高２数学｜式と証明（基本） 3（無料問題PDF）

このページは高校2年「式と証明（基本）」の無料問題プリント（式と証明（基本）3）です。このプリントは、二項定理を使って大きな数の余りや特定の位の数を求める回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の式で確かめてください。

プリントをダウンロード

下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高２数学 式と証明（基本） 3

二項定理を余りや位に使うで何ができるようになるか

11¹⁰ のような数は、そのまま計算すると桁が大きすぎます。しかし 11 = 10 + 1 と見て二項展開すると、100 で割る場合は 10² 以上の項がすべて消えます。必要な項だけを残せるのが、この使い方の強みです。「割る数に合わせて、どこまでの項を残すか」を決めるのが要点になります。

解き方の手順

つまずくのはここ

数強塾オリジナルの練習問題

プリントと同じ考え方を、式を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは式が異なります。

解答・解説を見る

解答

11 = 10 + 1 として二項展開します。
(10 + 1)¹⁰ = 10¹⁰ + … + ₁₀C₁×10 + 1。
10² 以上の項は 100 で割り切れるので、残るのは 10×10 + 1 = 101。
101 を 100 で割ると余り 1。
1
検算：11² = 121 の余りは 21、11³ = 1331 の余りは 31。余りは 1, 11, 21, 31, … と 10 ずつ増え、10 乗で 1 に戻ります。
割る数に合わせて、残す項の範囲を決める。

解答・解説を見る

解答

101 = 100 + 1 として展開します。
10000 = 100² 以上の項は下 4 桁に影響しません。
残るのは ₁₀C₁×100 + 1 = 1000 + 1。
1001
検算：101² = 10201 の下4桁は 0201、101³ = 1030301 の下4桁は 0301。規則どおりに増えています。
「下 n 桁」は「10ⁿ で割った余り」と同じこと。

解答・解説を見る

解答

3² = 9 = 8 + 1 なので、3² を 8 で割ると 1 余ります。
3¹⁰⁰ = (3²)⁵⁰ なので、余りは 1⁵⁰ と同じ。
1
検算：3⁴ = 81 = 8×10 + 1。指数が偶数のとき余りは 1 になります。
小さい指数で 1 になる形を探すと、あとは累乗するだけ。

式と証明（基本）の他のプリント

同じ「式と証明（基本）」の無料プリントは全部で 20 枚あります。前後以外のものを、扱っている内容を添えて並べました。上から順にやる必要はないので、いま必要なところから選んでください。

• 式と証明（基本）1｜二項定理で展開する
• 式と証明（基本）5｜割り算の関係から式を求める
• 式と証明（基本）6｜分数式を通分して計算する
• 式と証明（基本）7｜分数式を差の形に直す
• 式と証明（基本）8｜繁分数式を整理する
• 式と証明（基本）9｜恒等式の係数を決める
• 式と証明（基本）10｜3乗の展開と因数分解
• 式と証明（基本）11｜立方公式と多項定理を使い分ける
• 式と証明（基本）12｜展開式の係数だけを取り出す
• 式と証明（基本）13｜商と余りを求める
• 式と証明（基本）14｜割る式を逆算で求める
• 式と証明（基本）15｜分数式を約分して掛け割りする
• 式と証明（基本）16｜分数式の四則をまとめて扱う
• 式と証明（基本）17｜恒等式と、文字に無関係な条件
• 式と証明（基本）18｜条件つきの等式を証明する
• 式と証明（基本）19｜相加平均と相乗平均で不等式を示す
• 式と証明（基本）20｜平方完成で不等式を示す・比の値

解き終わったら

• 数学II・B・Cの要点辞典 第1章 式と証明——単元の要点をまとめて確認する。
• 式と証明の特訓道場——入試水準の30題で通しの力試し。

数強塾について

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