高２数学｜式と証明（基本） 10（無料問題PDF）

解答

恒等式なのでどんな x でも成り立つ。扱いやすい値を代入する。
x = −1 を代入：左辺 = 3 なので c = 3。
x = 0 を代入：3 = a + b + c より a + b = 0。
x = 1 を代入：7 = 4a + 2b + c より 4a + 2b = 4。
連立して a = 2, b = −2, c = 3。
検算：右辺を展開すると 2x² + 2x + 3 に戻る。
代入法は必要条件しか出ない。最後に「実際に恒等式になる」ことを展開して確かめるか、係数比較で求めておくと減点されない。

解答

x > 0、121/x > 0 なので相加平均・相乗平均の関係が使える。
x + 121/x ≧ 2√(x × 121/x) = 2√121 = 22
等号成立は x = 121/x のとき、すなわち x² = 121 で x = 11（x > 0 より）。
検算：x = 11 のとき 11 + 121/11 = 11 + 11 = 22。
等号成立条件を必ず書く。「≧ 22 だから最小値 22」だけでは、その値を実際にとれるか示せておらず減点される。また x > 0 の条件も必須。

解答

x² + y² = (x + y)² − 2xy = (−4)² − 2×(4) = 8
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = (−4)³ − 3×(4)×(−4) = −16
検算：x, y は t² + 4t + 4 = 0 の解で −2 と −2。実際 (−2)² + (−2)² = 8、(−2)³ + (−2)³ = −16。一致する。
対称式は基本対称式 x+y と xy だけで書ける。これを知っていると個々の値を求めずに済む。