分母に2乗があるときの部分分数｜高3 数学Ⅲの積分5

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今日の一問

∫ (x + 2) / {x(x + 1)²} dx を求めなさい。

——さて、どこから手をつける？

答えと考え方は、この記事の中で順を追って解説します。

このページは高校2年「数学Ⅲの積分」の無料問題プリント（数学Ⅲの積分5）です。このプリントは、分母に2乗の因数を含む分数式を部分分数に分けて積分する回です。プリントを解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を段階を追って確かめてください。

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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。

高３数学数学Ⅲの積分 5

分母に2乗があるときの部分分数で何ができるようになるか

分母に (x + 1)² があるときは、a/(x+1) と b/(x+1)² の2つを用意します。1つだけでは元の式に戻せません。係数は、分母を払った恒等式に「分母が 0 になる値」を代入し、足りない分は係数比較で決めます。

解き方の手順

1分母の因数を書き出します。2乗の因数は、1乗と2乗の2項を用意します。

2分母を払って恒等式を作ります。

3分母が 0 になる値を代入して、決まる係数から先に求めます。

4残りは、いちばん高い次数の係数を比べて決めます。

つまずくのはここ

つまずき1｜2乗の因数に1項しか置かない

a/x + c/(x+1)² だけでは足りません。b/(x+1) が要ります。

つまずき2｜代入だけで全部決めようとする

代入で決まるのは、分母が 0 になる値のぶんだけ。残りは係数比較を使います。

つまずき3｜2乗の項の積分を log にする

1/(x+1)² の積分は −1/(x+1) です。

数強塾オリジナルの練習問題

プリントの問題にたどり着くまでを、3段に分けて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。

練習1

(x + 2)/{x(x + 1)²} を a/x + b/(x + 1) + c/(x + 1)² の形に分けなさい。

解答・解説を見る

解答

分母を払うと x + 2 = a(x + 1)² + bx(x + 1) + cx。
x = 0 を代入すると 2 = a。
x = −1 を代入すると 1 = −c より c = −1。
x² の係数を比べると 0 = a + b より b = −2。
2/x − 2/(x + 1) − 1/(x + 1)²
検算：x = 1 で左辺 3/4、右辺 2 − 1 − 1/4 = 3/4。一致します。
2乗の因数には2項を用意する。

練習2

練習1 の結果を使って ∫ (x + 2)/{x(x + 1)²} dx を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

2/x の積分は 2log|x|。
−2/(x+1) の積分は −2log|x+1|。
−1/(x+1)² の積分は +1/(x+1)。
2log|x| − 2log|x + 1| + 1/(x + 1) + C
検算：微分すると 2/x − 2/(x+1) − 1/(x+1)² で、元の分数に戻ります。
2乗の項だけ log にならない。

練習3

∫ 1/(x² − 1) dx を求めなさい。

解答・解説を見る

解答

x² − 1 = (x − 1)(x + 1)。
1/{(x−1)(x+1)} = (1/2){1/(x − 1) − 1/(x + 1)}。
（分母の差が 2 なので、全体を 2 で割ります。）
(1/2) log|(x − 1)/(x + 1)| + C
検算：x = 3 で微分の値は 1/8、被積分関数も 1/(9−1) = 1/8。一致します。
分母の差で割るのを忘れない。