高2｜複素数と方程式解き方がわからないときは 複素数と方程式｜解の公式・判別式・解と係数の関係【数学II】 を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは高校2年「複素数と方程式（基礎）」の無料問題プリント（複素数と方程式（基礎）5）です。このプリントは、解と係数の関係を使って、解の対称式の値を求める回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。
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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
解と係数の関係で対称式を求めるで何ができるようになるか
2次方程式 ax2 + bx + c = 0 の2解について、和は −b/a、積は c/a。解を実際に求めなくても、この2つで対称式の値はすべて計算できます。α2 + β2 も (α − β)2 も、和と積で書き直せるからです。
解き方の手順
1a, b, c を読み取り、α + β = −b/a、αβ = c/a を書きます。
2求めたい式を、和と積だけで表せる形に変形します。
3α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ。(α − β)2 = (α + β)2 − 4αβ。
4値を代入します。分数のまま扱って構いません。
つまずくのはここ
つまずき1｜和の符号を間違える
α + β = −b/a です。マイナスが付きます。
つまずき2｜x2 の係数で割り忘れる
2x2 − 6x − 3 = 0 なら和は 6/2 = 3、積は −3/2 です。
つまずき3｜対称式でない式に使おうとする
α − β そのものは対称式ではないので、和と積だけでは決まりません。2乗にすれば対称式になります。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。
練習1
2次方程式 2x2 − 6x − 3 = 0 の2つの解を α, β とするとき、α + β と αβ を求めなさい。
解答・解説を見る
解答
α + β = −(−6)/2 = 3。
αβ = (−3)/2 = −3/2。
α + β = 3、αβ = −3/2
検算：解は (3 ± √15)/2。和は 3、積は (9 − 15)/4 = −3/2 です。
係数で割るのを忘れない。
練習2
練習1 の α, β について、α2 + β2 の値を求めなさい。
解答・解説を見る
解答
α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ。
= 32 − 2 × (−3/2) = 9 + 3。
12
検算：解 (3 ± √15)/2 の2乗の和は (9 + 6√15 + 15 + 9 − 6√15 + 15)/4 = 48/4 = 12。
2乗の和は「和の2乗 − 2×積」。
練習3
練習1 の α, β について、(α − β)2 の値を求めなさい。
解答・解説を見る
解答
(α − β)2 = (α + β)2 − 4αβ。
= 9 − 4 × (−3/2) = 9 + 6。
15
検算：解の差は √15 なので、その2乗は 15。合っています。
差の2乗は「和の2乗 − 4×積」。2乗にすれば対称式になる。
複素数と方程式（基礎）の他のプリント
同じ「複素数と方程式（基礎）」の無料プリントは全部で 10 枚あり、前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。
- 複素数と方程式（基礎）1｜実部・虚部と複素数の相等
- 複素数と方程式（基礎）2｜分母を実数にする割り算
- 複素数と方程式（基礎）3｜複素数の範囲で2次方程式を解く
- 複素数と方程式（基礎）7｜解が指定の範囲にある条件
- 複素数と方程式（基礎）8｜剰余の定理と因数定理
- 複素数と方程式（基礎）9｜複数の条件から余りを決める
- 複素数と方程式（基礎）10｜1の3乗根と相反方程式
解き終わったら
- 複素数と方程式（基礎）の特訓道場——30題で計算を固める。
- 数学II・B・Cの要点辞典 第2章 複素数と方程式——解と係数の関係を確かめる。
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