式の形から関数を決める｜関西大学｜高2 複素数と方程式4

高2｜複素数と方程式解き方がわからないときは複素数と方程式｜解の公式・判別式・解と係数の関係【数学II】を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

x³ f(1/x) = −f(x) がすべての 0 でない x で成り立つとき、3次以下の整式 f(x) の形を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「複素数と方程式」の無料問題プリント（複素数と方程式4）です。このプリントは、関西大学の問題を扱います。2つの関数等式を同時に満たす整式を求める問題です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。

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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学複素数と方程式 4（関西大学）

式の形から関数を決めるで何ができるようになるか

「すべての x で成り立つ」と書かれていたら恒等式です。整式を f(x) = ax³ + bx² + cx + d と置いて、両辺の同じ次数の係数を比べます。関数等式は難しく見えますが、置いて係数を比べるといういつもの手がそのまま通用します。

解き方の手順

1f(x) を一般の整式として置きます。次数が分からなければ、条件から先に絞ります。

2与えられた等式に代入し、両辺を展開して降べきの順に並べます。

3同じ次数の係数どうしを等号で結び、連立方程式を作ります。

4解いて得た f(x) を、元の等式に戻して確かめます。

つまずくのはここ

つまずき1｜f(1/x) の扱いで分母を残したまま比べる

x³ を掛けて分母を払ってから、多項式として係数を比べます。

つまずき2｜次数を決めずに進める

両辺の次数がそろう条件から、f の次数が絞れることがあります。

つまずき3｜求めた式を元の等式で確かめない

係数比較は必要条件を出しているだけなので、最後に代入して確認します。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。

練習1

x³ f(1/x) = −f(x) がすべての 0 でない x で成り立つとき、3次以下の整式 f(x) の形を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

f(x) = ax³ + bx² + cx + d と置きます。
f(1/x) = a/x³ + b/x² + c/x + d なので、
x³ f(1/x) = a + bx + cx² + dx³。
これが −(ax³ + bx² + cx + d) に等しいので、
d = −a、c = −b、b = −c、a = −d。
f(x) = ax³ + bx² − bx − a（a, b は任意の実数）
検算：a = 1, b = 2 なら f(x) = x³ + 2x² − 2x − 1。x³f(1/x) = 1 + 2x − 2x² − x³ = −f(x) で成り立ちます。
分母を払ってから、同じ次数の係数を比べる。

練習2

f(x) = x² − 1 のとき、f(x²) と {f(x)}² を計算し、その差を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

f(x²) = x⁴ − 1。
{f(x)}² = (x² − 1)² = x⁴ − 2x² + 1。
差は (x⁴ − 1) − (x⁴ − 2x² + 1) = 2x² − 2。
f(x²) − {f(x)}² = 2x² − 2 = 2(x² − 1)
検算：x = 2 なら f(4) = 15、{f(2)}² = 9、差は 6 = 2(4 − 1)。
f(x²) と {f(x)}² は別物。順番を入れかえてはいけない。

練習3

f(x) = ax + b が f(x²) = {f(x)}² をすべての x で満たすとき、a, b の値を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

f(x²) = ax² + b。
{f(x)}² = a²x² + 2abx + b²。
係数を比べると a = a²、0 = 2ab、b = b²。
a = 0 か 1、b = 0 か 1、かつ ab = 0。
(a, b) = (0, 0)、(0, 1)、(1, 0)
検算：(1, 0) なら f(x) = x で f(x²) = x² = {f(x)}²。(0, 1) なら f(x) = 1 で両辺 1。
恒等式なら、すべての次数の係数を比べる。