以上なら、2乗する前後で大小関係は同じです。0も含みます。負の数を含む場合は、符号を確認してから比較します。例えば−3<−2ですが、2乗すると9>4になります。
第19問
次の数の整数部分を求めなさい。
(1) (2)
使う道具前後の平方数ではさむ。
(1) なので
整数部分は2（小数部分は ）。
(2) なので整数部分は5。
答 (1) 2 (2) 5
ひとこと小数部分は「もとの数 − 整数部分」です。必ず0以上1未満になるので、そこで検算できます。平方数を1から順に思い出すのが最短の手順です。
第20問
次を求めなさい。
(1) を解き、最大の整数解を答えなさい。
(2) を解き、整数解の個数を答えなさい。
使う道具(1)は移項、(2)は中心と半径。
(1)
等号があるので最大の整数解は4。
(2) 4を中心に左右へ3ずつなので
整数解は の5個。
答 (1) 、最大は4 (2) 、5個
ひとこと(1)は等号があるので4が含まれます。第8問（ で最小5）と比べてください。等号の有無で答えが1つずれる——ここが最後まで残る落とし穴です。
解き終えた人へ
20題で使った考え方を4つにまとめます。
- 同じ数の加減など、方程式と共通の操作を使う。負の数を掛けたり割ったりしたら向きを逆にし、解を範囲として読む（第9問）。
- 絶対値は数直線上の距離（第2問〜第6問・第15問）—— は「 を中心に半径 」。
- 右辺が正の基本形では、指定距離より小さい点は内側、大きい点は外側にある。等号・右辺の符号・絶対値が複数ある場合の条件も確認する。
- 整数の端点を含むかどうかで、整数解の個数が変わる（第8問・第12問・第20問）——境界の値を必ず代入して確かめる。
代入は、向き・端点・区間外の候補の誤りを見つける検算です。数点が合っただけでは、解集合全体が正しいと証明したことにはなりません。同値な式変形や、各区間を漏れなく調べた過程と併せて確認してください。
数直線を描く手間を惜しまないことが、この単元では最短の道です。とくに連立不等式と絶対値では、図がそのまま答えになります。
次に解くもの
展開・因数分解・二重根号を含む難問は数と式の特訓道場、2次不等式は2次関数（高1）にあります。
数強塾では、中学受験算数から中高一貫校の数学まで、個別指導を行っています。いま解けなかった問題の場所から立て直します。
同じシリーズで軌跡と領域の特訓道場も公開しています。
同じシリーズで微分の応用の特訓道場も公開しています。
同じシリーズで積分の応用の特訓道場も公開しています。
二重根号のマイナス型と、整数部分・小数部分。どちらも絶対値の考え方がそのまま効きます。
ほかの回をさがす
この回で手が止まったら、同じ単元の「基本」の回が無いかを索引で確かめてください。逆に楽に解けたなら、難問の回か、次の学年の回へ進めます。
- 解法パターン事典（全49単元618型） ── 解けなかった問題の「型」を引く
- 数学の要点辞典（全57単元） ── 公式と定石を単元別に確認する
- 計算の裏技・速算辞典（6部40技） ── 解き方は合うのに時間がかかるとき
仕上げの10題｜第21問〜第30問（オリジナル）
上の20題を解き終えた人のための、もう10題です。章立ては本編と同じ3つ（実数と絶対値／1次不等式／応用）にそろえてあるので、どの章で手が止まったかが、そのまま復習すべき場所になります。
|〇| を外すときは、中身が0以上か負かを必ず確かめる。確かめずに外すと、符号が半分の場合だけ合っている答えになります。
不等式で気をつけるのは1点だけで、負の数を掛けたりで割ったりしたら、不等号の向きを変える。足し算・引き算では向きは変わりません。
そして答えが出たら数直線に描く。連立なら共通部分、絶対値なら区間、整数解なら点の個数。数直線に描けば、答えが正しいかどうかは見ればわかります。
ここで区別しておきたいのは「かつ」と「または」の取りちがえです。|〇| < c はかつ（間）、|〇| > c はまたは（外側）。
第1章（復習） 実数と絶対値
3 − √2 > 0（約 1.586）→ そのまま外す
√2 − 2 < 0（約 −0.586）→ 符号を変えて外す
= (3 − √2) ＋ (2 − √2)
= 5 − 2√2
（5 − 2√2 ≒ 2.1716。1.586 ＋ 0.586 ≒ 2.172 ◯）
よくある誤答両方ともそのまま外して (3−√2) ＋ (√2−2) = 1 とする（負のほうは符号を変える）／√2 と 2 の大小を確かめない
答え 5 − 2√2
x ≧ 3 のとき x − 3
x < 3 のとき 3 − x
(2) 1 ≦ x ≦ 5 では x − 1 ≧ 0 なので |x−1| = x − 1。
1 ≦ x < 3：(3−x) ＋ (x−1) = 2
3 ≦ x ≦ 5：(x−3) ＋ (x−1) = 2x − 4
検算：x = 2 で 1＋1 = 2 ◯、x = 4 で 1＋3 = 4 = 2×4−4 ◯
よくある誤答√((x−3)2) をいつも x − 3 とする（x < 3 では負になってしまう）／(2) で |x−1| も場合分けする（範囲から符号が決まっている）
答え (1) x ≧ 3 なら x−3、x < 3 なら 3−x (2) 1 ≦ x < 3 で 2、3 ≦ x ≦ 5 で 2x−4
= √3 ＋ √2(√3)2 − (√2)2 = √3 ＋ √23 − 2 = √3 ＋ √2
√3 = 1.732…、√2 = 1.414… なので
√3 ＋ √2 = 3.146…
整数部分は 3
（3 < √3＋√2 < 4 を示すには、2乗して 9 < 5＋2√6 < 16、つまり 4 < 2√6 < 11 を見ればよい）
よくある誤答分母の (√3)2 − (√2)2 を √3 − √2 のままにする／√3＋√2 を √5 とする（根号は足し算に分けられない。√5 ≒ 2.236 で値が違う）
答え √3 ＋ √2、整数部分は 3
第2章（復習） 1次不等式
−2x < 8
両辺を −2 で割るので向きが変わる：
x > −4
検算：x = 0 で −7 < 1 ◯、x = −5 で −22 < −24 は成り立たない ◯
よくある誤答−2 で割るときに向きを変えない（割った数の符号を確認する）／x を右に集めて 2x > −8 とすれば向きを変えずに済むのに、わざわざ左に集める
答え x > −4
2つめ：5 ＋ 5 > 2x ＋ 3x → 10 > 5x → x < 2
数直線に描くと、共通部分は
−4 ≦ x < 2
検算：x = 0 は両方を満たす ◯、x = 2 は2つめを満たさない ◯
よくある誤答共通部分ではなく合併をとる／端が入るか入らないかを（≧ か > か）取りちがえる
答え −4 ≦ x < 2
自然数は 1, 2, 3, 4, 5, … なので、ちょうど4個になるのは4 は入って 5 は入らないとき。
つまり 4 ≦ a ＋ 5 < 5
−1 ≦ a < 0
検算：a = −1 なら x ≦ 4 で 1,2,3,4 の4個 ◯。a = 0 なら x ≦ 5 で5個 ×。a = −1.5 なら x ≦ 3.5 で3個 ×
よくある誤答端の a = −1 を入れずに −1 < a < 0 とする（a = −1 でもちょうど4個）／自然数に 0 を含める
答え −1 ≦ a < 0
第3章（復習） 応用
各辺に 2 を足して
−1 < x < 5
（2 からの距離が 3 未満の点、と読んでも同じ）
検算：x = 0 で |−2| = 2 < 3 ◯、x = 5 で 3 < 3 は成り立たない ◯
よくある誤答またはで書いて x < −1 または x > 5 とする（< なら間）／−3 < x − 2 だけ解く
答え −1 < x < 5
前者：2x ≦ −6 → x ≦ −3
後者：2x ≧ 4 → x ≧ 2
よって x ≦ −3 または x ≧ 2
検算：x = −3 で |−5| = 5 ◯、x = 0 で 1 ≧ 5 は成り立たない ◯
よくある誤答かつで書いて「解なし」とする（≧ なら外側で、必ず解がある）／2x ＋ 1 ≦ −5 を 2x ＋ 1 ≧ −5 と書く
答え x ≦ −3 または x ≧ 2
→ 区間と合わせて 0 ≦ x < 1
1 ≦ x < 4：(x−1) ＋ (4−x) = 3。3 ≦ 5 はつねに成り立つ
→ 1 ≦ x < 4 全部
x ≧ 4：(x−1) ＋ (x−4) = 2x − 5 ≦ 5 → x ≦ 5
→ 4 ≦ x ≦ 5
3つを合わせて 0 ≦ x ≦ 5
（「1 までの距離」＋「4 までの距離」が 5 以下、と読んでも同じ）
検算：x = 0 で 1＋4 = 5 ◯、x = 6 で 5＋2 = 7 ×
よくある誤答真ん中の区間で x が消えたときに「解なし」と判断する（つねに成り立つので全部が解）／各区間の答えと区間の共通部分をとらずに合体させる
答え 0 ≦ x ≦ 5
代金は 80(20 − y) ＋ 120y
= 1600 − 80y ＋ 120y = 1600 ＋ 40y
1600 ＋ 40y ≦ 2000
40y ≦ 400 → y ≦ 10
個数なので 0 ≦ y ≦ 20 も必要。
よって最大10個
検算：なし10個なら 80×10 ＋ 120×10 = 2000 ◯。11個なら 80×9 ＋ 120×11 = 2040 ×
よくある誤答なしとりんごの値段を取りちがえる／y ≦ 10 と出たあと、個数が整数であることや 0 以上であることを書かない
答え 最大10個
この10題で確認したこと
- 絶対値を外すときは中身の符号を先に判定する
- √(A2) = |A|（A ではない）
- 与えられた範囲で絶対値の中身の符号が一定なら、その項について追加の場合分けは不要。範囲が中身の0になる点をまたぐなら場合分けする。
- 分母が2項の有理化は符号を変えたものを掛ける
- 根号は足し算に分けられない（√3＋√2 ≠ √5）
- 整数部分は2乗してはさむと示せる
- 負の数で割ったら不等号の向きを変える
- x を係数が正になる側に集めると向きを変えずに済む
- 連立は数直線で共通部分
- 個数を数える問題は数直線に整数を並べる
- 端が入るかどうかは代入して確かめる
- |〇| < c は「間」（かつ）
- |〇| > c は「外側」（または）
- 絶対値が2つなら折れ目で区切る
- 各区間の答えはその区間との共通部分をとる
- 途中で x が消えたら、つねに成り立つか、決して成り立たないか
- 文章題は最後に「整数」「0以上」で仕上げる
8題以上：次の演習へ進む目安です。ヒントなしで理由を説明できるか、後日の別問題でも確認してください。絶対値を含む関数とグラフの特訓道場 へ進んで、グラフで読む練習をしてください。
5〜7題：間違えた章だけを本編の該当章に戻って解き直す。
4題以下：落としているのはたいてい「かつ」と「または」と負で割ったときの向きです（第24・27・28問）。どちらも数直線に描けばその場でわかるので、答えを出したら必ず1本描いてください。同値変形そのものが不安な場合は 同値変形と必要十分｜どの計算操作で「戻れなくなる」のか に一度戻ってください。
- 絶対値を含む関数とグラフの特訓道場｜折れ目で区切る30題。第29問の続き
- 同値変形と必要十分｜どの計算操作で「戻れなくなる」のか｜2乗・分母払いで何が起きるか
- なぜ−5は−2より小さいのか｜不等号の向きの土台
- 数と式の解法パターン全12型｜有理数と無理数・絶対値の型
- 方程式・不等式 完全攻略ロードマップ｜中1から最難関大までの学習地図
- 特訓道場 総索引｜学年・単元から次の道場を選ぶ
数強塾オリジナル 追加演習4題——答えの端で、何が起きているか
確認事項に、こう書かれていました。
整数の端点を含むかどうかで、整数解の個数が変わる——境界の値を必ず代入して確かめる
この追加演習では範囲の端に注目します。等号を含むか、端が整数か、場合分けした区間と計算結果が重なるかを、元の条件に戻って確かめましょう。
この 題は、端だけを扱います。等号が効く場合と効かない場合、そして端が消える場合。
追加第1問（第12問と同型：等号は何個ぶん効くか）
次の範囲にある整数の個数を、それぞれ求めなさい。
(ア) (イ) (ウ) (エ)
(オ) (カ)
解答
数直線に整数を並べて数えます。
| 整数 | 個数 | |
|---|---|---|
| (ア) | ||
| (イ) | ||
| (ウ) | ||
| (エ) | ||
| (オ) | ||
| (カ) |
(ア)〜(エ) では、等号 つにつき個数が ずつ変わりました。
ところが (オ) と (カ) はまったく同じ 個です。
整数解の個数を数えるとき、同じ端点を含めるかどうかが個数に影響するのは、その端点が整数のときです。整数でない端点なら、等号を変えても整数解は増減しません。ただし実数の解集合としては、端点を含むかどうかに違いがあります。「小数表示か」ではなく、整数であるかを見ます。
だから答案では、端の値が整数かどうかを先に見るのが速い。整数でなければ等号の議論は不要です。
逆に端が整数のときは、必ず代入して確かめてください。 を入れて成り立つかどうか——それだけで等号が入るか決まります（なぜ必要条件と十分条件を矢印で考えられるのか）。
追加第2問（第20問と同型：個数から係数を決める）
不等式 を満たす自然数がちょうど 個になるような、定数 の範囲を求めなさい。
解答
まず について解きます。
自然数がちょうど 個ということは、 が入って が入らないということ。
の形なので、境目 は
- より大きい（そうでないと が入らない）
- 以下（そうでないと が入ってしまう）
端を つずつ確かめます。
| 自然数解 | 個数 | ||
|---|---|---|---|
| （少ない） | |||
| （多い） |
は入り、 は入らない。答えの等号の付き方と合っています。
のとき境目はちょうど ですが、不等号が なので 自身は入りません。だから 個のまま。ここが等号の付く理由です。
端の値を代入し、解となる自然数を数え直すと、等号の取り違えを見つけやすくなります。解の範囲全体は、4を含み5を含まないという条件を同値変形して求めています。
答えを出したら、 に端の値と、その少し外側の値を入れて数える。この記事の表がその作業そのものです。
追加第3問（第4問と同型：右辺が 以下のとき）
次の不等式を解きなさい。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
解答
(1) はさみます。
(2) 外に分かれます。
(3)〜(6)では、まず絶対値が0以上であることを使うと、解の有無を直接判断できます。
絶対値は 以上の数です。ここから全部決まります。
- (3) 以上の数が より小さくなることはない → 解なし
- (4) より大きい ⟺ でない → 、つまり のすべての実数
- (5) 以上の数が より小さくなることはない → 解なし
- (6) 以上の数はつねに より大きい → すべての実数
右辺が0以下なら、まず非負性で解集合を確認しましょう。ただし、実数A・cについて「|A|<c ⇔ −c<A<c」「|A|>c ⇔ A<−c または A>c」という同値関係自体は、cが0以下でも成り立ちます。c<0なら前者の区間は空、後者の二つの範囲の和集合は全実数です。「内側・外側」という見た目だけで判断しないことが大切です。
(5)を 1<2x−3<−1 と書き換えること自体は同値です。ただし、同時に満たす実数はないので解なしです。矛盾する条件は「無意味な式」ではなく、空の解集合を表します。
(6)は 2x−3<1 または 2x−3>−1 と同値で、この和集合はすべての実数です。答えが偶然合うのではありません。「または」を「かつ」に変えると異なる条件になるため、接続の言葉を保ちます。
右辺の符号と絶対値の非負性を先に見ると、計算前に解の形を予想できます。式による解法でも、空の共通部分や全実数になる和集合を正しく読んでください。絶対値と距離の関係も確認できます。
追加第4問（第29問と同型：絶対値が つ）
を解きなさい。また、整数解の個数を求めなさい。
解答
折れ目は と 。 つの区間に分けます。
(ア) ：どちらの中身も負なので
区間との共通部分は 。
(イ) ： は負、 は 以上なので
が消えました。これは「つねに成り立つ」という意味なので、区間まるごとが答えに入ります。共通部分は 。
(ウ) ：どちらも 以上なので
共通部分は 。
つを合わせて
整数解は の 個。
端を代入して確かめます。
- ： → 等号で成立（入る）
- ： → 等号で成立（入る）
- ： → 成り立たない（外）
(イ) で が消えて になりました。ここで「解なし」とせず、残った条件がその区間で成り立つかを判断します。正しい式が残ったのだから、その区間は全部答えです。
じつは は「 からの距離」と「 からの距離」の和です。 と のあいだにいるときは、和はつねに （ 点の距離）。だから が消えたのです。
この見方をすると、答えも図で出せます。 点からの距離の和が 以下になる範囲なので、はみ出せるのは両側に ずつ。
場合分けせずに答えが出ました（なぜ絶対値を含む式では場合分けが必要なのか）。
端で起きる4つのこと
| 場面 | 端で起きること | 確かめ方 |
|---|---|---|
| 整数解を数える | 端が整数なら等号が 個ぶん効く | 端の値を代入 |
| 個数から係数を決める | 境目に等号が付くか決まる | 端と外側で数え直す |
| 絶対値の右辺が 以下 | 非負性で解集合を確認する | 絶対値は 以上、に戻る |
| 場合分けで が消える | その区間は全部入るか全部外れる | 残った式が正しいかを見る |
本編の締めは「範囲の中の数と外の数を つずつ代入してください」でした。この記事は、その「外の数」を端のすぐ外にとることを勧めます。
を入れても、等号の見落としは見つかりません。 と のように、端をまたぐ 点を選んでください。
数直線を描くのは、その 点を選ぶためでもあります。図があれば、どこが端かが一目で分かる——それがこの単元で図を描く本当の理由です（なぜ領域は不等式で表せるのか）。
次に読むもの
- なぜ絶対値は「距離」と考えられるのか——追加第3問・第4問の土台
- なぜ絶対値を含む式では場合分けが必要なのか——折れ目で区切る理由
- なぜ√4は2なのに「4の平方根」は±2なのか—— の背景
- なぜ必要条件と十分条件を矢印で考えられるのか——範囲の包含を言葉にする
- なぜ負の数が必要なのか——数直線という道具のはじまり
次の段階は絶対値を含む関数とグラフの特訓道場、変形の話は同値変形と必要十分へ。ほかの疑問はなぜ？数学辞典から引けます。
この単元を、章ぜんぶで確かめる
この道場は1つの技能を反復して固めるためのページです。一通りできるようになったら、章の内容がひととおり混ざった状態で解いてみてください。そこで初めて「どこが弱いか」が見えます。
体系数学1 代数編 第4章「不等式」 章末テスト（全20問・100点） ── 連立不等式と、代金・平均点・速さの文章題まで。採点したあと、どこに戻ればよいかもページの最後に書いてあります。
絶対値を距離へ戻し、場合分けから単位円へ渡す
絶対値の式を見た瞬間に機械的な場合分けを始めると、境界の重複や符号の取り違えが起こります。三角関数へ入った後に同じやり方を続けると、今度は \(-1\leqq\sin\theta\leqq1\) という値域や、同じ三角比を持つ二つの角を落とします。この講座では、絶対値を数直線上の距離として読む、符号が変わる点で場合を分ける、得られた値の範囲を単位円上の弧へ戻す、という一本の橋を作ります。既存の30題演習を反復せず、一つの新作問題を三段階で深く使います。
到達目標
- \(\lvert ax+b\rvert\)を、点 \(x\) と基準点 \(-b/a\) の距離の定数倍として説明できる。
- 絶対値の中身が0になる点を境界表へ書き、区間の漏れや重複なく場合分けできる。
- 両辺が非負であることを確認した上で、二乗を同値変形として利用できる。
- \(\sin\theta\) や \((\cos\theta,\sin\theta)\) へ置き換えた後、値域との共通部分を取り、単位円上の弧として角度へ戻せる。
前提診断｜同じ二乗でも「同値」かを確認する
| 形 | 二乗前に必要な確認 | 安全な進め方 |
|---|---|---|
| \(\lvert A\rvert\leqq\lvert B\rvert\) | 両辺は常に非負 | \(A^2\leqq B^2\) と同値 |
| \(\lvert A\rvert\leqq B\) | \(B\geqq0\) が必要 | \(B\geqq0\) と \(-B\leqq A\leqq B\) を同時に課す |
| \(\lvert A\rvert=B\) | \(B\geqq0\) が必要 | \(A=B\) または \(A=-B\)、かつ \(B\geqq0\) |
| \(\sin\theta=u\) | \(-1\leqq u\leqq1\) | 値域を確認してから単位円で角を列挙 |
代数解はまだ角度の答えではありません。 \(u\) の不等式を解いた後に \(u=\sin\theta\) と戻すなら、まず \([-1,1]\) との共通部分を取ります。その後、円周上で条件を満たす弧を読みます。
距離・場合分け・単位円の三段台帳
| 段階 | 記録するもの | 検算の問い |
|---|---|---|
| 距離 | 基準点または基準直線と倍率 | 絶対値を外しても意味が保たれるか |
| 場合分け | 中身が0になる境界と各区間の符号 | 境界を一度だけ含めたか |
| 単位円 | 座標の許容範囲と対応する弧 | 値域・象限・端点をすべて確認したか |
数強塾オリジナル・完全新作例題｜一つの不等式を実数から角度へ運ぶ
- 実数 \(u\) について、\(\lvert3u-2\rvert\leqq\lvert u+4\rvert\) を解いてください。距離としての意味と場合分けの境界も説明してください。
- \(0\leqq\theta<2\pi\) において、\(\lvert3\sin\theta-2\rvert\leqq\lvert\sin\theta+4\rvert\) を解いてください。
- 同じ角度範囲で、\(\lvert2\sin\theta-1\rvert\leqq\lvert\cos\theta\rvert\) を解いてください。点 \(P=(\cos\theta,\sin\theta)\) と二本の基準直線を使い、図形的な意味も説明してください。
- 問3で等号が成立する単位円上の点をすべて求めてください。
段階ヒント
ヒント1｜問1の絶対値を距離へ直す
\(\lvert3u-2\rvert=3\lvert u-2/3\rvert\)、\(\lvert u+4\rvert=\lvert u-(-4)\rvert\)です。符号が変わる境界は \(-4\) と \(2/3\) です。
ヒント2｜問2では値域との共通部分を取る
問1の解へ \(u=\sin\theta\) を代入しただけでは終わりません。実際に \(\sin\theta\) が取れる範囲 \([-1,1]\) を重ねます。
ヒント3｜問3は両辺を二乗できる
両辺が絶対値なので非負です。\(x=\cos\theta\)、\(y=\sin\theta\) と置き、\(x^2+y^2=1\) を使います。
ヒント4｜数の範囲を円弧へ戻す
\(0\leqq y\leqq4/5\) は、単位円の上半分すべてではありません。水平線 \(y=4/5\) より上の短い弧を除き、端点を含めます。
完全解答1｜距離を読み、境界で符号を固定する
問1の左辺は、数直線上の点 \(u\) と \(2/3\) の距離を3倍したものです。右辺は \(u\) と \(-4\) の距離です。したがって「\(2/3\) までの距離の3倍が、\(-4\) までの距離以下」という領域を求めています。
境界 \(-4,2/3\) で三つの区間に分けると、次の台帳になります。
| \(u\) の範囲 | \(\lvert3u-2\rvert\) | \(\lvert u+4\rvert\) | 得られる条件 | 採用 |
|---|---|---|---|---|
| \(u<-4\) | \(2-3u\) | \(-u-4\) | \(u\geqq3\) | 区間と矛盾 |
| \(-4\leqq u<2/3\) | \(2-3u\) | \(u+4\) | \(u\geqq-1/2\) | \([-1/2,2/3)\) |
| \(u\geqq2/3\) | \(3u-2\) | \(u+4\) | \(u\leqq3\) | \([2/3,3]\) |
三つの採用部分を合わせて、
-\frac12\leqq u\leqq3
\]
です。境界 \(u=2/3\) は左右どちらへ入れても式の値は連続ですが、台帳では一方だけへ入れると重複を防げます。
完全解答2｜二乗による別解で問1を監査する
問1は両辺が絶対値なので、二乗しても同値です。
\begin{aligned}
(3u-2)^2&\leqq(u+4)^2\\
\bigl((3u-2)-(u+4)\bigr)
\bigl((3u-2)+(u+4)\bigr)&\leqq0\\
(2u-6)(4u+2)&\leqq0.
\end{aligned}
\]
よって \((u-3)(2u+1)\leqq0\) となり、\(-1/2\leqq u\leqq3\) を得ます。場合分けと因数分解が同じ範囲を返したため、符号表の計算を独立に確認できました。
完全解答3｜実数解を \(\sin\theta\) の値域へ戻す
問2では \(u=\sin\theta\) と置くと、問1から \(-1/2\leqq u\leqq3\) です。しかし \(\sin\theta\) は \(-1\leqq u\leqq1\) しか取りません。二つの範囲の共通部分は
-\frac12\leqq\sin\theta\leqq1,
\]
すなわち \(\sin\theta\geqq-1/2\) です。単位円で高さが \(-1/2\) 以上の弧を読み、\(0\leqq\theta<2\pi\) に戻すと、
\boxed{\,0\leqq\theta\leqq\frac{7\pi}{6}\,}
\quad\text{または}\quad
\boxed{\,\frac{11\pi}{6}\leqq\theta<2\pi\,}.
\]
\(7\pi/6\) と \(11\pi/6\) は等号を満たすため含めます。一方、問題の右端 \(2\pi\) は角度範囲に含まれないので、最後だけ不等号が異なります。
完全解答4｜二つの座標を単位円の距離条件へ変える
問3で \(P=(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)\) とします。左辺は
\lvert2y-1\rvert=2\left\lvert y-\frac12\right\rvert
\]
なので、点Pから水平線 \(y=1/2\) までの距離の2倍です。右辺 \(\lvert x\rvert\) は、点Pから \(y\) 軸までの距離です。したがって問3は、「水平線までの距離の2倍が、\(y\) 軸までの距離以下」となる単位円上の点を探す問題です。
場合分けを明示するなら、右半円 \(x\geqq0\) では
-x\leqq2y-1\leqq x,
\]
左半円 \(x<0\) では
x\leqq2y-1\leqq-x
\]
です。これは二本ずつの直線に挟まれた領域を表します。左右の式は鏡映で対応しています。
計算では、両辺が非負なので二乗します。単位円の式 \(x^2+y^2=1\) を使うと、
\begin{aligned}
(2y-1)^2&\leqq x^2=1-y^2\\
5y^2-4y&\leqq0\\
y(5y-4)&\leqq0.
\end{aligned}
\]
したがって \(0\leqq y\leqq4/5\)、つまり
0\leqq\sin\theta\leqq\frac45.
\]
\(\alpha=\arcsin(4/5)\) を \(0<\alpha<\pi/2\) の角とすると、単位円上の解は
\boxed{\,0\leqq\theta\leqq\alpha\,}
\quad\text{または}\quad
\boxed{\,\pi-\alpha\leqq\theta\leqq\pi\,}.
\]
等号点は \(y=0\) または \(y=4/5\) です。単位円との交点を求めると、
(x,y)=(1,0),\ (-1,0),\ \left(\frac35,\frac45\right),\ \left(-\frac35,\frac45\right)
\]
の4点です。元の式へ戻すと、例えば \((3/5,4/5)\) では左辺も右辺も \(3/5\) になり、確かに境界上です。
誤答分析
絶対値の境界を解の端点だと思う
\(-4\) と \(2/3\) は式の形が変わる点です。実際の解の端点 \(-1/2,3\) とは役割が異なります。
問2で \(-1/2\leqq\sin\theta\leqq3\) のまま終える
上端3は三角関数の値域外です。\([-1,1]\)との共通部分を取ってから角へ戻します。
\(\sin\theta=-1/2\) の角を一つだけ書く
単位円の同じ高さには通常二点あります。第3象限と第4象限の両方を確認します。
問3で絶対値をそのまま外す
\(x\) と \(2y-1\) の符号は円周上で変わります。二乗の非負性を使うか、半円ごとの台帳を作ります。
\(\lvert A\rvert\leqq B\)も無条件に二乗する
右辺Bが負なら元の不等式は成立しません。絶対値どうしの問1・問3とは前提が違います。
\(2\pi\)を問2の答えへ含める
値は条件を満たしても、指定範囲が \(0\leqq\theta<2\pi\) なので右端は除きます。
独立検算｜代表点・因数分解・円周走査を照合する
- 問1で \(u=-1/2,3\) を代入すると両辺が等しくなります。区間内の \(u=0\) は成立し、外側の \(u=-1,4\) は不成立なので、端点の向きも確認できます。
- 問1の三分割と二乗後の因数分解が、ともに \([-1/2,3]\) を返します。異なる手順で同じ集合を得ました。
- 問2の解の弧では \(\sin\theta\geqq-1/2\)、除外した開区間 \((7\pi/6,11\pi/6)\) では \(\sin\theta<-1/2\) です。円周の全域が二つに分かれます。
- 問3の代表点 \(\theta=\pi/2\) では左辺1、右辺0で不成立、\(\theta=0,\pi\) では両辺1で成立します。上側の短い弧だけが除かれる結論と一致します。
- \((\cos\theta,\sin\theta)\) を十分細かく円周走査し、元の不等式と \(0\leqq\sin\theta\leqq4/5\) の真偽を比較すると、境界を含め全点で一致します。
練習
- 実数 \(u\) について、\(\lvert2u-1\rvert>\lvert u+2\rvert\) を解いてください。
- \(0\leqq\theta<2\pi\) で、\(\lvert2\cos\theta-1\rvert>\lvert\cos\theta+2\rvert\) を解いてください。
- 同じ角度範囲で、\(\lvert\sin\theta+1\rvert\leqq2\lvert\cos\theta\rvert\) を解いてください。
- \(\lvert x-1\rvert\leqq x-2\) を、右辺の符号を確認してから解いてください。二乗だけを先に行う危険も説明してください。
練習の答え
1. 二乗して \((u-3)(3u+1)>0\) なので、\(u<-1/3\) または \(u>3\) です。
2. \(u=\cos\theta\in[-1,1]\) と重ねると \(\cos\theta<-1/3\) です。\(\beta=\arccos(-1/3)\) とすれば、\(\beta<\theta<2\pi-\beta\) です。
3. \(\sin\theta+1\geqq0\) なので二乗でき、\(5\sin^2\theta+2\sin\theta-3\leqq0\) から \(-1\leqq\sin\theta\leqq3/5\) です。\(\gamma=\arcsin(3/5)\) とすれば、\(0\leqq\theta\leqq\gamma\) または \(\pi-\gamma\leqq\theta<2\pi\) です。
4. 右辺が非負である必要から \(x\geqq2\) です。一方、二乗後は \(x\leqq3/2\) となり共通部分がないため解なしです。符号条件を落として二乗だけを採用すると、存在しない候補を残します。
東大水準への橋渡し｜絶対値領域と円の交点個数をパラメータで管理する
\(a\geqq0\) とし、
\lvert2\sin\theta-1\rvert=a\lvert\cos\theta\rvert
\]
を考えます。両辺が非負なので二乗は同値です。\(s=\sin\theta\) と置くと、
(4+a^2)s^2-4s+(1-a^2)=0.
\]
\(a>0\) のとき二根は
s_{\pm}=\frac{2\pm a\sqrt{a^2+3}}{a^2+4}.
\]
どちらも \(-1<s_{\pm}<1\) に入り、互いに異なるため、各高さが単位円と2点で交わり、角は合計4個です。\(a=0\) では二根が \(s=1/2\) に重なり、角は2個です。ここでは判別式が非負というだけで終わらず、根が三角関数の値域へ入るか、重解か、各高さが円と何点で交わるかまで段階的に判定しています。
より一般に、絶対値を含む三角方程式の解の個数は「平面上の直線・帯・円すい状領域」と「単位円」の交点個数として読めます。式の変形、変数の値域、図形の交点という三つの検査を別々に持つことが、パラメータ付き難問で候補を落とさない設計になります。
次の学習へ
絶対値と一次不等式の基礎演習へ戻るなら1次不等式と絶対値の特訓道場へ、変形が同値かをさらに厳密に学ぶなら同値変形の判断講座へ進んでください。単位円と三角方程式を体系化する場合は三角関数の単元解説が次の橋になります。
企画・構成・例題・解答・検算：数強塾編集部。文章・数値・図・解説順を独立に制作したオリジナル教材です。教材版 6474659d5ce766f6
絶対値の折れ点を全数走査する｜傾き更新で方程式・不等式を一度に解く
絶対値が一つなら二場合、二つなら区間分けで処理できます。しかし項が増えるたびに全ての符号組を列挙すると、存在しない組まで調べることになります。必要なのは、絶対値の中身が0になる折れ点を数直線上に並べ、左から右へ傾きを更新することです。この章では、重み付き絶対値和を一つの凸折れ線として読み、最小値・方程式・不等式の解集合を同じ台帳で求めます。
数強塾オリジナル教材：以下の折れ点、重み、定数、例題、演習、傾き台帳、検算順は新規に設計しました。既存の絶対値の定義、基本場合分け、距離解釈、単位円への接続は再説明しません。
到達目標
折れ点を昇順に並べ、初期傾きと \(2w_i\) の更新だけで全区間を走査し、最小値・レベル方程式・不等式の解集合を一つの台帳から復元できることを目標にします。平方化するときは右辺非負条件も同時に保存します。
折れ点走査の原理
正の重み \(w_i\) と実数 \(a_i\) に対し、
F(x)=\sum_{i=1}^{n}w_i|x-a_i|
\]
を考えます。折れ点 \(a_i\) を小さい順に並べると、各開区間では \(F\) は一次関数です。最も左では全ての \(x-a_i\) が負なので傾きは
-\sum_iw_i.
\]
折れ点 \(a_i\) を左から右へ横切ると、その項の傾きは \(-w_i\) から \(+w_i\) へ変わるため、全体の傾きは \(2w_i\) だけ増えます。同じ折れ点が複数あるなら重みをまとめます。
| 操作 | 記録するもの | 目的 |
|---|---|---|
| 折れ点を昇順化 | \(a_1\leqq\cdots\leqq a_n\) | 実在する符号区間だけを作る |
| 一点で値を計算 | 各折れ点での \(F(a_i)\) | 一次式の切片を毎回展開しない |
| 初期傾き | \(-\sum w_i\) | 最左区間から走査を始める |
| 傾き更新 | 折れ点ごとに \(+2w_i\) | 減少・最小・増加を判定する |
| レベル比較 | \(F(x)=c\) または \(F(x)\leqq c\) | 各区間との交点と端点を回収する |
場合分けは符号の全組合せではありません。 実数 \(x\) が折れ点を通過する順序は一つに決まります。たとえば \(a<b\) なら、\(x-a<0\) かつ \(x-b>0\) という符号組は実現しません。数直線上の区間だけを調べれば十分です。
数強塾オリジナル例題｜三つの折れ点を傾きで走査する
関数
F(x)=|x+3|+2|x-1|+|x-4|
\]
について、次を求めてください。
- \(F\) の最小値と、その値を取る \(x\)。
- 不等式 \(F(x)\leqq11\) の解集合。
- 方程式 \(F(x)=15\) の全ての解。
3段階ヒント
- 折れ点は \(-3,1,4\)、重みは順に \(1,2,1\) です。
- 最左の傾きは \(-4\)。折れ点を越えるたび \(2,4,2\) を加えます。
- 折れ点での値は \(F(-3)=15,\ F(1)=7,\ F(4)=13\) です。
傾き台帳を作る
| 区間 | 傾き | 一次式 | 範囲内の動き |
|---|---|---|---|
| \(x<-3\) | \(-4\) | \(F=3-4x\) | 右へ進むと減少 |
| \(-3\leqq x<1\) | \(-2\) | \(F=9-2x\) | さらに減少 |
| \(1\leqq x<4\) | \(2\) | \(F=2x+5\) | 増加 |
| \(4\leqq x\) | \(4\) | \(F=4x-3\) | さらに増加 |
傾きは \(-4,-2,2,4\) と単調に増えます。これは \(F\) が凸であることの具体的な証拠です。傾きが負から正へ変わる折れ点 \(x=1\) で最小になります。
問1｜最小値
\(F(1)=4+0+3=7\) なので、
\boxed{\min F=7,\qquad x=1}.
\]
傾き0の区間がないため、最小点は一つだけです。
問2｜レベル11以下の部分を切り取る
最小点の左側 \([-3,1]\) では \(F=9-2x\) なので、
9-2x\leqq11
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\geqq-1.
\]
よって左側から \([-1,1]\) を得ます。右側 \([1,4]\) では \(F=2x+5\) なので、
2x+5\leqq11
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\leqq3.
\]
よって右側から \([1,3]\) を得ます。外側二区間では折れ点で既に \(F(-3)=15\)、\(F(4)=13\) であり、さらに外へ行くと増えるため解はありません。したがって
\boxed{-1\leqq x\leqq3}.
\]
問3｜レベル15との全交点
左側では折れ点 \(x=-3\) で \(F=15\) です。右外側では \(F=4x-3\) なので、
4x-3=15
\quad\Longleftrightarrow\quad
x=\frac92.
\]
\(9/2\geqq4\) なので区間条件も満たします。他の二区間の一次方程式から得る値は区間外です。よって
\boxed{x=-3,\ \frac92}.
\]
独立検算｜距離の重み付き中央値
総重みは4です。点1の左側には重み1、右側には重み1、点1自身に重み2があります。左右どちらの重みも総重みの半分2を超えないため、1は重み付き中央値であり、絶対値和を最小にします。また \(F\) は凸なので、部分レベル集合 \(\{x:F(x)\leqq11\}\) は区間になります。得た \([-1,3]\) はこの形とも一致します。
平方化を同値変形にする条件
絶対値を平方してよいのは、右辺の符号を管理したときだけです。
|A|\leqq B
\quad\Longleftrightarrow\quad
B\geqq0\ \text{かつ}\ A^2\leqq B^2.
\]
たとえば
|2x-1|\leqq x+2
\]
では、まず \(x+2\geqq0\) が必要です。その上で平方すると、
(2x-1)^2\leqq(x+2)^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
(x-3)(3x+1)\leqq0.
\]
よって \(-1/3\leqq x\leqq3\)。この区間は \(x\geqq-2\) も満たすため、答えは
\boxed{-\frac13\leqq x\leqq3}.
\]
右辺非負を後付けしない：右辺が負の点では、二乗後の不等式が真でも元の \(|A|\leqq B\) は必ず偽です。平方する前に非負条件を別行で置きます。
一般の最小点｜重み付き中央値
\(\sum w_i|x-a_i|\) の最小点は、左右どちら側の総重みも全体の半分を超えない点です。傾きが負から正へ飛ぶ折れ点なら最小点は一点、傾きが0のまま続く区間があればその区間全体が最小になります。
| 傾きの変化 | 最小点 | 方程式 \(F=c\) の個数の基本形 |
|---|---|---|
| 負から正へ直接変化 | 一つの折れ点 | 最小値で1個、それより上で通常2個 |
| 負から0、後に正 | 傾き0の閉区間 | 最小値で無数、それより上で通常2個 |
| 重み0や同一点を未整理 | 判定が冗長 | 同じ折れ点の重みを先に合算する |
練習問題
- 例題の \(F\) について \(F(x)=9\) を解け。
- 例題の \(F\) について、方程式 \(F(x)=c\) の実数解の個数を \(c\) で分類せよ。
- \(G(x)=|x+2|+3|x-1|\) の最小値と最小点を求めよ。
- \(|3x+2|\leqq2x+7\) を解け。
- \(|x-2|+|x+2|\leqq6\) を、折れ点走査と距離解釈の二通りで解け。
解答
- 左側 \(9-2x=9\) から \(x=0\)、右側 \(2x+5=9\) から \(x=2\)。ともに区間内なので \(\boxed{x=0,2}\)。
- \(c<7\) で0個、\(c=7\) で1個、\(c>7\) で2個。\(F\) は1まで狭義減少、1から狭義増加し、両端で無限大へ向かう。
- 総重み4のうち点1に重み3があるため最小点は \(x=1\)。最小値は \(3\)。
- 右辺条件 \(2x+7\geqq0\)。平方後は \((3x+2)^2\leqq(2x+7)^2\)、すなわち \((x-5)(5x+9)\leqq0\)。右辺条件も満たすので \(\boxed{-9/5\leqq x\leqq5}\)。
- 折れ点は \(-2,2\)。中央では値4、外側で傾き \(\pm2\)。レベル6との交点は \(-3,3\) なので \(\boxed{-3\leqq x\leqq3}\)。距離解釈では、点 \(-2,2\) までの距離和が6以下となる区間。
提出前チェックリスト
- 折れ点を昇順に並べ、同一点の重みをまとめた。
- 最左傾きから \(2w_i\) ずつ更新した。
- 各一次方程式の解が、その区間に本当に入るか確認した。
- 不等式の端点で等号が成立するか確認した。
- 平方化の前に右辺非負条件を置いた。
誤答分析｜符号組ではなく数直線の故障を探す
区間外の解を採用した答案は「担当区間」、最小点を落とした答案は「傾き更新」、端点を開いてしまった答案は「等号」、二乗後に余分な解が入った答案は「右辺非負」が欠けています。折れ点表のどの列が壊れたかを特定すれば、全展開をやり直さず修正できます。
東大水準への橋渡し｜凸性と劣勾配で一般化する
折れ点で通常の導関数がなくても、左傾きと右傾きの間に0が入れば最小です。これは劣勾配の考え方です。重み付き中央値、絶対偏差最小化、区分線形最適化は同じ構造をもち、一次元の傾き走査が高次元凸最適化の入口になります。
関連学習
二次不等式の符号表と端点管理は二次不等式の完全整理、絶対値条件を命題の真理集合として読むには集合と命題、文字を含む最大最小の全体像は文字を含む二次関数の最大最小へ進んでください。
企画・構成・例題・解答・検算：数強塾編集部。文章・数値・図・解説順を独立に制作したオリジナル教材です。教材版 cb7b181ca32039a1
つまずきをほどくミニ対話：絶対値の方程式・不等式は「何から何歩」で解ける
|x−2|は、数直線の座標2から座標xまでの距離です。距離が3ちょうどなら二つの点、3未満ならその間、3より大きいなら外側になります。縦棒を外す前に、待ち合わせ場所から何歩まで離れてよいかと読み替えてみましょう。
ハル： |x−2|=3を見ると、x−2=3にしてx=5。ここまではできるのに、いつも答えが一つ足りない。
先生： 2の場所から右に3進めば5だね。左に3進んだ場所は？
アオイ： −1。|−1−2|=|−3|=3だから、こっちも合っている。
先生： 距離は向きを忘れるので、同じ距離の場所が左右にある。式で書けばx−2=3またはx−2=−3、つまりx=5または−1だよ。
30秒セルフチェック
図や式のどこを見るかを意識して、次の一問を解いてみます。
問い： |x+1|≦2 の結果は？
答え： −3≦x≦1。理由：中心−1から距離2以内。
最初の |x−2|=3 の解は、x=2±3とまとめてもかまいません。直前の |x+1|≦2 の解は区間−3≦x≦1です。ただし±を絶対値の値に付けているわけではありません。絶対値は3で一つ、その絶対値になる中身が3と−3の二つです。数と場所の役割を分けると、符号が増える理由を説明できます。
※ハル、アオイ、先生は理解を助けるための架空の登場人物です。
要点辞典この単元の公式・定石・つまずきやすい所は 数学I・Aの要点辞典：数と式 にまとめてあります。
