中３数学｜平行線と線分の比中点連結定理と逆【中3】（無料問題PDF）

三角形の二辺を横切る線が残りの一辺と平行なら、二辺は同じ割合に分けられます。反対に、二辺を同じ割合に分ける点を結ぶと、その線分は残りの一辺と平行です。相似とのつながりを根拠から理解し、中点連結定理と長さの計算へ進みましょう。

平行線と線分の比の定理

△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DE∥BCであるとします。

AD/AB＝AE/AC＝DE/BC

また、二辺が分けられた部分どうしにも、次の関係があります。

AD/DB＝AE/EC
つまり、AD：DB＝AE：EC

全体どうしならAD/AB＝AE/AC、分けられた部分どうしならAD/DB＝AE/ECです。分子と分母の位置を対応させます。

定理が相似から導ける理由

DE∥BCなので、平行線の同位角または錯角から、

∠ADE＝∠ABC
∠AED＝∠ACB

です。二組の角がそれぞれ等しいため、△ADE∽△ABCです。対応順はA↔A、D↔B、E↔Cなので、

AD/AB＝AE/AC＝DE/BC

が得られます。部分どうしの比は、DB＝AB－AD、EC＝AC－AEを使うと同じ割合になることから導けます。

分けられた部分の長さを求める

例1：`EC`を求める

DE∥BCで、AD＝4、DB＝6、AE＝6とします。

AD/DB＝AE/EC
4/6＝6/EC
4EC＝36
EC＝9

答え：EC＝9

例2：比から二つの部分を求める

DE∥BCで、AD：DB＝2：3、AC＝20とします。

AE：EC＝2：3なので、ACを2＋3＝5等分して考えます。

AE＝20×2/5＝8
EC＝20×3/5＝12

答え：AE＝8、EC＝12

平行な線分の長さを求める

例3：`DE`を求める

DE∥BCで、AB＝12、AD＝7.5、BC＝8とします。

AD/AB＝DE/BC
7.5/12＝DE/8
DE＝8×7.5/12＝5

答え：DE＝5

定理の逆で平行を証明する

△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあるとき、次のいずれかが成り立てばDE∥BCです。

AD/AB＝AE/AC
または
AD/DB＝AE/EC

例4：線分の比から平行を判断する

AD＝3、DB＝2、AE＝6、EC＝4とします。

AD/DB＝3/2
AE/EC＝6/4＝3/2

二辺を分ける比が等しいため、定理の逆からDE∥BCです。

逆が成り立つ理由

AD/AB＝AE/ACで、∠DAEは△ADEと△ABCに共通です。

二組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△ABCです。したがって∠ADE＝∠ABCとなり、同位角が等しいことからDE∥BCと分かります。

比が等しいだけでは不十分です。点Dが辺AB上、点Eが辺AC上にあり、対応する線分を同じ向きで比べていることが必要です。

3本の平行線と線分の比

平行な3直線l、m、nが2本の直線と交わるとします。一方の直線との交点を順にA、B、C、もう一方をD、E、Fとすると、

AB/BC＝DE/EF

です。平行線によって切り取られた対応する線分の比が等しくなります。

例5：3本の平行線が切り取る長さ

AB＝6、BC＝9、DE＝8のとき、EFを求めます。

6/9＝8/EF
6EF＝72
EF＝12

答え：EF＝12

中点連結定理

△ABCで、点Dが辺ABの中点、点Eが辺ACの中点なら、次が成り立ちます。

DE∥BC
DE＝（1/2）BC

例6：中点を結ぶ線分の長さ

BC＝14なら、

DE＝14×1/2＝7

答え：DE＝7

中点連結定理を相似で証明する

D、EがそれぞれAB、ACの中点なので、

AD/AB＝1/2
AE/AC＝1/2

です。また∠DAEは共通なので、二組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しく、△ADE∽△ABCです。

対応する角が等しいためDE∥BCであり、対応する辺の比からDE/BC＝1/2です。したがってDE＝（1/2）BCとなります。

中点連結定理の逆向きの利用

△ABCで、点Dが辺ABの中点であり、点Dを通りBCに平行な直線が辺ACと点Eで交わるなら、点Eは辺ACの中点です。

例7：平行線から中点を示す

DはABの中点、DE∥BC、AC＝18とします。

AD/AB＝1/2なので、平行線と線分の比からAE/AC＝1/2です。

AE＝18×1/2＝9
EC＝18－9＝9

AE＝ECなので、EはACの中点です。

どの比例式を使うか

分かっている量	使いやすい関係
上側と下側に分かれた部分	`AD`/`DB`＝`AE`/`EC`
頂点からの長さと辺全体	`AD`/`AB`＝`AE`/`AC`
平行な線分の長さ	`AD`/`AB`＝`DE`/`BC`
中点が二つ	`DE`∥`BC`、`DE`＝（1/2）`BC`
一つの中点と平行線	もう一方の交点も中点

よくある誤りと直し方

誤り	直し方
`AD`/`DB`＝`AC`/`AE`	部分どうしなら`AD`/`DB`＝`AE`/`EC`
`AD`/`AB`と`EC`/`AC`を対応させる	頂点`A`からの部分どうしを対応させる
図が平行に見えるだけで定理を使う	平行の記号、仮定、または逆の比の条件を確認する
比が等しければ点の位置を確認せず平行とする	`D`、`E`が対応する二辺上にあることを確認する
中点が一つだけで中点連結定理を使う	中点が二つあるか、一つの中点と平行線があるかを確認する
中点を結ぶ線分が元の辺と同じ長さ	長さは元の辺の1/2

確認問題

問題1〜8では、△ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあるものとします。

DE∥BC、AD＝5、DB＝7、AE＝10のとき、ECを求めましょう。
DE∥BC、AD：DB＝3：2、AC＝25のとき、AEとECを求めましょう。
DE∥BC、AB＝15、AD＝9、BC＝20のとき、DEを求めましょう。
DE∥BC、DE＝6、BC＝9、AC＝12のとき、AEを求めましょう。
AD＝4、DB＝6、AE＝8、EC＝12のとき、DEとBCは平行ですか。
AD：DB＝2：3、AE：EC＝5：8のとき、比の条件だけからDE∥BCといえますか。
D、EがそれぞれAB、ACの中点で、BC＝18のとき、DEを求めましょう。
DがABの中点、DE∥BC、AC＝14のとき、AEを求めましょう。
3本の平行線が2直線から切り取る線分が、一方で4、10、もう一方で6、xです。xを求めましょう。
AD/AB＝AE/ACからDE∥BCを示すとき、△ADEと△ABCの相似に使う、比以外の条件を答えましょう。

確認問題の解答と考え方

5/7＝10/ECより、EC＝14です。
AE：EC＝3：2なので、AE＝25×3/5＝15、EC＝25×2/5＝10です。
AD/AB＝9/15＝3/5なので、DE＝20×3/5＝12です。
DE/BC＝6/9＝2/3なので、AE＝12×2/3＝8です。
4/6＝8/12＝2/3なので、定理の逆からDE∥BCです。
2/3≠5/8なので、比の条件からは平行といえません。
中点連結定理よりDE＝（1/2）×18＝9です。
一つの中点を通る平行線はもう一方の辺を二等分するため、AE＝7です。
4/10＝6/xより4x＝60なので、x＝15です。
∠DAE＝∠BACです。頂点Aの共通な角を使います。

まとめ

三角形の二辺を横切る線が残りの一辺と平行なら、二辺は同じ比に分けられる。
DE∥BCなら、AD/AB＝AE/AC＝DE/BC。
部分どうしではAD/DB＝AE/EC。
対応する比が等しければ、定理の逆から平行を示せる。
三角形の二辺の中点を結ぶ線分は、残りの一辺に平行で、長さは1/2。
比の向き、点の位置、平行または中点という仮定を必ず確認する。

学習範囲の根拠

本記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」の第3学年「図形」にある、平行線と線分の比、三角形の相似を用いた性質の証明と活用に沿って構成しています。

文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」（PDF）

前後の単元

前に学ぶ相似な図形で、三角形の相似条件と対応する辺の比を確認できます。

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次に学ぶ円周角の定理で、中心角との関係、直径に対する円周角、定理の逆を学びます。