初等幾何の定理一覧｜ヘロンの公式からモーリーの定理まで【数強塾】
三角形・四角形・円にひそむ「美しい定理」を、証明と具体例つきで1定理1記事で解説します。ヘロンの公式やトレミーの定理といった教科書の延長にあるものから、オイラー線・九点円・モーリーの定理まで、全26本をテーマ別に整理しました。大学入試の図形問題を解くときの背景知識としても役立ちます。一つずつ、図をながめながら読み進めてみてください。
監修・執筆：数強塾代表 藤原進之介
ここで扱う定理は、大きく「面積・長さの公式系」「三角形の五心・中心系」「共線・共点・射影系」「四角形・立体・その他」の4つに分けられます。同じ図形でも、面積を求めたいのか、中心の位置を知りたいのか、点や線のそろい方に注目したいのかで、使う定理はまったく変わります。まずは気になるテーマのカードから読み始めて、慣れてきたら関連する定理へと横に広げていくのがおすすめです。証明で使う道具（余弦定理・相似・ベクトル・複素数など）は、そのまま入試の主要分野と重なります。
各記事は8月5日から8月30日にかけて順次公開します。カードのリンクは公開日から有効になります。
面積・長さの公式系
3辺の長さや4辺、あるいは座標だけから、図形の面積や線分の長さをずばり計算するための公式を集めました。高さを求めなくても面積が出せたり、格子点を数えるだけで面積が分かったりと、計算の手数を大きく減らしてくれる道具ばかりです。
三角形の五心・中心系
重心・外心・内心・垂心・傍心といったおなじみの中心を超えて、三角形に潜むふしぎな点や円をたどります。別々に定義した点が一直線に並んだり、9つの点が同じ円周に乗ったりと、初等幾何ならではの「そろう」美しさが味わえる分野です。
三角形の五心で、外心・内心・重心・垂心・傍心の定義と位置を先に比較できます。
共線・共点・射影系
「3つの点が一直線に並ぶ（共線）」「3本の直線が1点で交わる（共点）」という主張が主役のグループです。射影幾何の考え方につながる名定理が多く、一見バラバラな点や線が実は深いところでつながっていることを教えてくれます。
四角形・立体・その他
四角形にまつわる性質を中心に、3次元の立体や補助線の難問まで、これまでの分類に収まりきらない名場面を集めました。中点を結ぶと現れる平行四辺形や、三平方の定理の立体版など、意外な広がりを持つテーマが並びます。
よくある質問
Q. 初等幾何の定理は大学入試に出ますか？
A. 定理そのものの名前が問われることは多くありませんが、トレミーの定理・中線定理（スチュワートの定理）・オイラー線などの背景を知っていると、図形問題の見通しが良くなります。誘導を先読みできたり、検算に使えたりと、答案づくりの土台になる知識です。
Q. 証明は暗記するべきですか？
A. 丸暗記よりも、一度は自分の手で証明を追いかけることをおすすめします。余弦定理・相似・ベクトル・複素数など、証明に使う道具は入試頻出の分野そのものです。証明の流れを理解しておくと、公式を忘れても現場で組み立て直せます。
Q. どの定理から読むとよいですか？
A. まずはヘロンの公式やトレミーの定理など、教科書の延長で使える公式系から入るのがおすすめです。そのうえで、オイラー線や九点円といった三角形の中心の話題に進むと、図形の奥深さを一気に味わえます。
Q. シムソン線やパスカルの定理のような射影幾何は高校範囲ですか？
A. 厳密な射影幾何は高校の教科書の範囲外ですが、共線・共点の主張自体は初等的な図形の知識で十分に理解できます。教養として知っておくと、難関大の融合問題や記述の背景理解に役立ちます。
関連リンク
