本郷中 算数の傾向と対策｜数強塾

本郷中学校 算数の傾向と対策【数強塾オリジナル】

本郷中学校（東京都豊島区駒込）は、都内でも人気の高い男子進学校です。算数は国語と並んで配点が高く、合否を左右する重要教科です。この記事では、本郷中学校が公式サイトで公開している募集要項と「作問の基本方針」の情報をもとに算数の枠組みを整理したうえで、オンライン数学専門塾「数強塾」が独自に作成したオリジナル類題5問を、考え方・解答・検算つきで掲載します。実在の過去問を書き写したものは一切なく、受験算数の標準的な題材をふまえて数強塾が新しく作った問題です。答えはすべて、正攻法とは別の方法による二重検算で一致を確認しています。

※本ページは公開情報にもとづく傾向分析と、数強塾オリジナルの自作類題による対策です。実際の問題文・図は学校公式サイトでご確認ください。

出題分野の傾向

ここでの記述は特定年度の問題の解説ではなく、算数50分・100点という枠組みと、公式サイトが示す「作問の基本方針」、そして男子進学校で一般的に問われる力から読み取れる方向づけの整理です。断定は避け、学習の道しるべとしてお読みください。実際の出題形式や難度は公式サイトの過去問でご確認ください。

• 小問集合で確実に得点する力：公式の作問方針では、小問集合で「基本事項を確実に習得し実行できる力」を測ると説明されています。計算や標準的な一行問題を、速く正確に処理できる状態にしておくことが得点の土台になります。
• 大問での「具体化」と「言い換え」の力：作問方針では、大問で「イメージのわきにくいものを具体化し、習った知識に言い換えて考える力」を重視するとされています。見慣れない設定でも、図をかき、既習の解法にひもづけて考える練習が有効です。
• 誘導（前問の活用）に乗る力：作問方針では「前の問いで得た情報を、後の問いで活用する力」も挙げられています。大問の(1)(2)(3)がつながる誘導形式に慣れ、前の小問の結果や考え方を次に生かす姿勢が大切です。
• 受験算数の主要分野を広く：速さ（旅人算・流水算）、平面図形（面積比・相似）、立体図形（体積・水量）、数の性質・規則性、割合（濃度）、場合の数など、主要分野を「なぜその式になるのか」まで理解して使いこなせる状態を目指しましょう。
• 途中式・図を書く習慣：具体化を求める作問方針からも、線分図・ダイヤグラム・面積図を自分の手でかいて状況を整理する習慣が支えになります。

オリジナル類題で対策

※以下の類題5問は、上記の傾向をふまえて数強塾が独自に作成したオリジナル問題です。実在の過去問の複製ではありません。全問、正攻法で解いたうえで別の方法による二重検算を行い、答えの一致を確認しています。図がなくても読み解けるよう、状況は文章で説明しています。

類題1（数の性質・規則性）

【方針】　分母が同じ分数がいくつ並ぶかに注目します。分母が□の分数は、1/□ から (□−1)/□ まで、ちょうど (□−1)個並びます。だから「分母□までに何個並んだか」は 1＋2＋3＋…＋(□−1) という和で求められます。この累計をたどって、50番目や 3/8 がどの分母のグループの何番目かを探します。前半で作った「累計の式」を後半でもそのまま使う、誘導型の考え方です。

【解答】　分母□までに並ぶ分数の個数の合計は、1＋2＋…＋(□−1)＝(□−1)×□÷2 です。
・分母10まで：9×10÷2＝45（個）。つまり45番目は 9/10。
・分母11まで：10×11÷2＝55（個）。
(1) 45番目までで分母10のグループが終わり、46番目から分母11のグループが始まります。46番目＝1/11、47番目＝2/11、48番目＝3/11、49番目＝4/11、50番目＝5/11。
(2) 3/8 は分母8のグループの3番目です。分母7までの合計は 6×7÷2＝21（個）なので、分母8のグループは22番目から始まります。22番目＝1/8、23番目＝2/8、24番目＝3/8。よって 3/8 は24番目。

【別解による検算】　分母b・分子aの分数の番号は「(b−1)までの累計＋a」＝(b−2)×(b−1)÷2＋a という式で一度に求められます。
(2) の 3/8（b＝8，a＝3）：(8−2)×(8−1)÷2＋3＝6×7÷2＋3＝21＋3＝24番目。解答と一致。
(1) 逆に50番目を求めると、45＜50≦55 なので分母11のグループにあり、グループ内の位置は 50−45＝5番目、すなわち5/11。こちらも一致しました。

類題2（速さ・旅人算）

【方針】　向かい合って進むときは、2人の速さの和で近づきます。(1) は「道のり÷速さの和」で求まります。(2) は、折り返しをふくむので、2人が出会うまでに2人あわせて進んだ道のりの合計に注目するのが定石です。向かい合って出発した2人が最初に出会うまでの合計はAB1つ分、2回目に出会うまでの合計はAB3つ分になります。

【解答】　速さの和は 90＋60＝150（m/分）。
(1) 最初に出会うまでに2人あわせて1800m進めばよいので、1800÷150＝12（分後）。
(2) 2回目に出会うまでに2人あわせて進む道のりは、AB3つ分＝1800×3＝5400（m）です。2人の速さの和は変わらず150m/分なので、5400÷150＝36（分後）。

【別解による検算】　36分後の2人の位置を、それぞれの進んだ道のりから直接確かめます。
・兄：分速90mで36分＝3240m進みます。兄はB（1800m地点）で折り返しているので、Bから 3240−1800＝1440m もどった位置、つまりAから 1800−1440＝360m の地点。
・弟：分速60mで36分＝2160m進みます。弟はA（0m地点）で折り返しているので、Aから 2160−1800＝360m 進んだ地点、つまりAから360mの地点。
2人とも「Aから360m」で一致し、たしかに出会っています。また12分後から36分後までの間に2人がすれちがう場面は他になく、これが2回目の出会いです。よって36分後で一致しました。

類題3（平面図形・相似と面積比）

【方針】　(1) は相似を使います。平行四辺形では辺BC（したがってBE）と辺ADが平行なので、点Fで交わる2本の直線がつくる三角形FBEと三角形FDAが相似になります。相似比は対応する辺BEとDA（＝BC）の比です。(2) は、平行四辺形の対角線BDが面積を半分にすることと、(1)で求めた比を使って、三角形ABDの中で三角形ABFの占める割合を求めます。前問の比を後の面積計算にそのまま生かす流れです。

【解答】　(1) BE∥AD なので、三角形FBEと三角形FDAは相似です（平行線がつくる錯角が等しいため）。相似比は BE：DA。DA＝BC で、BE＝BC×1/3 だから、BE：DA＝1：3。よって対応する辺の比から BF：FD＝1：3。
(2) 対角線BDは平行四辺形ABCDを面積の等しい2つの三角形に分けるので、三角形ABDの面積は平行四辺形の 1/2 です。
三角形ABFと三角形ABDは、頂点Aを共有し、底辺をBD上にとると BF：BD＝1：4（BF：FD＝1：3より）。高さが共通なので、面積比も 1：4。
よって三角形ABFの面積は 三角形ABD×1/4＝（平行四辺形×1/2）×1/4＝平行四辺形×1/8（倍）。

【別解による検算】　座標を使って確かめます。A（0，0）、B（3，0）、D（1，2）とすると、平行四辺形なので C＝B＋（D−A）＝（4，2）。BE：EC＝1：2 より E＝B＋(1/3)(C−B)＝（10/3，2/3）。
直線AEと対角線BDの交点Fを計算するとF（2.5，0.5）となり、BD上でBF：FD＝1：3。
三角形ABFの面積は 3×0.5÷2＝0.75。平行四辺形ABCDの面積は、辺ABを底辺（長さ3）、高さ2として 3×2＝6。0.75÷6＝1/8。解答と一致しました。

類題4（立体図形・水量）

【方針】　高さ24cmまでは、水はブロックのない部分にしか入れません。そこで「水そうの底面積−ブロックの底面積」＝水が入る部分の面積を使って体積を求めます。24cmをこえるとブロックの上まで水がまわり、そこからは水そうの底面全体（20×30）を使えます。段の高さで場合を分けて考えるのがコツです。

【解答】　水そうの底面積は 20×30＝600（cm²）、ブロックの底面積は 10×30＝300（cm²）。
(1) 高さ24cmまでは、水はブロックのない 600−300＝300（cm²）の部分に入ります。その体積は 300×24＝7200（cm³）。毎分1200cm³で注ぐので 7200÷1200＝6（分後）。
(2) 24cmから満水40cmまでの高さは 40−24＝16（cm）。この部分はブロックより上なので、水そうの底面全体600cm²を使えます。体積は 600×16＝9600（cm³）で、9600÷1200＝8（分）かかります。よって満水になるのは 6＋8＝14（分後）。

【別解による検算】　満水までに入る水の量を、体積の引き算で一気に求めます。水そう全体の体積は 20×30×40＝24000（cm³）、ブロックの体積は 10×30×24＝7200（cm³）。水が入るのはその差なので 24000−7200＝16800（cm³）。毎分1200cm³だから 16800÷1200＝14（分後）。(2)の解答と一致しました。（この16800cm³は、(1)の7200cm³と、24cm以上の9600cm³の和 7200＋9600＝16800 とも一致します。）

類題5（割合・濃度）

【方針】　濃度の問題は「ふくまれる食塩の重さ」を主役にして考えるのが基本です。(1) はA・Bそれぞれの食塩の重さを出して合計し、食塩水全体の重さで割ります。(2) は、水を蒸発させても食塩の重さは変わらないことを使い、濃度10％になるときの食塩水全体の重さから逆算します。(1)で求めた食塩の量を(2)でそのまま使う流れです。

【解答】　(1) 容器Aの食塩は 300×0.08＝24（g）、容器Bの食塩は 200×0.03＝6（g）。合わせると食塩は 24＋6＝30（g）、食塩水全体は 300＋200＝500（g）。濃度は 30÷500＝0.06＝6％。
(2) 水を蒸発させても食塩30gは変わりません。濃度10％になったときの食塩水全体の重さを□gとすると、□×0.1＝30 なので □＝30÷0.1＝300（g）。蒸発させる水は 500−300＝200（g）。

【別解による検算】　(2) の答えを逆向きに確かめます。500gの食塩水から水を200g蒸発させると、残りは 500−200＝300（g）。食塩は30gのままなので、濃度は 30÷300＝0.1＝10％。たしかに条件どおりです。
また(1)は「てんびん（面積図）」でも確かめられます。8％と3％を、量300gと200g（比3：2）で混ぜるので、混ぜた濃度は3％と8％を 2：3 に内分した位置。3＋(8−3)×2/5＝3＋2＝6％で一致しました。

学習アドバイス

【時期別】

• 6年生の夏まで：計算力と各分野の標準解法を穴なく仕上げることが最優先です。割合・比・速さ・図形・数の性質・規則性・場合の数を、この時期に一通り正確にしておきましょう。公式の作問方針が示すように、まずは「基本事項の確実な習得」が土台になります。計算は毎日、時間を計って正確さを鍛えます。
• 秋（9〜11月）：応用問題への対応力と、50分という時間配分の感覚を養う時期です。過去問は公式サイトで公開されている問題・解答例・正答率や市販の問題集で演習してください。大問では、見慣れない設定を図にかいて「具体化」し、既習の解法に言い換える練習を意識しましょう。誘導形式の大問では、前の小問の結果を次にどう使うかを言葉で確かめながら解く習慣が力になります。
• 直前期（12月〜1月）：これまでの問題を反復し、精度と再現性を高める時期です。本記事の【別解による検算】のように、別のルートで自分の答えを確かめる習慣を試験運びに組み込むと、本番での取りこぼしを減らせます。小問集合と大問前半を確実に取り切ることを最優先にしましょう。

【分野別】

• 数の性質・規則性：「何個ずつ並ぶか」「累計はいくつか」を式にして、番号と対象を行き来できるようにしましょう（類題1）。誘導形式で前問の式を後で使う練習にもなります。
• 速さ：旅人算では「速さの和・差」と「2人あわせて進んだ道のりの合計」に注目します（類題2）。線分図やダイヤグラムにかいて状況を整理する習慣を大切にしましょう。
• 平面図形：平行線がつくる相似から線分の比を求め、それを面積比につなげる発想（類題3）は図形問題の強力な武器です。「高さが等しい三角形の面積比＝底辺の比」を自在に使えるようにしましょう。
• 立体図形・水量：段やブロックのある水そうは「入る部分の面積」と「体積の引き算」の2つの見方を持つと、検算にも使えて安心です（類題4）。
• 割合・濃度：食塩水の問題は「食塩の重さは変わらない」を軸に考えるのが定石です（類題5）。てんびん（面積図）を併用すると検算にも役立ちます。

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