中２数学｜一次関数の式の求め方傾き・切片・2点から求める【中2数学】（無料問題PDF）

中2｜一次関数解き方がわからないときは中２数学｜一次関数とは？式・変化の割合・グラフを基礎から解説【中2数学】（無料問題PDF）を先に読むと、この問題で何を問われているかが分かります。

一次関数の式を求めるとは、y＝ax＋bの傾きaと切片bを決めることです。与えられた条件から先に傾きを求め、分かっている一点を代入して切片を求める方法を身に付ければ、二点・表・グラフ・平行線の問題を同じ考え方で解けます。

式を求めるとは`a`と`b`を決めること

一次関数の一般的な式は次の形です。

y＝ax＋b

a：傾き＝変化の割合
b：y切片＝x＝0のときのyの値

式を一つに決めるには、通常、aとbを決めるための二つの情報が必要です。例えば「傾きと切片」「傾きと直線上の一点」「直線上の異なる二点」です。

与えられる条件	最初にすること	次にすること
傾きと切片	`a`と`b`を読む	そのまま式へ入れる
傾きと一点	`a`を式へ入れる	一点を代入して`b`を求める
一点と`y`切片	`b`を式へ入れる	一点を代入して`a`を求める
異なる二点	二点から`a`を求める	どちらか一点を代入して`b`を求める
グラフ	座標が正確に読める二点を選ぶ	二点の問題として解く
表	二組の値から変化の割合を求める	一組を代入して`b`を求める
平行な直線と一点	平行な直線の傾きを使う	一点を代入して`b`を求める

条件が変わっても基本は同じです。① y＝ax＋bと置く、②傾きaを決める、③一点を代入して切片bを決める、④全条件で確かめる、の順で進めます。

傾きと切片が分かる場合

傾きとy切片が直接与えられている場合は、それぞれをaとbへ入れます。

例1：傾きと切片をそのまま使う

問題：傾きが－3、y切片が4である一次関数の式を求めましょう。

a＝－3、b＝4なので、

y＝－3x＋4

答え：y＝－3x＋4

「切片－4」と「切片の絶対値が4」は異なります。切片が－4ならb＝－4で、式は…－4となります。

傾きと一点が分かる場合

y＝ax＋bへ、与えられた傾きを入れる。
直線上の点（x, y）を式へ代入する。
bについての方程式を解く。
求めたaとbを式へ入れ、点をもう一度代入して確かめる。

例2：傾きと通る一点

問題：傾きが2で、点（3, －1）を通る一次関数の式を求めましょう。

傾き2を入れると、y＝2x＋bです。点（3, －1）を通るので、x＝3、y＝－1を代入します。

－1＝2×3＋b
－1＝6＋b
b＝－7

したがってy＝2x－7です。

確かめ：x＝3のときy＝2×3－7＝－1で、与えられた点を通ります。

答え：y＝2x－7

一点と`y`切片が分かる場合

y切片が分かるならbを先に入れ、直線上の一点からaを求めます。

例3：切片と通る一点

問題：y切片が5で、点（－2, 1）を通る一次関数の式を求めましょう。

y＝ax＋5へ、x＝－2、y＝1を代入します。

1＝－2a＋5
－2a＝－4
a＝2

答え：y＝2x＋5

確かめ：x＝0のときy＝5、x＝－2のときy＝1です。

二点が分かる場合

二点（x₁, y₁）、（x₂, y₂）のx座標が異なるとき、傾きは次の式で求められます。

a＝（y₂－y₁）/（x₂－x₁）
（x₂≠x₁）

例4：二点から傾きと切片を求める

問題：二点（－1, 4）、（3, －8）を通る一次関数の式を求めましょう。

1. 傾きを求める：

a＝｛－8－4｝/｛3－（－1）｝
＝－12/4
＝－3

2. 一点を代入する：y＝－3x＋bへ（－1, 4）を代入します。

4＝－3×（－1）＋b
4＝3＋b
b＝1

答え：y＝－3x＋1

確かめ：x＝－1でy＝4、x＝3でy＝－8となり、両方の点を通ります。

傾きの分子と分母は、引く順序をそろえます。分子を「二点目－一点目」としたら、分母も「二点目－一点目」です。一方だけ逆にすると符号が反対になります。

グラフから式を求める場合

グラフでは、直線上にあることが確実で、座標を正確に読める格子点を二つ選びます。y軸との交点が正確に読めれば、それを切片として使うと短く解けます。

例5：切片ともう一点をグラフから読む

ある直線が（0, －2）と（4, 1）を通ると読み取れたとします。（0, －2）から切片は－2です。傾きは、

a＝｛1－（－2）｝/（4－0）＝3/4

答え：y＝（3/4）x－2

確かめ：x＝4のときy＝3－2＝1です。

線の太さや印刷のずれで座標が曖昧な点は使いません。見た目の角度から傾きを推測せず、軸の目盛りと二点の座標から計算します。

平行な直線の式を求める場合

異なる二直線が平行なら、傾きは等しく、切片は異なります。元の直線の式から傾きを読み、求める直線が通る一点を代入します。

例6：平行な直線と一点

問題：直線y＝－（1/2）x＋4に平行で、点（6, －5）を通る直線の式を求めましょう。

平行なので傾きは－1/2です。y＝－（1/2）x＋bへ点を代入します。

－5＝－（1/2）×6＋b
－5＝－3＋b
b＝－2

答え：y＝－（1/2）x－2

元の直線とは傾きが同じで、切片4と－2が異なるため、交わらない平行な二直線です。

表から式を求める場合

表から二組の（x, y）を選び、変化の割合を求めます。その後、表のどれか一組を代入して切片を求めます。

例7：値の間隔がそろっていない表

変数	－2	0	3
`y`	7	3	－3

（－2, 7）と（0, 3）から傾きを求めます。

a＝（3－7）/｛0－（－2）｝＝－4/2＝－2

x＝0のときy＝3なので、切片は3です。

答え：y＝－2x＋3

確かめ：x＝3のときy＝－6＋3＝－3で、残りの組にも合います。

連立方程式で求める別解

二点が与えられたとき、それぞれをy＝ax＋bへ代入し、aとbについての連立方程式を解くこともできます。

例4の二点を代入すると、

4＝－a＋b
－8＝3a＋b

下の式から上の式を引くと－12＝4aよりa＝－3、さらにb＝1です。標準的には変化の割合から傾きを求める方法が短いですが、連立方程式でも同じ結果になります。

式を求めた後の検算

答えを書いたら、使わなかった条件も含めて全て確認します。

求めた式のxの係数が、与えられた傾きや平行条件と一致するか。
与えられた全ての点を代入し、左辺のyと右辺が一致するか。
x＝0のときの値が、与えられた切片やグラフと一致するか。
表に三組以上ある場合、傾きを求めるために使わなかった組にも合うか。

二点から求める問題で一方の点だけに合う式は、まだ正解とはいえません。必ず両方へ代入します。

式が一つに決まらない場合と縦の直線

一点だけが与えられ、傾きも切片も分からない場合、その点を通る直線は無数にあるため、式は一つに決まりません。

また、二点のx座標が同じ場合、傾きの分母が0になります。例えば（2, 1）と（2, 7）を通る直線はx＝2という縦の直線です。一つのx＝2に複数のyが対応するため、y＝ax＋bの一次関数としては表せません。

一方、二点のy座標が同じなら傾きは0です。例えば（－3, 5）と（4, 5）を通る水平な直線はy＝5と表せます。

よくある誤りと直し方

誤り	直し方
傾きと切片を逆に入れる	`y`＝`ax`＋`b`で、`x`の係数が傾き、定数項が切片
点（3, －1）を`x`＝－1、`y`＝3とする	座標は（`x`座標, `y`座標）の順
傾きの分子と分母で引く順序が違う	二つとも「二点目－一点目」のように順序をそろえる
二点から傾きを求めて終える	一点を代入して切片も求め、`y`＝`ax`＋`b`まで書く
平行なら切片も同じにする	異なる平行線は傾きが同じで切片は異なる
一つの点だけで式が決まると思う	傾きまたは切片など、もう一つの独立した条件が必要

確認問題

傾きが4、y切片が－3である一次関数の式を求めましょう。
傾きが－2で、点（－3, 5）を通る一次関数の式を求めましょう。
y切片が1で、点（2, 7）を通る一次関数の式を求めましょう。
二点（－2, －1）、（4, 8）を通る一次関数の式を求めましょう。
直線y＝3x－6に平行で、点（－1, 4）を通る直線の式を求めましょう。
（x, y）＝（－1, 6）、（2, 0）、（5, －6）を満たす一次関数の式を求めましょう。
グラフから、直線が（0, 3）と（2, －1）を通ると読み取れました。この直線の式を求めましょう。
二点（－3, 5）、（4, 5）を通る直線の式を求めましょう。
二点（2, 1）、（2, 7）を通る直線は、y＝ax＋bの形で表せますか。理由も答えましょう。

確認問題の解答と確かめ

y＝4x－3。
y＝－2x＋bへ（－3, 5）を代入すると5＝6＋bよりb＝－1。答えはy＝－2x－1です。
7＝2a＋1よりa＝3。答えはy＝3x＋1です。
傾きは｛8－（－1）｝/｛4－（－2）｝＝9/6＝3/2。（－2, －1）を代入すると－1＝－3＋bよりb＝2。答えはy＝（3/2）x＋2です。
傾きは3。4＝3×（－1）＋bよりb＝7。答えはy＝3x＋7です。
傾きは（0－6）/｛2－（－1）｝＝－6/3＝－2。0＝－2×2＋bよりb＝4。答えはy＝－2x＋4で、x＝5のときy＝－6です。
傾きは（－1－3）/（2－0）＝－4/2＝－2、切片は3。答えはy＝－2x＋3です。
yの増加量が0なので傾きは0です。答えはy＝5です。
表せません。二点を通る直線はx＝2という縦の直線で、一つのx＝2に複数のyが対応するからです。

まとめ

一次関数の式を求めることは、y＝ax＋bのaとbを決めること。
まず傾きaを求め、直線上の一点を代入して切片bを求める。
二点からは、（yの増加量）/（xの増加量）で傾きを求める。
異なる平行線は傾きが等しく、切片が異なる。
求めた式へ全ての点を代入し、全条件に合うことを確かめる。
x座標が同じ二点を通る縦の直線は、yをxの一次関数として表せない。

学習範囲の根拠

この記事は、文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編」の第2学年「一次関数の表、式、グラフとそれらの相互関係」を基準に構成しています。変化の割合と傾き、切片、表・式・グラフの関連を反映しています。正式な内容は、文部科学省の解説PDFで確認できます。

前後の単元

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