複素数の範囲で2次方程式を解く｜高2 複素数と方程式（基礎）3

高2｜複素数と方程式解き方がわからないときは複素数と方程式｜解の公式・判別式・解と係数の関係【数学II】を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

2次方程式 x² + 5x + 7 = 0 を解きなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「複素数と方程式（基礎）」の無料問題プリント（複素数と方程式（基礎）3）です。このプリントは、実数の範囲では解けない2次方程式を、複素数の範囲で解く回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学複素数と方程式（基礎） 3

複素数の範囲で2次方程式を解くで何ができるようになるか

判別式が負でも、√ の中の符号を外に出せば解が書けます。√(−3) = √3 i と直すだけで、解の公式がそのまま使えます。実数の範囲で「解なし」だったものが、複素数では必ず2つの解をもつ——これが数の範囲を広げた効果です。

解き方の手順

1a, b, c を読み取り、判別式 D = b² − 4ac を計算します。

2D が負なら、√D = √(|D|) i と書き直します。

3解の公式に入れます。分母の 2a を忘れないこと。

4約分できるなら約分し、実部と虚部に分けて書きます。

つまずくのはここ

つまずき1｜√ の中の負号を外に出すときに i を落とす

√(−3) = √3 i です。−√3 ではありません。

つまずき2｜x² の係数が 1 でないときに分母を間違える

解の公式の分母は 2a。3x² なら 6 です。

つまずき3｜x² = 負の数のときに ± を落とす

x² = −18 の解は ±3√2 i の2つです。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。

練習1

x² = −18 を解きなさい。

解答・解説を見る

解答

x = ±√(−18) = ±√18 i = ±3√2 i。
x = 3√2 i、−3√2 i
検算：(3√2 i)² = 9 × 2 × (−1) = −18。合っています。
2乗して負になる数は2つある。± を忘れない。

練習2

x² + 5x + 7 = 0 を解きなさい。

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解答

D = 25 − 28 = −3。
x = (−5 ± √(−3))/2 = (−5 ± √3 i)/2。
x = (−5 + √3 i)/2、(−5 − √3 i)/2
検算：2解の和は −5、積は (25 + 3)/4 = 7。解と係数の関係と合っています。
D が負でも公式はそのまま使える。

練習3

3x² − √5 x + 1 = 0 を解きなさい。

解答・解説を見る

解答

D = 5 − 12 = −7。
x = (√5 ± √7 i)/6。分母は 2a = 6 です。
x = (√5 + √7 i)/6、(√5 − √7 i)/6
検算：和は √5/3 で、−b/a = √5/3。積は (5 + 7)/36 = 1/3 で、c/a = 1/3。合っています。
分母は 2a。係数が 1 でないときに間違えやすい。