場合分けで最大値を文字で表す｜高1数学 2次関数14の無料PDFと練習3問

高1｜2次関数解き方がわからないときは高１数学｜二次関数グラフ・平方完成・最大最小・二次不等式【数学I】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

関数 y = −x² + 2ax（0 ≦ x ≦ 1）の最大値 M(a) を、a の値で場合分けして求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校1年「２次関数」の無料問題プリント（２次関数14）です。このプリントは、軸の位置が文字で動くときの最大値を場合分けで求める回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高１数学２次関数 14

場合分けで最大値を文字で表すで何ができるようになるか

上に凸の放物線では、軸が定義域の中にあれば頂点が最大、外にあれば近いほうの端が最大になります。軸が文字で書かれているときは、軸が定義域の左・中・右のどこにあるかで3通りに分かれます。グラフを3枚かく——場合分けはそのための作業です。

解き方の手順

1平方完成して軸と頂点を求めます。軸の位置に文字が残ります。

2定義域の左端・右端と軸を数直線に並べ、軸が「左の外」「中」「右の外」のどこにあるかで分けます。

3上に凸なら、軸が中にあるとき頂点が最大。外にあるときは軸に近いほうの端が最大です。

4各場合の式を書き、境界の値で両方の式が一致するかを確かめます。

つまずくのはここ

つまずき1｜境界をどちらの場合に入れるか迷う

境界では両方の式が同じ値になるので、どちらに入れても構いません。一致することを確かめれば、場合分けが正しい証拠になります。

つまずき2｜上に凸と下に凸を取り違える

x² の係数が負なら上に凸で、頂点が最大。正なら下に凸で、頂点が最小です。

つまずき3｜グラフをかかずに式だけで処理する

軸が動く問題は、図を3枚かくのがいちばん速くて確実です。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、数を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数が異なります。

練習1

関数 y = −x² + 2ax（0 ≦ x ≦ 1）の最大値 M(a) を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

平方完成すると y = −(x − a)² + a²。軸は x = a で上に凸。
a < 0 のとき軸は定義域の左外。x = 0 で最大。
0 ≦ a ≦ 1 のとき軸が中。頂点で最大。
a > 1 のとき軸は右外。x = 1 で最大。
a < 0 のとき M(a) = 0、0 ≦ a ≦ 1 のとき M(a) = a²、a > 1 のとき M(a) = 2a − 1
検算：a = 0 では両方 0、a = 1 では a² = 1 と 2a − 1 = 1 で一致します。
境界で式が一致するかを必ず確かめる。

練習2

関数 y = x² − 2ax（0 ≦ x ≦ 2）の最小値 m(a) を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

平方完成すると y = (x − a)² − a²。軸は x = a で下に凸。
a < 0 なら x = 0、0 ≦ a ≦ 2 なら頂点、a > 2 なら x = 2 で最小。
a < 0 のとき 0、0 ≦ a ≦ 2 のとき −a²、a > 2 のとき 4 − 4a
検算：a = 2 では −a² = −4 と 4 − 4a = −4 で一致します。
下に凸なら頂点が最小。上に凸のときと逆になる。

練習3

関数 y = −x² + 2ax（0 ≦ x ≦ 1）の最大値が 3/4 となる a の値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

練習1の結果を使います。
a < 0 では M = 0 なので該当なし。
0 ≦ a ≦ 1 では a² = 3/4 より a = √3/2（約 0.87 で範囲内）。
a > 1 では 2a − 1 = 3/4 より a = 7/8 となり、a > 1 に反します。
a = √3/2
検算：求めた a が、その場合分けの範囲に入っているかを必ず確かめます。7/8 は a > 1 を満たしません。
場合分けで出した答えは、その場合の範囲に入るかを検算する。

２次関数の他のプリント

← 前：２次関数13｜軸と定義域で場合分け

次：２次関数15｜最小値を文字の関数とみる →

同じ「２次関数」の無料プリントは全部で 29 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

解き終わったら

2次関数まとめ31問（高1）——単元全体を型で整理したまとめ。
2次関数（高1）の特訓道場——場合分けと解の配置の30題で力試し。
数学I・Aの要点辞典第2章 2次関数——公式と定石を定義から確かめる。

数強塾について

数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。

体験授業・入塾相談はこちら無料の授業動画・学習プリント

次に解く問題・この単元の解説

この単元を体系的に理解する

難易度を変えて練習する

同じ難易度の問題

📄 同じ単元のプリント（全38枚のうち、この前後24枚）

同じ単元を続けて解くと、どの手を使うかの判断が安定します。手が止まったところがあれば、その単元の要点に戻ってから次の1枚に進んでください。

一覧に無いものも含め、２次関数のプリントは高１数学：２次関数全38枚、学年全体の単元一覧は高１数学のページから確認できます。