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高2｜複素数と方程式解き方がわからないときは 複素数と方程式｜解の公式・判別式・解と係数の関係【数学II】 を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは高校2年「複素数と方程式」の無料問題プリント（複素数と方程式6）です。このプリントは、広島文教女子大学の問題を扱います。3つの数の和と、3乗の和の条件から、少なくとも1つの値を言い当てる問題です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。
プリントをダウンロード
下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
和が0の形に持ち込んで証明するで何ができるようになるか
a + b + c = 0 のとき a3 + b3 + c3 = 3abc という関係があります。この問題は、x − 1、y − 1、z − 1 の和がちょうど 0 になるように作られています。ずらして和を 0 にすると、3乗の和が積に化けて、「積が 0」つまり「どれかが 0」が言えます。
解き方の手順
1条件を見て、和が 0 になるような置きかえを探します。x + y + z = 3 なら a = x − 1 などと置けば a + b + c = 0 です。
2a + b + c = 0 のとき a3 + b3 + c3 = 3abc を使います。
3もう一方の条件から、右辺の積が 0 になることを導きます。
4積が 0 なら、少なくとも1つの因数が 0。それを元の文字に戻します。
つまずくのはここ
つまずき1｜恒等式を使わずに展開してしまう
3乗の和をそのまま展開すると項が増えます。a + b + c = 0 の形を作れば1行で済みます。
つまずき2｜「少なくとも1つ」を「ちょうど1つ」と読む
2つ以上が 1 でも構いません。積が 0 であることだけが言えます。
つまずき3｜置きかえた文字を元に戻し忘れる
a = 0 で終わらせず、x − 1 = 0 すなわち x = 1 まで書きます。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。
練習1
a + b + c = 0 のとき、a3 + b3 + c3 = 3abc であることを示しなさい。
解答・解説を見る
解答
c = −(a + b) を代入します。
c3 = −(a + b)3 = −a3 − 3a2b − 3ab2 − b3。
a3 + b3 + c3 = −3ab(a + b)。
a + b = −c なので、これは 3abc と等しくなります。
a3 + b3 + c3 = 3abc
検算：a = 1, b = 2, c = −3 なら左辺 1 + 8 − 27 = −18、右辺 3·1·2·(−3) = −18。
和が 0 なら、3乗の和は積の3倍になる。
練習2
x + y + z = 3 のとき、(x − 1) + (y − 1) + (z − 1) の値を求めなさい。
解答・解説を見る
解答
和をとると (x + y + z) − 3 = 3 − 3。
0
検算：x = 0, y = 1, z = 2 なら (−1) + 0 + 1 = 0。
「和が一定」の条件は、ずらすと「和が 0」に変えられる。
練習3
x + y + z = 3、(x − 1)3 + (y − 1)3 + (z − 1)3 = 0 のとき、x, y, z の少なくとも1つは 1 であることを証明しなさい。
解答・解説を見る
解答
a = x − 1、b = y − 1、c = z − 1 と置くと、練習2 より a + b + c = 0。
練習1 より a3 + b3 + c3 = 3abc。
条件から左辺は 0 なので 3abc = 0、つまり abc = 0。
よって a, b, c の少なくとも1つが 0、すなわち x, y, z の少なくとも1つが 1。
x, y, z の少なくとも1つは 1
検算：x = 1, y = 0, z = 2 なら和は 3、3乗の和は 0 + (−1) + 1 = 0。条件を満たし、x = 1 です。
ずらして和を 0 にし、積が 0 に持ち込む。
複素数と方程式の他のプリント
同じ「複素数と方程式」の無料プリントは全部で 9 枚あり、すべて大学の入試問題です。前後以外のものを、出題校を添えて並べました。
- 複素数と方程式1｜素数を手がかりに整数解を絞る（東北大学）
- 複素数と方程式2｜n乗の式を割った余りを求める（茨城大学）
- 複素数と方程式3｜展開式で係数が最大になる項（弘前大学）
- 複素数と方程式4｜式の形から関数を決める（関西大学）
- 複素数と方程式8｜解と係数の関係で新しい方程式を作る（上智大学）
- 複素数と方程式9｜相反式から高次の値を求める（自治医科大学2019）
解き終わったら
- 複素数と方程式の特訓道場——入試水準の30題で力試し。
- 論理と証明の要点辞典——「少なくとも1つ」の示し方を確かめる。
数強塾について
数強塾は、数学が苦手な中高生を対象にしたオンライン数学専門塾です。プロ講師が完全1対1で担当し、指導システムと料金を公開しています。実際の成績推移は指導事例、通っている生徒の声は評判・口コミにまとめています。
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