自治医科大学 2014年度 数学

自治医科大学医学部 2014年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

問1（整式の除法）　答：5

【📖大切な定義】割り算の恒等式：A(x)=B(x)Q(x)+R(x)（R の次数は B の次数未満）。「割り切れる＝R が恒等的に0」という対応が崩れると、係数比較の式が立てられません。

【👀ここに注目】p、q が整数とは限りません。マーク式でも係数は分数になり得ます。求めるのは p−q だけです。

方針・解答：x⁵+3x⁴+px³+qx−2 を x²+3x+4 で筆算すると、商は x³+(p−4)x−3(p−4)、余りは {q+5(p−4)}x+{12(p−4)−2}。余り0より 12(p−4)=2 かつ q=−5(p−4)。よって p−4=1/6、p=25/6、q=−5/6。p−q=25/6+5/6=5。

【✅検算】(x²+3x+4)(x³+x/6−1/2) を展開すると x⁵+3x⁴+(25/6)x³−(5/6)x−2 に一致。

問2（指数の対称式）　答：2

【📖大切な定義】t=u+1/u（u>0）は相加相乗平均より t≧2 で、等号は u=1 のときに限ります。

【👀ここに注目】u=x^{1/4} とおくと u+1/u=2。等号成立条件から即座に u が確定します。

方針・解答：u+1/u=2 かつ u>0 より u=1、すなわち x=1。よって x^{3/4}+x^{−3/4}=1+1=2。対称式で解くなら u³+1/u³=(u+1/u)³−3(u+1/u)=8−6=2 としても同じです。

【✅検算】x=1 を元の条件に代入：1+1=2 で成立し、求値式も 2。

問3（指数方程式）　答：3

【📖大切な定義】a>0、a≠1 のとき a^X=a^Y ⇔ X=Y（指数関数の単調性）。底をそろえないとこの同値変形は使えません。

【👀ここに注目】16/9=(4/3)²=(3/4)^{−2} なので、底を 3/4 に統一できます。

方針・解答：(16/9)^{x−1}=(3/4)^{−2(x−1)} より、方程式は (3/4)^{2x}=(3/4)^{−2x+2}。指数比較で 2x=−2x+2、x=1/2=a。6a=3。

【✅検算】x=1/2：左辺=(3/4)¹=3/4、右辺=(16/9)^{−1/2}=3/4 で一致。

問4（対数不等式）　答：2

【📖大切な定義】真数条件：log の中身は正。これを忘れると存在しない解を数えてしまいます。底の変換により 4log₄(x−1)=2log₂(x−1)。

【👀ここに注目】真数条件 x+1>0 かつ x−1>0 から、整数 x は x≧2 に限られます。

方針・解答：不等式は log₂{(x+1)(x−1)²}>0、すなわち (x+1)(x−1)²>1。x=2 のとき 3·1=3>1 で成立。x≧2 が前提なので、最小の整数は x=2。

【✅検算】x=2：log₂3+2log₂1=log₂3≈1.58>0 で成立。

問5（三角関数の式の値）　答：1

【📖大切な定義】1−cos²θ=sin²θ。相互関係を因数分解 (1−cosθ)(1+cosθ) の形で使えるかがこの問題の生命線です。

【👀ここに注目】θ の値は定まらないのに a が定数として問われている＝式が θ によらない定数に化けるはずです。

方針・解答：sinθ·(1/tanθ)=cosθ。第2項は sin²θ/(cosθ−1)=(1−cos²θ)/(cosθ−1)=−(1+cosθ)。よって a=cosθ−(1+cosθ)=−1。a²=1。

【✅検算】θ=π/3：sinθ(1/√3−√3)=(√3/2)(−2/√3)=−1 で一致。

問6（三角方程式）　答：1

【📖大切な定義】2倍角公式 cos2θ=1−2sin²θ。cos2θ を sinθ だけで表せることが、sinθ の2次方程式への帰着を可能にします。

【👀ここに注目】解 α、β の和を π で割った値が問われている＝単位円上の対称性（sinθ=k の2解は θ と π−θ）が使えます。

方針・解答：1−2sin²θ−3sinθ+1=0 より 2sin²θ+3sinθ−2=0、(2sinθ−1)(sinθ+2)=0。sinθ=1/2（sinθ=−2 は不適）。0≦θ<2π で θ=π/6、5π/6。(α+β)/π=(π/6+5π/6)/π=1。

【✅検算】θ=π/6：cos(π/3)−3·(1/2)+1=1/2−3/2+1=0 で成立。

問7（放物線と直線が接する整数条件）　答：7

【📖大切な定義】放物線と直線が接する ⇔ 連立して得る2次方程式の判別式 D=0。「接する」を重解条件に翻訳できないと数え上げに入れません。

【👀ここに注目】D=0 を b について解き、b が整数になる a の条件（偶奇）を調べます。

方針・解答：x²+ax+b=x+a より x²+(a−1)x+(b−a)=0。D=(a−1)²−4(b−a)=0 から b=a+(a−1)²/4。b が整数となるのは a が奇数のとき。a=2m+1 とおくと b=m²+2m+1=(m+1)²。b<10 より (m+1)²<10、すなわち m+1=0、±1、±2、±3 の7通り。a はすべて異なるので (a,b) は 7 組。

【✅検算】計算機で a を全整数範囲で走査しても、条件を満たす組は7組のみ。

問8（確率・同色3個）　答：5

【📖大切な定義】同様に確からしい根元事象では P=（favorable な組合せ数）/（全組合せ数）。球は色が同じでも区別して数えるのが原則です。

【👀ここに注目】「3個とも同色」は赤・黄・青の排反な3ケースの和です。

方針・解答：全事象 ₁₀C₃=120。同色は ₄C₃+₃C₃+₃C₃=4+1+1=6。p=6/120=1/20。100p=5。

【✅検算】1/20=0.05、100倍で5。分子6の内訳（4+1+1）も総当たりで確認済み。

問9（反復試行の確率）　答：9

【📖大切な定義】反復試行：n 回中ちょうど k 回成功する確率は ₙCₖ p^k(1−p)^{n−k}。「ちょうど」の位置づけが崩れると係数 ₙCₖ を落とします。

【👀ここに注目】正解確率は 1/2 なので p^k(1−p)^{n−k}=(1/2)^{10} とまとめられます。

方針・解答：p=₁₀C₂(1/2)^{10}=45/1024。よって 。答：9。

【✅検算】45/5=9。数値でも 1024/5×0.043945…=9.000。

問10（円に内接する四角形）　答：7

【📖大切な定義】円に内接する四角形の対角の和は180°。したがって cos D=cos(180°−B)=−cos B。この符号反転が連立の鍵です。

【👀ここに注目】対角線 AC を△ABC と△ACD の両方から余弦定理で2通りに表します。

方針・解答：△ABC で AC²=7²+7²−2·7·7cosB=98−98cosB。△ACD で AC²=5²+3²−2·5·3cos(180°−B)=34+30cosB。等置して 98−98cosB=34+30cosB、cosB=1/2。AC²=98−49=49、AC=7。

【✅検算】34+30·(1/2)=49 で両式が一致。B=60°、D=120° も整合。

問11（円と直線・三角形の面積の最大）　答：5

【📖大切な定義】点と直線の距離 d=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)。弦の半分は √(r²−d²)。この2つで S が d だけの関数になります。

【👀ここに注目】S=d·√(2−d²) は d²=1 のとき最大（相加相乗平均：d²(2−d²)≦1）。

方針・解答：O から y=2x+k までの距離は d=|k|/√5。S=(1/2)·2√(2−d²)·d=d√(2−d²)。d²(2−d²) は d²=1 で最大値1をとる（このとき d²<2 で2交点条件も満たす）。k²/5=1 より k²=5。M²=5。

【✅検算】k² を走査した数値最大化でも k²=5.00 で S=1 が最大。

問12（外接円の中心と面積比）　答：6

【📖大切な定義】中心角は円周角の2倍：∠AOB=2∠ACB。外接円の中心 O が絡む三角形の面積は (1/2)R²sin(中心角) で書けます。

【👀ここに注目】S₂ に必要なのは R と sin2C。正弦定理と余弦定理で sinC、cosC を出せば機械的に求まります。

方針・解答：BC²=9+4−2·3·2·cos60°=7、BC=√7。正弦定理より R=BC/(2sinA)=√7/√3、R²=7/3。S₁=(1/2)·3·2·sin60°=3√3/2。sinC=AB/(2R)=3√3/(2√7)、cosC=(7+4−9)/(2·√7·2)=1/(2√7) より sin2C=2sinC cosC=3√3/14。S₂=(1/2)·(7/3)·(3√3/14)=√3/4。よって 。答：6。

【✅検算】座標 A(0,0)、B(3,0)、C(1,√3) で外心を求めると O(3/2, 1/(2√3))、S₂=√3/4 で一致。

問13（円の接線と別の円の弦）　答：4

【📖大切な定義】直線が円の接線 ⇔ 中心から直線までの距離＝半径。弦の長さは 2√(r²−d²)。接線条件も弦長も同じ「距離」で処理します。

【👀ここに注目】R(2,0) を通る直線を y=m(x−2) とおき、原点からの距離＝1 で m を決めます（傾きは負の指定）。

方針・解答：|−2m|/√(m²+1)=1 より 4m²=m²+1、m²=1/3。負の傾きで m=−1/√3、L：x+√3y−2=0。C2 の中心 (4,0) から L までの距離は |4−2|/2=1。弦長 a=2√(25−1)=2·2√6=4√6。よって a/√6=4。

【✅検算】原点から L までの距離 |−2|/√4=1 で接線条件を再確認。24=25−1 も整合。

問14（楕円の接線）　答：9

【📖大切な定義】楕円 x²/a²+y²/b²=1 上の点 (x₀,y₀) における接線は x₀x/a²+y₀y/b²=1。公式が使えないと陰関数微分で数分を失います。

【👀ここに注目】まず点が楕円上にあること（3/4+1/4=1）を確認してから公式を適用します。

方針・解答：接線は 。y について解くと y=(3√3/2)x−6 なので k=3√3/2、k²=27/4。よって 。答：9。

【✅検算】陰関数微分 dy/dx=−9x/(4y)=−9√3/(4·(−3/2))=3√3/2 で一致。

問15（漸化式と和）　答：8

【📖大切な定義】a_{n+1}=pa_n+q（p≠1）は特性方程式 α=pα+q の解 α を引いて等比数列 {a_n−α} に直します。この変形が崩れると和が計算できません。

【👀ここに注目】α=1 なので a_n−1=3^{n−1}(a₁−1)=3^{n−1}、つまり a_n=3^{n−1}+1 という見通しの良い形になります。

方針・解答：。S₇=(2187−1)/2+7=1100、S₈=(6561−1)/2+8=3288。S_n>2014 をみたす最小の n は 8。

【✅検算】漸化式を直接回して逐次加算しても S₇=1100≦2014＜S₈=3288。

問16（等比数列と等差数列の融合）　答：9

【📖大切な定義】等比中項：x、y、z が等比数列 ⇔ y²=xz。等差中項：2y=x+z。この2つの中項関係だけで連立が組めます。

【👀ここに注目】求めるのは比 a/c。両辺を c² で割って r=a/c の2次方程式に落とすのが最短です。

方針・解答：等比条件 (2/b)²=(1/a)(1/c) より b²=4ac。等差条件 2b=a+3c。代入して (a+3c)²=16ac。c² で割り r=a/c とおくと r²+6r+9=16r、r²−10r+9=0、r=1、9。r=1 は a=c となり条件 a≠c に反するので r=9。

【✅検算】a=9、c=1、b=6：1/9、1/3、1 は公比3の等比、9、6、3 は公差−3の等差で全条件成立。

問17（平面ベクトル・交点）　答：2

【📖大切な定義】P が直線 AQ 上 ⇔ OP=(1−t)OA+tOQ と書ける（係数の和が1）。1次独立な OA、OB の係数比較で t が定まります。

【👀ここに注目】P を AQ 上・BR 上の2通りで表し、OA、OB の係数を等置します。

方針・解答：OQ=(3/5)OB、OR=(2/7)OA。AQ 上：OP=(1−t)OA+(3t/5)OB。BR 上：OP=(2s/7)OA+(1−s)OB。係数比較で 1−t=2s/7、3t/5=1−s。第2式から s=1−3t/5 を代入し 35−35t=10−6t、t=25/29。よって m=4/29、n=15/29。。答：2。

【✅検算】O(0,0)、A(1,0)、B(0,1) で直線 AQ と BR を連立すると P(4/29, 15/29) で一致。

問18（空間ベクトル・垂直条件）　答：2

【📖大切な定義】垂直 ⇔ 内積0。c⊥a かつ c⊥b の2本の内積条件と大きさの条件で、c の3成分が（符号を除き）決まります。

【👀ここに注目】2x+y−2z=0 と 3x+4y=0 から y、z を x で表すのが定石です。

方針・解答：3x+4y=0 より y=−3x/4。2x−3x/4−2z=0 より z=5x/8。|c|²=x²(1+9/16+25/64)=x²·125/64=20 より x²=1024/125…とせず、x=8k とおくと c=k(8,−6,5)、|c|²=125k²=20、k²=4/25、k=±2/5。z=±2。|z|=2。

【✅検算】c=(16/5,−12/5,2)：a との内積 32/5−12/5−4=0、b との内積 48/5−48/5=0、|c|²=(256+144+100)/25=20 で全条件成立。

問19（正四面体と内積）　答：4

【📖大切な定義】1辺1の正四面体では各ベクトルの大きさ1、どの2本の内積も cos60°=1/2。基底 a、b、c の内積表を固定すれば計算は代数だけです。

【👀ここに注目】M=(a+b)/2、N=c/2 と中点を基底で表し、MN、BN を成分計算します。

方針・解答：MN=N−M=(c−a−b)/2、BN=N−B=c/2−b。内積を展開すると (1/4)|c|²−(1/2)b·c−(1/4)a·c+(1/2)a·b−(1/4)b·c+(1/2)|b|²=1/4−1/4−1/8+1/4−1/8+1/2=1/2。よって 8MN·BN=4。

【✅検算】座標 O(0,0,0)、A(1,0,0)、B(1/2,√3/2,0)、C(1/2,√3/6,√6/3) で計算しても内積は 0.5。

問20（分数関数の最大）　答：8

【📖大切な定義】微分可能な関数が内点で最大値をとるなら、その点で f′=0（必要条件）。「最大値1をとる」は f(2)=1 と f′(2)=0 の2本の式を与えます。

【👀ここに注目】分母 x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0 なので定義域は実数全体。y=1 との差の符号で最大性を確認できます。

方針・解答：f(2)=1 より (2a+b)/7=1、2a+b=7。商の微分で f′(x)={a(x²+x+1)−(ax+b)(2x+1)}/(x²+x+1)²。f′(2)=0 より 7a−5(2a+b)=0、7a=35、a=5、b=−3。このとき x²+x+1−(5x−3)=(x−2)²≧0 なので確かに最大値1。a−b=5−(−3)=8。

【✅検算】y=(5x−3)/(x²+x+1) を数値走査すると最大値1.000 を x=2 でとる。

問21（4次関数の最大・最小）　答：4

【📖大切な定義】閉区間での最大最小は「極値と端点の値」の比較で決まります。増減表を省くと端点の比較を落とします。

【👀ここに注目】y′=4ax²(x−3) は a>0 のもとで区間 [1,4] 内の符号が x=3 の前後でのみ変化します。

方針・解答：[1,3] で減少、[3,4] で増加なので最小は x=3 で 81a−108a+b=−27a+b=−24。最大は端点比較：y(1)=−3a+b、y(4)=256a−256a+b=b。a>0 より b の方が大きく、最大値 b=3。−27a+3=−24 から a=1。a+b=4。

【✅検算】y=x⁴−4x³+3 の [1,4] 数値走査：最大3.000（x=4）、最小−24.000（x=3）。

問22（線分の長さの最小）　答：5

【📖大切な定義】距離は2乗して微分するのが定石：√ のままの微分は計算事故のもと。最小値の候補は導関数の零点（と端の挙動）です。

【👀ここに注目】A=(t²+1, t)（t>0）とパラメータ表示すると根号が消えます。

方針・解答：AB²=(t²−2)²+(t+1)²=g(t)。g′(t)=4t³−6t+2=2(t−1)(2t²+2t−1)。t>0 の零点は t=1 と t=(−1+√3)/2≈0.366。増減を調べると t≈0.366 は極大、t=1 が極小で g(1)=(−1)²+2²=5。t→0⁺ の極限も 5 だが到達せず、最小値は t=1 で m²=5。

【✅検算】g(t) の数値最小化でも最小値 5.000（t=1、A=(2,1)）。

問23（定積分で定まる関数の最小）　答：2

【📖大切な定義】積分変数は x、t は定数。f(t) は展開すれば t の2次関数にすぎません。この「変数の役割分担」が崩れると手が止まります。

【👀ここに注目】必要な定積分は3つだけ：∫x²dx=π³/3、∫x sinx dx=π（部分積分）、∫sin²x dx=π/2（半角公式）。いずれも 0 から π。

方針・解答：展開して 下に凸の2次関数なので最小は t=2π/(2·π/2)=2。

【✅検算】数値積分で f(1.9)、f(2.0)、f(2.1) を比較すると f(2.0) が最小。

問24（定積分の計算）　答：2

【📖大切な定義】(logx)′=1/x。被積分関数が g(x)ⁿ·g′(x) の形なら原始関数は g(x)^{n+1}/(n+1)。置換 u=logx と同じことです。

【👀ここに注目】積分区間が 1/e から e：log の値が −1 から 1 まで対称に動きます。

方針・解答： 答：2。

【✅検算】数値積分でも 2.0000。

問25（媒介変数表示の曲線と接線・面積）　答：9

【📖大切な定義】媒介変数表示の曲線の傾きは dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)。x の式に直せなくても接線は引けます。

【👀ここに注目】√x=cos²θ、√(−y)=sin²θ より曲線 C は √x+√(−y)=1、すなわち y=−(1−√x)²（0≦x≦1）と陽に書けます。接点は θ=π/6 で (9/16, −1/16)。

方針・解答：dx/dθ=−4cos³θsinθ、dy/dθ=−4sin³θcosθ より dy/dx=tan²θ。θ=π/6 で傾き 1/3。接線 L：y=x/3−1/4。差をとると なので L は C の上側にあり、x=9/16 で接します。y 軸（x=0）と合わせて囲まれる面積は よって 128S=9。

【✅検算】数値積分で S=0.070312…=9/128、128S=9.000。

【💡ポイントコラム】答が一桁になる設計を検算に使う：本セットは「6a」「100p」「128S」のように答を0〜9へ加工させます。逆に言えば、割り切れない値・汚い無理数が出た瞬間に計算ミスが確定します。マーク式では「答の形が検算装置」という視点を持つと事故率が大きく下がります。

【💡ポイントコラム】「距離」で円の問題を一元化する：問11・13はどちらも点と直線の距離 d と半径 r から √(r²−d²) で弦を処理する同型問題です。接線条件（d=r）・2点で交わる条件（d＜r）・弦長・三角形の面積が全部 d の式で書ける、と整理しておくと図形問題の初動が速くなります。

【💡ポイントコラム】最大・最小は「候補の全列挙」で機械化：問20〜23はすべて「微分＝0の点と端点（極限）を列挙して比較する」だけで解けます。問22のように極値が複数あるときこそ増減表を書き、候補の値を全部並べて比べる姿勢が、80分25問の環境での失点を防ぎます。

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