数学C辞典｜単元別の無料問題・解答解説

解答：AB＝(3−(−1),5−2)＝(4,3)、BA＝(−4,−3)、|AB|＝√(4²＋3²)＝5。Bの位置ベクトルOB＝(3,5)とは異なります。

出発点を引く順序を確認します。A,Bをともに(2,−1)だけ平行移動するとA′(1,1)、B′(5,4)となりますが、A′B′＝(4,3)で移動は変わりません。

後日はBからAへ向かう長さ1のベクトルを求めましょう。BA/|BA|＝(−4/5,−3/5)。長さを1にしても向きは保ちます。

解答：Pの位置は(a＋2b)/3＝(5,1)。AからBへの移動(6,3)の2/3だけ進みます。外分点Qの位置は(2b−a)/(2−1)＝(13,5)。AからBへの移動を2倍進んだBの外側で、|AQ|：|QB|＝2：1です。

一般にm,n>0、m≠nで外分点は(mb−na)/(m−n)。公式の符号だけでなく点の順序で検算します。1：1の外分点は有限の位置には存在せず、分母0の式を使いません。

後日、1：2の外分なら( b−2a)/(1−2)＝2a−b＝(−5,−4)。今度はAの外側になります。

解答：p＝(3/2)a−(1/2)b＝(1−t)a+tbでt＝−1/2。P＝(−1,0)は直線AB上ですが、線分AB上ではありません。線分には0≦t≦1が必要です。

係数和1は直線上という条件を表しますが、負の係数を許すと延長線上も含みます。後日p＝(a＋3b)/4ならt＝3/4なので線分上、P＝(4,5/2)です。

解答：P＝(3,3)は外側です。OP＝sOA＋tOBが三角形の内部または周上にある条件はs≧0、t≧0、s＋t≦1。今回はs＋t＝5/4>1です。直線ABの式x/4＋y/6＝1に代入しても5/4となり、Oと反対側にあります。

位置ベクトルをO,A,Bの重みで書くと、(1−s−t)O＋sA＋tB。三つの係数がすべて非負で和1、という形で見ると不足した条件が分かります。O,A,Bが一直線上にないことが前提です。

後日s＝1/4、t＝1/2ならP＝(1,3)、係数和3/4で内部です。辺AB上はs＋t＝1、各係数が正なら辺の両端を除く部分です。

解答：決められません。b＝2aなので、条件は(s＋2t)a＝3a、つまりs＋2t＝3です。(s,t)＝(3,0)、(1,1)、(−1,2)など無数にあります。

1次独立な2ベクトルで表しているときに、同じベクトルの係数を比較できます。平面では「両方とも零でなく、平行でない」が確認の仕方です。後日a＝(1,2)、b＝(2,5)なら行列式1×5−2×2＝1≠0で独立。同じ条件からs＝3、t＝0だけに決まります。

解答：a・b＝0は任意の実数tで成立します。t≠0なら両方とも零でなく、cosθ＝0/(2|t|)＝0よりθ＝90°。t＝0ではaが零ベクトルで向きが定まらず、なす角は定義しません。

内積の計算自体は零ベクトルでもできますが、角度を求める式では|a||b|で割ります。t＝0を落とさず分けてください。後日a＝(1,t)、b＝(t,1)なら両方とも常に零でなく、内積2t＝0より垂直となるのはt＝0です。

解答：直線への垂線の足はH(3,0)、距離は2です。ただしHは線分ABの外側です。線分上の点Qを(2t,0)、0≦t≦1と置くと、|PQ|²＝(2t−3)²＋4。この範囲ではtが1に近づくほど小さくなり、t＝1、Q＝Bで最小値5。最短距離は√5です。

垂直条件で得るtは3/2となり、線分の範囲を外れます。直線の答えをそのまま線分の答えにせず、端点を比べます。

後日Pを(1,2)に変えると足(1,0)が線分内に入り、直線・線分への距離はともに2です。

解答：P(x,y)とすると、(x＋1)(x−3)＋y²＝0。平方完成して(x−1)²＋y²＝4、中心(1,0)、半径2の円です。A,B自身もこの式を満たします。

P≠A,BならPAとPBがともに零でなく、内積0から角APBが90°だと説明できます。P＝A,Bでは角度を定められませんが、円の端点として式には含まれます。

一方、長さの積|p−a||p−b|＝0は、どちらかの長さが0という条件です。P＝AまたはBという2点だけで、円全体ではありません。後日A(0,0)、B(0,4)ならx²＋(y−2)²＝4です。

解答：AB＝(−1,2,0)、AC＝(−1,0,3)は平行でなく、平面を定めます。n＝(a,b,c)が両方に垂直なら−a＋2b＝0、−a＋3c＝0。例えばn＝(6,3,2)を選べます。

点Aを使い、6(x−1)＋3y＋2z＝0、つまり6x＋3y＋2z＝6。B,Cも代入して成立することを確認します。一つの方向に垂直なだけでは平面の法線とは限りません。零ベクトルは両方と内積0ですが、法線には選びません。

後日Cを(0,0,6)へ変えると、法線の一例は(6,3,1)、平面は6x＋3y＋z＝6です。

解答：方向ベクトルは(1,0,0)、(0,1,0)で、内積0、方向のなす角は90°です。しかしℓ上はz＝0、m上はz＝1なので交点はありません。平行でもないため、2直線はねじれの位置にあります。

方向の角度と、実際に同じ点を通るかは別の条件です。空間では2直線を平面図に描くと交わって見える場合があっても、座標を全て一致させる必要があります。

後日mを(0,t,0)へ変えると、s＝t＝0で原点に交わります。今度は同じ平面z＝0上で交差します。

解答：ℓ₁を代入すると2＋2t＝4、t＝1。交点は(2,1,1)です。ℓ₂では左辺が常に2なので交わりません。ℓ₃では左辺が常に4なので、直線全体が平面に含まれます。

一般に直線p＝a+td、平面n・p＝cなら、(n・d)t＝c−n・a。n・d≠0なら交点1つ、n・d＝0なら右辺が0かどうかで「全体が含まれる」と「交点なし」に分かれます。n,dは零でないことが前提です。

tの係数が0になったときに、そのまま割り算をしないのが確認点です。

解答：法線n＝(1,2,2)、|n|＝3。距離は|1＋4＋6−2|/3＝3。足はPから法線方向に移動するのでH＝P−λnと置きます。平面に代入すると11−9λ＝2からλ＝1、H＝(0,0,1)です。

Hが平面上にあることと、PHが法線に平行なことを両方確認します。距離の公式の分母は|n|ですが、足を求める係数は(n・P−2)/|n|²です。分母を混同しないでください。

後日、平面に関するPの対称点P′を求めるとP′＝2H−P＝(−1,−2,−1)。中点がHで、符号付きの平面の式の値が9から−9へ変わります。

解答：ABとACは独立です。AD＝sAB＋tACと置くと、(1,1,k)＝(s,t,s＋t)。s＝1、t＝1、k＝2です。平面の式z＝x＋yでも同じ結果になります。

k＝2のDは平面上ですが、s＋t＝2なので三角形ABCの内部・周上にはありません。平面上と三角形内を区別します。

基準の3点が一直線上だと同じ方法は使えません。例えばA(0,0,0)、B(1,0,0)、C(2,0,0)、D(0,1,0)は全て平面z＝0上ですが、ADをABとACの和で表せません。この場合はA,B,Dなど一直線上でない3点を選び直します。

解答：球の中心C(1,−1,2)、半径R＝3。中心から各平面への距離dは順に2、3、4です。

• z＝4：d<R。中心H(1,−1,4)、半径√(9−4)＝√5の円。式はz＝4と(x−1)²＋(y＋1)²＝5の両方です。
• z＝5：d＝R。接点(1,−1,5)の1点。
• z＝6：d>R。共有点なし。

交わる円の半径ρは、中心C・垂線の足H・円周上の点を結ぶ直角三角形からρ²＋d²＝R²。平面の式も残さないと、空間内の円を指定したことにはなりません。

後日z＝1ならd＝1、中心(1,−1,1)、半径√8＝2√2の円になります。

解答：底面ABCは直角三角形で面積2×3/2＝3。底面の平面はz＝0だから、Dからの高さは4です。体積V＝(1/3)×3×4＝4。

|AD|＝√18は斜めの辺の長さで、高さではありません。Dから平面への垂直な距離を使います。また底面積の1/2と、錐体の体積の1/3を別々に確認してください。

後日Dを(1,1,−2)に変えると、高さは非負の距離2、体積は2です。負のz座標をそのまま高さに入れません。Dのx,y座標だけを動かしてもz＝4のままなら体積は4で変わりません。

解答：それぞれの点L(s,0,0)、M(1,t,1)は独立に動きます。|LM|²＝(s−1)²＋t²＋1≧1で、s＝1、t＝0のとき等号成立。最短距離は1、最短の2点は(1,0,0)と(1,0,1)です。

その間のベクトル(0,0,1)は両直線の方向ベクトルと内積0で、共通の垂線になっています。

勝手にs＝tとすると、(s−1)²＋s²＋1＝2(s−1/2)²＋3/2となり、最短距離を√(3/2)と誤ります。二つの点の動きを結び付ける条件は問題にありません。後日mのz座標を2に変えると距離は2です。

解答：√((x−2)²＋y²)＝|x＋2|。両辺はともに0以上なので、2乗しても同値です。(x−2)²＋y²＝(x＋2)²よりy²＝8x。自動的にx≧0となり、右向きに開く放物線です。

逆にy²＝8xを満たせば、2つの距離の2乗が等しく、距離は0以上なので元の条件も成立します。y²＝4pxのpは2で、係数8をそのまま焦点のx座標にはしません。

後日、焦点を(−2,0)、準線をx＝2に変えるとy²＝−8x、x≦0です。開く向きが変わる理由まで説明しましょう。

解答：中心は(1,−2)。長半径3、短半径2なので長軸6、短軸4。中心から焦点までの距離は√(9−4)＝√5で、焦点は(1±√5,−2)です。2焦点からの距離の和は6です。

分母は半径の2乗です。「9が軸の長さ」「焦点が(±√5,0)」という誤りは、半径と長さ、原点と中心を分けて直します。

後日、分母9と4を交換すると長軸は縦向きとなり、焦点は(1,−2±√5)。中心は変わりません。

解答：①存在しません。三角不等式からPF₁＋PF₂≧F₁F₂＝6だからです。②線分F₁F₂です。Pが両焦点の間にあるときだけ和が6となり、両端点も含みます。③楕円x²/25＋y²/16＝1です。a＝5、c＝3よりb²＝a²−c²＝16。

「一定」という言葉だけでは不十分で、和が焦点間の距離より大きいことが必要です。式を2乗して整理する前に、そもそも点が存在するか確認します。

後日、和を8に変えるとa＝4、b²＝7なのでx²/16＋y²/7＝1になります。

解答：x²/4−y²/5＝1の右側の枝、すなわちx≧2の部分です。差の絶対値が4ならa＝2、c＝3、b²＝c²−a²＝5。符号付きの差が正ならF₁の方が遠く、PF₁²−PF₂²＝12xからx>0となります。双曲線上ではx²≧4なのでx≧2です。

逆に右の枝では距離差の絶対値が4かつPF₁>PF₂なので、差は正の4です。絶対値を付けた条件なら左右両方、差が−4なら左側x≦−2を表します。

境界も大切です。差が0なら垂直二等分線x＝0、差が6ならx≧3、y＝0の半直線で、通常の双曲線ではありません。差が6を超える点は存在しません。双曲線の定義では、差の絶対値は0より大きく焦点間の距離より小さくします。

解答：代入すると5x²＋8cx＋4c²−4＝0。x²の係数5は0になりません。判別式D＝(8c)²−4·5·(4c²−4)＝16(5−c²)よりc＝±√5です。接点はx＝−4c/5、y＝c/5で、元の楕円と直線の両方に代入して確かめられます。

求めたのは傾き1の接線です。楕円には垂直な接線x＝±2もありますが、y＝x＋cという直線の集まりには含まれません。

後日、水平な直線y＝cならc＝±1が接線となります。直線の向きが変わったときも元の式から考え直しましょう。

解答：x²−(x＋1)²＝1より−2x−1＝1、x＝−1、y＝0。共有点は(−1,0)の1つですが、接線ではありません。この点での接線はx＝−1です。

二乗の項が消え、連立後は1次方程式です。2次方程式の重解を調べるD＝0の議論をそのまま使えません。接線x＝−1は、P(−1,0)と近くの双曲線上の点Qを結ぶ割線でも確認できます。x²−y²＝1から(x＋1)/y＝y/(x−1)となり、QがPへ近づくとこの比は0。割線の横の変化／縦の変化が0に近づくので、接線は垂直です。

一般にy＝x＋bを代入すると−2bx−b²＝1。b＝0なら共有点なし、b≠0ならx＝−(1＋b²)/(2b)、y＝(b²−1)/(2b)の1点です。共有点の個数だけで接線を判定しないでください。

後日、双曲線をx²−y²＝4、直線をy＝x＋2に変えると共有点は(−2,0)。その点での接線はx＝−2で、与えられた直線とは異なります。

解答：x²/4＋y²＝1かつx≧0、y≧0の部分です。t＝0で(2,0)、t＝π/2で(0,1)となり、両端を含む楕円の右上の4分の1です。

逆にこの部分の点では、cos t＝x/2、sin t＝yとなるtを0≦t≦π/2から取れます。消去後の式だけを書くと、描かれない残り4分の3まで含めてしまいます。

後日、0≦t≦πへ広げると上半分全体で、端点は(2,0)、(−2,0)です。式は同じでも範囲が変わります。

解答：(x−1)²＋y²＝1かつy≧0の上半円です。r²＝2r cosθより円の式が出ますが、θの範囲も確認します。x＝2cos²θ＝1＋cos2θ、y＝2sinθcosθ＝sin2θとなり、0≦2θ≦πなので上半円全体を表します。

θ＝0は(2,0)、θ＝π/2は原点です。最初にrで割るとr＝0の原点を落とす恐れがあります。原点では方向は一意でありませんが、元の式を満たすθが存在するので含めます。

後日、−π/2≦θ≦π/2ならr≧0を保ち、−π≦2θ≦πとなるため円全体を表します。変換した円の式と、実際に通る範囲を分けて答えましょう。

t＝2なら(x,y)＝(−6/5,8/5)。その2乗和は36/25＋64/25＝4です。(−2,0)は加えられません。許されるtは有限の実数で、すべてのtでx＋2>0です。「極限として近づく」と「あるtで等しくなる」を区別します。

角2tは0から4πまで増えるので、反時計回りに2周します。(2,0)になるのは2t＝0、2π、4π、すなわちt＝0、π、2πの3つの値です。2周と、両端を含めて同じ位置になる時刻の数は一致しません。軌跡を点の集合として答えるなら円x²＋y²＝4全体です。

円x²＋y²＝4の上半分y≧0から(−2,0)を除いた部分です。(2,0)はt＝0なので含みます。逆にこの部分の点ではt＝y/(x＋2)≧0が取れ、元の式を満たします。y≧0だけで終えると、実際には通らない左端を含めてしまいます。

y＝x²、0≦x≦4の部分です。逆にこの範囲のxにはt＝−√x∈[−2,0]が取れるので、全点を通ります。(1,1)はt＝−1、1の2回、(4,16)はt＝−2の1回です。

t＝−2から0までは(4,16)から原点へ、0から1までは原点から(1,1)へ戻ります。軌跡の式と範囲が同じでも、全区間を同じ回数通るとは限りません。xの最大値をt＝1だけで決めると、t＝−2でx＝4になることを落とします。

解答：w＝α＋2i(z−α)＝1＋i＋2i×2＝1＋5i。最初に中心αを引き、回転と倍率を掛け、最後にαを足します。

|z−α|＝2、|w−α|＝4なので距離が2倍です。2izだけでは原点を中心とする変換になり、今回の条件と違います。中心z＝αそのものはw＝αに移り、商で割って確認する必要はありません。

後日、同じ中心で時計回り90°、倍率1ならw＝α−i(z−α)＝1−iです。

解答：|z|＝√2、θ＝5π/4。z²＝2iなので偏角はπ/2です。2θ＝5π/2から2πを引くとπ/2になります。5π/2は同じ向きを表しますが、指定範囲の答えではありません。

−π<θ≦πという約束なら、zの代表は−3π/4です。偏角は2πの整数倍だけ変えられます。z＝0は原点からの向きが定まらないので、偏角を0とは定義しません。

後日z³を考えると絶対値2√2、指定範囲の偏角は15π/4−2π＝7π/4です。

解答：8i＝8{cos(π/2)＋i sin(π/2)}。|z|＝2、偏角は(π/2＋2kπ)/3＝π/6＋2kπ/3、k＝0,1,2。よって√3＋i、−√3＋i、−2iの3個です。

π/2を3で割ったπ/6だけでは一つしか得られません。元の偏角に2kπを加えてから割ります。k＝3はk＝0と同じ解に戻るため、重複して数えません。

後日z³＝0なら解はz＝0だけです。「3次だから異なる3個」とは限りません。重複を含めた数と異なる解の数を区別します。

解答：(γ−α)/(β−α)＝i(t−1)/2。t≠1なら商は0でない純虚数で、2方向は垂直です。t＝1ではγ＝αとなり、一方の方向が定まらないため角度を考えません。

分母β−α＝2は0でないことも確認します。商の実部が0という条件だけだと、商0のケースまで含めてしまいます。

後日γ＝1＋t＋iなら商t/2は実数で共線です。ただしt＝0ではγ＝α、t＝2ではγ＝β。異なる3点を求める問題ならこの2値を除きます。

解答：まずz≠−1。z＝x＋iyとして分母を実数化すると、商の実部は(x²＋y²−1)/{(x＋1)²＋y²}、虚部は2y/{(x＋1)²＋y²}です。

実部0からx²＋y²＝1。さらに純虚数は0を含めないのでy≠0が必要です。したがって単位円からz＝1、−1の2点を除いた軌跡です。−1は分母0、1は商0という別々の理由で除かれます。

逆に単位円上で±1でない点なら、分母は0でなく、実部0・虚部非零なので元の条件を満たします。もし条件が「商の実部が0」だけなら、z＝1は含み、除くのは−1だけです。

解答：w≠0で、逆にz＝1＋1/w。|z|＝1から|w＋1|＝|w|となります。w＝u＋viとすると(u＋1)²＋v²＝u²＋v²、u＝−1/2です。

よって候補は直線Re w＝−1/2。この直線上の任意のwは0でないのでz＝1＋1/wを作れます。|w＋1|＝|w|から|z|＝1、また1/w≠0からz≠1。したがって直線全体が軌跡です。

一方向の式変形だけで「全体」と決めず、候補の全てが実際に得られるかを確かめます。例えばz＝−1はw＝−1/2、z＝iはw＝−1/2−i/2へ移ります。z＝1には有限のwを割り当てません。

解答：z̄＝2−3iは実軸に関する対称移動。−z̄＝−2＋3iは虚軸に関する対称移動。iz̄＝3＋2iは直線y＝xに関する対称移動です。

一般のz＝x＋iyに対し、iz̄＝y＋ixで実部と虚部が入れ替わります。共役をとる操作を、一定の複素数を掛ける回転だけで全ての点に表すことはできません。もしz̄＝czが全てのzで成立すれば、z＝1からc＝1ですが、z＝iでは−i＝iとなって矛盾します。

後日、原点を中心に反時計回り90°回転するizと比較すると、iz＝−3＋2i。同じ距離を保つ変換でも、移る点は異なります。

解答：u＝β−α＝2、v＝γ−α＝1＋3i。ūv＝2＋6iなので、面積S＝(1/2)|Im(ūv)|＝3です。座標でも底辺2・高さ3で同じ値になります。

u＝a＋bi、v＝c＋diならIm(ūv)＝ad−bc。これは平面ベクトルの面積式と対応します。頂点の順序を逆にすると虚部の符号が変わるので、面積では絶対値を付けます。|u||v|/2だけでは、間の角のsinを落としています。

後日、αを中心に2i倍する変換を両方の辺へ行うと長さは各2倍、面積は4倍の12です。回転だけなら面積は変わりません。