判別式と虚数係数の方程式｜高2 複素数と方程式（基礎）4

高2｜複素数と方程式解き方がわからないときは複素数と方程式｜解の公式・判別式・解と係数の関係【数学II】を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

今日の一問

k を実数とする。方程式 x² + (3k + 2i)x + (1 + 3i) = 0 が実数解をもつように、k の値を定めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「複素数と方程式（基礎）」の無料問題プリント（複素数と方程式（基礎）4）です。このプリントは、判別式による解の種類の判別と、係数に虚数を含む方程式を扱う回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学複素数と方程式（基礎） 4

判別式と虚数係数の方程式で何ができるようになるか

係数に i が入っている方程式では、判別式は使えません。実数解 r があると仮定して代入し、実部と虚部に分けるのが定石です。虚部が 0 という式から r が決まり、実部が 0 という式から残りの文字が決まります。判別式が使えるのは、係数がすべて実数のときだけ——ここを間違えないことが要点です。

解き方の手順

1係数がすべて実数かを確かめます。実数なら判別式が使えます。

2虚数が混じっているなら、実数解を r と置いて代入します。

3式を実部と虚部に分け、両方が 0 になる条件を書きます。

4虚部の式は r だけの式になることが多いので、そこから r を求めます。

つまずくのはここ

つまずき1｜虚数係数のまま判別式を使う

判別式で解の種類が分かるのは実数係数のときだけです。

つまずき2｜実部と虚部の分け方を間違える

r² + 3kr + 1 + (2r + 3)i の形まで整理してから分けます。

つまずき3｜実数解の条件を2つとも使わない

実部 = 0 と虚部 = 0 の両方が必要です。片方だけでは足りません。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。

練習1

a, b を実数の定数とする。13x² − 2(2a − 3b)x + a² + b² = 0 の解の種類を判別しなさい。

解答・解説を見る

解答

D/4 = (2a − 3b)² − 13(a² + b²)。
展開すると 4a² − 12ab + 9b² − 13a² − 13b² = −9a² − 12ab − 4b²。
= −(3a + 2b)²。
3a + 2b = 0 のとき重解、それ以外は異なる2つの虚数解
検算：a = 2, b = −3 なら 3a + 2b = 0 で D = 0。a = b = 1 なら D/4 = −25 < 0 です。
判別式が平方の形に因数分解できることがある。

練習2

k を実数とする。方程式 x² + (3k + 2i)x + (1 + 3i) = 0 が実数解をもつように、k の値と、その実数解を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

実数解を r とすると r² + 3kr + 2ri + 1 + 3i = 0。
実部：r² + 3kr + 1 = 0。虚部：2r + 3 = 0。
虚部から r = −3/2。実部に入れて 9/4 − (9/2)k + 1 = 0、(9/2)k = 13/4。
k = 13/18、実数解は x = −3/2
検算：r = −3/2、k = 13/18 を元の式に入れると、実部も虚部も 0 になります。
虚部の式は r だけの式になる。そこから r が決まる。

練習3

(3 + 2i)x² + (8 + 5i)x − 3(1 + i) = 0 を満たす実数 x を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

実部と虚部に分けます。
実部：3x² + 8x − 3 = 0 → (3x − 1)(x + 3) = 0 → x = 1/3, −3。
虚部：2x² + 5x − 3 = 0 → (2x − 1)(x + 3) = 0 → x = 1/2, −3。
両方を満たすのは共通の値だけです。
x = −3
検算：x = −3 を入れると (3+2i)(9) + (8+5i)(−3) − 3 − 3i = 27 + 18i − 24 − 15i − 3 − 3i = 0。
実部と虚部の両方を満たす値だけが答え。