数学III辞典｜単元別の無料問題・解答解説

ヒント：x→3x−1→(3x−1)²→sin((3x−1)²)の3段階に分けます。

解答：y′＝cos((3x−1)²)×2(3x−1)×3＝6(3x−1)cos((3x−1)²)。全実数で微分可能です。

2(3x−1)だけでは、一番内側の3が抜けています。cosの中身を微分後の式に置き換えない点も確認しましょう。後日の変更問題はsin((2x＋1)³)：答えは6(2x＋1)²cos((2x＋1)³)。

ヒント：積の微分は、片方ずつ微分した2項の和です。

解答：y′＝2xe^−3x−3x²e^−3x＝(2x−3x²)e^−3x。全実数で成立します。両方を微分したものの積は誤りです。

まず積の微分で2項を作り、次に指数−3xの微分−3を確認します。後日x³e^−2xなら、(3x²−2x³)e^−2xです。

解答：x≠1で、y′＝{2x(x−1)−(x²＋1)}/(x−1)²＝(x²−2x−1)/(x−1)²。

元の式をx＋1＋2/(x−1)と割り算してから微分すると、y′＝1−2/(x−1)²。同じ式になるので、分子の順序を確認できます。x＝1は元の関数が未定義で、導関数の値も作れません。

後日、分子をx²＋3に変えるとy′＝1−4/(x−1)²（x≠1）。最初の答案で分母条件を落としたかも記録します。

解答：fはx<−2またはx>2で定義され、f′＝2x/(x²−4)。gはx≠±2で定義され、g′＝2x/(x²−4)。ただしそれぞれの定義域で使います。

−2<x<2ではg＝log(4−x²)なので、g′＝−2x/(4−x²)＝2x/(x²−4)。fはこの範囲で実数の関数として未定義です。「導関数の式が同じだから元の定義域も同じ」は誤りです。

後日、4を9に変えて確認しましょう。境界は±3、導関数は2x/(x²−9)となります。

ヒント：指数も底も動きます。log y＝x log xとして積の微分を使います。

解答：y′/y＝log x＋1、したがってy′＝x^x(log x＋1)。x×x^x−1は指数を定数として扱ってしまっています。

x>0ならy>0なので対数をとれます。この解法でx≦0まで定義域を広げません。後日y＝x^2xならy′＝2x^2x(log x＋1)です。

解答：どちらも0で連続です。fの差商は|h|/hなので右から1、左から−1。fは0で微分できません。

gの差商はh|h|/h＝|h|→0だからg′(0)＝0。x>0ではg＝x²、x<0ではg＝−x²なので、全実数でg′＝2|x|です。ところがg′の0での差商2|h|/hは右2、左−2で一致せず、g″(0)は存在しません。

微分可能なら連続ですが、逆はfが反例です。一回微分できることから二回微分できるとも断定できません。片側だけの式を0へ代入せず、差商で確かめます。

ヒント：まずf(a)＝2となるaを探します。入力2をそのままf′へ入れる問題ではありません。

解答：f′＝3x²＋1>0で狭義増加、両端の極限は±∞なので全実数から全実数への逆関数があります。f(1)＝2よりg(2)＝1。f′(1)＝4≠0なのでg′(2)＝1/f′(1)＝1/4。1/f′(2)＝1/13ではありません。

逆関数が存在するだけでは有限の導関数まで保証しません。例えばx³の逆関数は立方根ですが、0での差商は1/|h|^2/3→＋∞で、有限の微分係数はありません。後日このfでg′(0)を求めると1です。

解答：yをxの微分可能な関数として扱える所では2x＋2yy′＝0。y≠0ならy′＝−x/yです。(3,4)では傾き−3/4、接線はy−4＝−(3/4)(x−3)、すなわち3x＋4y＝25。

(5,0)では−x/yに代入できません。円の中心と接点を結ぶ半径が水平なので接線は垂直な直線x＝5です。「接線がない」ではありません。近傍でx＝√(25−y²)と見ればdx/dy＝−y/√(25−y²)がy＝0で0になり、同じ垂直接線を確認できます。

後日は(0,5)で確認します。y′＝0で接線はy＝5。分母条件と、水平・垂直の区別を言葉でも説明しましょう。

解答：f′＝x(2−x)e^−x。0<x<2で正、2<x<3で負です。f(0)＝0、f(2)＝4/e²、f(3)＝9/e³で、2から3へ減少するため4/e²>9/e³。閉区間では最大値4/e²（x＝2）、最小値0（x＝0）です。

開区間でもx＝2を含むので最大値は同じです。一方、f(x)>0でx→0＋のとき0へ近づくものの0はとりません。最小値はなく、下限は0です。「0に近づく」ことと「0になる」ことを分けます。

後日は区間1≦x≦3で確認。f(1)＝1/eとf(3)＝9/e³を比較します。e<3より9/e³>1/eなので最小値1/e（x＝1）、最大値4/e²（x＝2）。端点同士の比較を省略しないでください。

解答：x³の一階微分3x²は原点の左右で正。極値はありません。二階微分6xは負から正へ変わるので、原点は上に凸から下に凸へ変わる変曲点です。

x⁴の一階微分4x³は負から正へ変わるため、原点で極小値0をとります。二階微分12x²は左右とも正で、原点では0でも変曲点ではありません。

f′＝0は極値の候補、f″＝0は変曲点を探す際の候補ですが、どちらも結論ではありません。なお、微分できない点でも極値をとる場合があります。例えば|x|は原点で微分できませんが最小値0をとります。

解答：定義域はx>0。f＝x＋log xは連続で、f′＝1＋1/x>0なので狭義増加です。x→0＋でf→−∞、x→∞でf→∞。どんな実数kでも両側の値を選べて中間値の定理で解が存在し、狭義増加なので一つだけです。

増加という事実だけでは、指定した高さkまで届くかは分かりません。端での極限が存在の根拠を補います。対比としてe^x＝kは全実数で狭義増加ですが、k≦0には実数解がありません。

後日x＋2log x＝kに変更しても、同じ定義域・連続性・端の極限とf′＝1＋2/x>0から、任意の実数kについて一つです。

解答：x≠0。f′＝1−1/x²はx<−1とx>1で正、−1<x<0と0<x<1で負。x＝−1で極大値−2、x＝1で極小値2です。これは各点の近くでの極値であり、定義域全体での最大・最小はありません。

f″＝2/x³なので、x<0では上に凸、x>0では下に凸。しかし0は定義域に含まれず、曲線上に点がありません。変曲点はありません。

x→0＋ではf→＋∞、x→0−ではf→−∞なので垂直漸近線はx＝0。x→±∞ではf(x)−x＝1/x→0なので斜め漸近線はy＝xです。増減表も0をまたいで一本の連続な枝として扱わないでください。

後日x＋4/xなら極値のxは±2、極大値−4・極小値4。0は引き続き変曲点ではありません。

解答：f(x)/x＝1＋1/√x→1ですが、f(x)−x＝√x→∞。直線y＝xとの縦の差は0に近づかないので漸近線ではありません。y＝ax＋bが漸近線ならa＝1が必要ですが、f(x)−xに有限の極限がないため有限のbも選べません。

g(x)＝x＋1＋4/(x−1)（x≠1）なので、x→±∞でg(x)−(x＋1)→0。斜め漸近線はy＝x＋1です。傾きだけでなく切片まで確かめるのがポイントです。

後日、分子をx²＋2x＋3に変えると、x＋3＋6/(x−1)となり斜め漸近線はy＝x＋3です。

解答：実数のlog xを扱うのでx>0。h(x)＝x−1−log xとおくと、h′＝1−1/x＝(x−1)/x。0<x<1で負、x>1で正なのでx＝1で最小値h(1)＝0をとります。よってlog x≦x−1で、等号はx＝1のみです。

定義域を書かずにx＝0を代入したり、h′が負の区間を忘れて「常に増加」と書いたりしないでください。グラフを眺めるだけではなく符号と最小値を根拠にします。

後日はu＝1＋tと置き換えて、log(1＋t)≦tを示しましょう。条件はt>−1、等号はt＝0です。

解答：f′＝(1−x)e^−xなので、x<1で増加、x>1で減少。最大値はf(1)＝1/eです。x→−∞でf→−∞、x→∞でf→0＋。左の枝の値域は(−∞,1/e]、右の枝（x>1）は(0,1/e)です。

• k<0：1個（負の解）。
• k＝0：1個（x＝0）。
• 0<k<1/e：2個。
• k＝1/e：1個（x＝1）。
• k>1/e：0個。

指数関数は0にならないため、k＝0の解はx＝0だけです。「x＝∞」は実数解ではありません。k＝1/eでも二つの枝が同じ点で合うので二重に数えません。無限遠での極限は、例えばe^x≧x²/2（x>0）より0<xe^−x≦2/x→0と確認できます。

後日xe^−2x＝kでは最大となるxは1/2、境界の最大値は1/(2e)。0・境界の等号を別に扱う5通りの分類は同じです。

解答：原点は曲線上にありません。接点を(t,log t)、t>0とおくと、接線はy−log t＝(x−t)/t、つまりy＝x/t＋log t−1。原点を通る条件はlog t−1＝0なのでt＝e。求める接線はy＝x/eで、接点は(e,1)です。

傾き1/tと、直線が原点を通る条件を別々に使っています。x＝0を導関数1/xへ代入する方法は使えません。後日、通る点を(0,1)に変えるとlog t−1＝1からt＝e²、接線はy＝x/e²＋1となります。

解答：定積分は[−cos x]（0から3π/2）＝1。一方、sin xは0〜πで非負、π〜3π/2で非正です。面積は∫（0〜π）sin x dx−∫（π〜3π/2）sin x dx＝2＋1＝3です。

定積分では下側の部分が負として足されますが、面積では絶対値をとります。積分結果1の絶対値をとっても面積3にはなりません。後日0〜2πに変えると、定積分0・面積4です。

解答：√xが実数となるx≧0で交点を調べます。√x＝x²を両辺二乗するとx＝x⁴、x＝0または1。元の式にも成立します。0<x<1では√x>x²なので、面積は∫（0〜1）(√x−x²)dx＝2/3−1/3＝1/3です。

二乗で得た候補は元の式に戻して確認し、積分前に上下を決めます。後日、下側をy＝x³に変えると交点は0と1、面積は2/3−1/4＝5/12です。

解答：位置xでの断面は外半径R＝x＋1、内半径r＝1の円環です。断面積はπ{(x＋1)²−1²}。したがってV＝π∫（0〜2）(x²＋2x)dx＝π(8/3＋4)＝20π/3。

π(R−r)²ではありません。円環の面積は大きい円の面積から穴の面積を引きます。誤ったπ∫x²dxでは8π/3となり、小さく数えています。

後日、同じ領域をy＝−1のまわりに回すと、R＝x＋2、r＝2。体積はπ∫（0〜2）(x²＋4x)dx＝32π/3です。半径は座標そのものではなく回転軸からの距離です。

解答：4πです。各xでyの区間は回転軸を含み、軸からの距離0〜2をすべて覆います。断面は半径2の円板で、体積はπ×2²×1＝4π。

負側の−1〜0を回した円は、正側の0〜2を回した円に含まれます。二つを足す5πは重複を数えています。内半径1の穴を引く3πも誤りです。

後日、長方形のyの範囲を1≦y≦2へ変えると、穴がある円環になり体積は3πです。回転前の区間が軸を含むかを先に確認します。

解答：0≦y≦1の高さで水平に切ると、√y≦x≦1。外半径1、内半径√yの円環です。V＝π∫（0〜1）{1²−(√y)²}dy＝π∫（0〜1）(1−y)dy＝π/2。

π∫（0〜1）(x²)²dx＝π/5は、同じ領域をx軸回転したときの体積です。回転軸を変えたら断面から考え直します。

後日、領域を0≦x≦1、0≦y≦xに変えると、高さyでy≦x≦1となり、y軸回転の体積はπ∫（0〜1）(1−y²)dy＝2π/3。

解答：f(x)＝√(1＋3x)は[0,1]で連続。幅1/n、右端k/nを使う区分求積だから∫（0〜1）√(1＋3x)dxです。

u＝1＋3xならdx＝du/3、x＝0→u＝1、x＝1→u＝4。よって(1/3)∫（1〜4）√u du＝(2/9)(4^3/2−1)＝14/9。

uの範囲だけを1〜4に変え、係数1/3を落とすと14/3になります。なお、和の前が3/nなら答えも3倍の14/3です。式の中の3と、幅の3を区別して説明しましょう。

解答：log(1＋t²)は全実数で連続です。原始関数をHとするとF(x)＝H(2x)−H(x)。連鎖律よりF′(x)＝2log(1＋4x²)−log(1＋x²)。全実数xで使えます。

上端の微分2と、下端の項の引き算を忘れないでください。x<0では上端2xのほうが小さくなりますが、向き付きの定積分として同じ式が成立します。

後日、G(x)＝∫（1〜x²）log(1＋t²)dtならG′(x)＝2x log(1＋x⁴)。x²を中身へ入れるだけでなく、その微分2xも掛けます。

解答：y′＝√xはこの区間で連続です。長さL＝∫（0〜3）√(1＋(y′)²)dx＝∫（0〜3）√(1＋x)dx＝(2/3)(4^3/2−1)＝14/3。

∫y dxはx軸との間の面積、両端を結ぶ直線の長さは弦の長さです。どちらも曲線長とは区別します。弦の長さは√21で、14/3>√21。曲線長が弦より短くなっていないことも検算になります。

媒介変数x＝t²、y＝(2/3)t³、0≦t≦√3なら、速さは√((2t)²＋(2t²)²)＝2t√(1＋t²)。積分して同じ14/3になります。

媒介変数の積分は同じ場所を繰り返した分も数えます。例えばx＝cos t、y＝sin tを0〜4πで積分した走行距離は4πですが、円そのものの一周の長さは2πです。区間が何周を表すかも確認しましょう。