高3｜数学IIIの積分解き方がわからないときは 数学III「積分法」の公式と解き方｜置換・部分積分・例題10問 を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。
このページは数学III「不定積分」の無料問題プリント（不定積分）です。プリントをダウンロードして解いたあと、ページ下部の数強塾オリジナルの練習問題3問で、同じ考え方を別の数字で確かめてください。解答には、途中でつまずきやすい箇所の説明を付けています。
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下のリンクから PDF が開きます。印刷して手で解くのがいちばん定着します。
不定積分で何ができるようになるか
微分の逆をたどります。多項式・三角関数・指数対数の基本形に加えて、置換積分と部分積分という2つの道具を使えるようにします。
解き方の手順
1まず基本形（xn・sin・cos・ex・1/x）に当てはまるか見る。
2中身が1次式なら係数の逆数を掛けるだけでよい。
3積の形で片方の微分がもう片方に現れていたら置換積分。
4答えを微分し直して元に戻るか確かめる。積分の検算はこれが最速。
つまずくのはここ
つまずき1｜積分定数 C を書かない
不定積分の答えには必ず + C が付きます。これを落とすだけで減点される、最も安い失点です。
つまずき2｜中身が1次式のときの係数を掛け忘れる
∫sin(ax+b)dx では 1/a が付きます。微分し直せば内側の a が出てくることから確認できます。
つまずき3｜置換したのに dx を置き換えない
t = … と置いたら、dx も dt に直します。ここを忘れると次元が合わず、微分して戻しても元に戻りません。
数強塾オリジナルの練習問題
プリントと同じ考え方を、数字を変えて出題しています。まず自分で解いてから「解答・解説を見る」を開いてください。このページ専用の問題なので、他のページとは数字が異なります。
練習1
次の不定積分を求めなさい。 ∫(5x2 − 2x − 2) dx
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解答
各項に ∫xn dx = xn+1/(n+1) + C を使う。
∫5x2 dx = 5/3x3、∫−2x dx = −x2、∫−2 dx = −2x
5/3x3 − x2 − 2x + C検算：微分すると 5x2 − 2x − 2 に戻る。
積分定数 C を必ず書く。不定積分でこれを落とすと減点される。
練習2
次の不定積分を求めなさい。 ∫ sin(3x + 1) dx
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解答
中身が x の1次式なので、係数の逆数を掛けるだけでよい。
∫ sin(ax + b) dx = −(1/a) cos(ax + b) + C−1/3 cos(3x + 1) + C
検算：微分すると、合成関数の微分で内側の 3 が出てきて −1/3 × (−sin(…)) × 3 = sin(…) に戻る。
1/3 を掛け忘れるのが最も多い誤り。中身が1次式でないとき（例：sin(x2)）はこの方法は使えない。
練習3
置換積分を用いて次の不定積分を求めなさい。 ∫ x(x2 + 4)3 dx
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解答
t = x2 + 4 とおく。
両辺を微分して dt/dx = 2x、つまり x dx = (1/2)dt。
x dx がそのまま作れるのがこの置き方の狙い。
∫ t3 × (1/2)dt = (1/2) × t4/4 + Ct を戻して
(x2 + 4)4 / 8 + C
検算：微分すると 4(x2 + 4)3 × 2x / 8 = x(x2 + 4)3 に戻る。
置換したら dx も必ず置き換える。dt に直さずに計算するのが典型的な誤り。
不定積分の他のプリント
同じ「不定積分」の無料プリントは全部で 10 本あります。近い番号のものを並べました。
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分3（無料問題PDF）
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分4（無料問題PDF）
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分5（無料問題PDF）
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分6（無料問題PDF）
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分8（無料問題PDF）
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分9（無料問題PDF）
- 高３数学：数学Ⅲの積分｜不定積分10（無料問題PDF）
解き終わったら
- 数学IIIの要点辞典——積分を含む数III全範囲。
- 微分係数とは｜定義・意味・接線の傾き——逆の操作を確認する。
- 過去問解説・数学問題集——入試での出方を見る。
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