数学B辞典｜単元別の無料問題・解答解説

1. 数列12項目

規則を見つけて一般項に翻訳する単元。漸化式の型を覚えるより、型の作られ方を追うのが近道です。

つまずきやすい点

• 階差数列で n=1 を確認しないaₙ=a₁+Σ[k=1,n−1]bₖ は n≧2 でのみ有効。n=1 で成り立つか別に確かめて明記する。
• Σ の上端を n のまま計算する階差では上端が n−1。ここを n にすると1項多く足すことになる。
• 漸化式の特性方程式を暗記で済ませるp≠1ならα=pα+qのαを引いて等比型を作る。p=1なら等差数列として扱う。
• Sₙ と aₙ の関係で n=1 を飛ばすaₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ は n≧2。a₁=S₁ を別に出して、同じ式で書けるか確認する。
• 帰納法で仮定をどこで使ったか示さない「n=k の仮定より」と本文に書く。仮定を使った箇所まで示すと、論証をたどれます。

入試での出方と最初の一手

• 和から一般項を求めるSₙ が与えられたら aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁。n=1 の check を必ず添える。
• （等差）×（等比）の和S−rS を作って等比の和に帰着させる。ずらして引く操作を丁寧に書く。
• 分数の和（部分分数）1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) に分ける。打ち消し後に残る項だけを書く。
• 群数列各群の項数と、第n群の先頭が通算何番目かを先に出す。そこから一般項に代入する。

→ 数学II・B・Cの要点辞典 第8章「数列」で詳しく読む

2. 統計的な推測10項目

標本から母集団を推測する単元。抽出方法と使用条件、推定や検定で言える範囲を確認します。

つまずきやすい点

• 分散の加法で独立性を確認しない有限分散では共分散0ならV(X+Y)=V(X)+V(Y)。独立なら共分散0だが、逆は一般に成立しない。期待値の加法には独立性は不要。
• 標本平均の標準偏差で √n を落とすσ/√n。標本数が増えるとばらつきが小さくなることと対応している。
• 標準化の向きを間違えるZ=(X−m)/σ。平均を引いてから標準偏差で割る、の順序を固定する。
• 信頼区間の 1.96 を無条件で使う標準正規分布を使う両側95%区間の係数。信頼度・母分散の既知未知・分布の条件を確認する。
• 仮説検定で何を否定したか書かない帰無仮説を明示してから確率を求める。結論は「棄却する／しない」で書く。

入試での出方と最初の一手

• 母平均の推定σ既知の正規母集団・独立同分布なら標本平均±1.96σ/√n。σ未知の正規標本では、不偏分散の平方根sと自由度n−1のt分布による区間を用いる。単なる置き換えで同じ精度になるとは限らない。
• 母比率の推定独立なベルヌーイ標本で成功・失敗数が十分多いか確認してから、95%近似区間p̂±1.96√(p̂(1−p̂)/n)を使う。
• 二項分布の正規近似独立・成功確率一定を確認し、npとn(1−p)の両方が十分大きいときN(np,np(1−p))で近似する。nだけでは判断せず、必要に応じ連続補正を行う。
• 仮説検定事前に決めた片側・両側の対立仮説に応じて、観測統計量以上に極端な結果の確率を有意水準と比較する。

→ 数学II・B・Cの要点辞典 第9章「統計的な推測」で詳しく読む

推定の参考：NIST：母平均の信頼区間とt分布。条件と解釈は統計的な推測の追試8問でも確認できます。

3. 数学と社会生活4項目

現実の問題を数式に置き換え、計算結果を元の条件へ戻して考える単元。料金比較・割合・平均・予測の追試8問も使って確認できます。

つまずきやすい点

• モデル化の仮定を書かないどこを単純化したかを明記する。仮定が抜けると結論の妥当性を説明できない。
• グラフの目盛りを確認せず読む原点が0でない軸や対数目盛りに注意。増加の「量」と「割合」は別物。
• 有効数字を無視して桁を書きすぎる途中計算では余分な桁を保持し、最後に指定精度へ丸める。測定値の精度と、個数などの正確な整数は区別する。
• 制約条件を式にせず感覚で答える等式・不等式・整数条件などを明示してから最大最小を考える。

入試での出方と最初の一手

• 最適化の設定変数・制約・目的量を定める。一次式で表せる場合は線形計画の考え方が使えるが、整数条件や非線形の関係では別途検討する。
• データからの意思決定目的と比較条件をそろえ、平均だけでなく散らばり・極端な値・標本の偏りも見る。平均と分散だけで全ての判断は決まらない。
• 増加率のモデル一定量の増加なら等差、一定割合なら等比。どちらかを見分けてから式を立てる。

→ 数学II・B・Cの要点辞典 で関連単元を読む