自治医科大学医学部2020年度数学 過去問の傾向と解答・解説

自治医科大学医学部 2020年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

問1（整式の除法）　答：2

【📖大切な定義】除法の原理：A = B×(商) + (余り)、余りの次数は割る式の次数未満。この等式を書かずに筆算だけで進めると、検算の拠り所を失います。

【👀ここに注目】割る式が1次なので余り d は定数。商は2次式です。

方針・解答：筆算で 4x³−3x²+2x−1 を 2x−1 で割ります。4x³÷2x=2x²、引いて −x²+2x−1。−x²÷2x=−x/2、引いて (3/2)x−1。(3/2)x÷2x=3/4、引いて余り −1/4。よって商は 2x² − (1/2)x + 3/4、余り −1/4。a=2, b=−1/2, c=3/4, d=−1/4 で、a+b+c+d = 2 − 1/2 + 3/4 − 1/4 = 2。

【✅検算】x=1 を代入：左辺 4−3+2−1=2、右辺 (2·1−1)(2−1/2+3/4)+(−1/4)=9/4−1/4=2 で一致。

問2（対称式の連立方程式）　答：9

【📖大切な定義】展開すると x(y+z)=xy+xz のように、3式はすべて xy, yz, zx の1次式。基本対称式に読み替える視点が崩れると連立が泥沼になります。

【👀ここに注目】3式の和が 2(xy+yz+zx) になります。

方針・解答：3式を加えると 2(xy+yz+zx)=35+32+27=94、つまり xy+yz+zx=47。よって yz=47−35=12、zx=47−32=15、xy=47−27=20。辺々かけて (xyz)²=12·15·20=3600。求める値は 3600/400=9。

【✅検算】x=5, y=4, z=3 が全条件を満たし（5·7=35, 4·8=32, 3·9=27）、(60)²/400=9 で一致。

問3（対数方程式の整数解）　答：2

【📖大切な定義】底の変換公式 。この「底の指数は係数の逆数になる」が崩れると、右辺の整理がすべて狂います。

【👀ここに注目】底が x, x², x³ と混在。すべて底 x に統一します。

方針・解答：、。左辺は 。真数を比較して x(y−2)=4(y+6)。整理すると y(x−4)=2x+24、すなわち y = 2 + 32/(x−4)。x−4 は32の正の約数で、x≧5, y≧3 より (x, y) = (5,34), (6,18), (8,10), (12,6), (20,4), (36,3)。|x−y| はそれぞれ 29, 12, 2, 6, 16, 33 となり、最小値は 2（x=8, y=10）。

【✅検算】x=8, y=10：左辺 1+log₈8=2、右辺 4log₆₄2+3log₅₁₂16=4·(1/6)+3·(4/9)=2/3+4/3=2 で一致。

問4（三角関数の合成と最大最小）　答：6

【📖大切な定義】半角・倍角公式 cos²x=(1+cos2x)/2、sinxcosx=(sin2x)/2。次数を下げて「定数＋単振動」に直すのが定石で、これを忘れると最大最小が出せません。

【👀ここに注目】最大値と最小値の「和」が定数部分の2倍になります。

方針・解答： 振幅は なので、最大値＋最小値 = (a+b)/2 × 2 = a+b。条件より a+b = (3+√7)+(3−√7) = 6。

【✅検算】(a−b)²=2·7=14 から a=(6+√14)/2, b=(6−√14)/2 とすると、数値計算で最大 5.6458≒3+√7、最小 0.3542≒3−√7 と一致。

問5（垂直二等分線と面積・解と係数の関係）　答：8

【📖大切な定義】垂直二等分線＝「中点を通り、もとの線分に垂直」。2条件のどちらかを落とすと式が立ちません。

【👀ここに注目】αとβを個別に求めず、2次方程式の「解の和」で処理します。

方針・解答：A(t,1)、中点 B(t/2, 1/2)。L2 は OA（方向 (t,1)）に垂直だから 、すなわち 。y=0 として C。△OBC は底辺 OC、高さは B の y 座標 1/2 なので、面積 = 。整理して t²−8t+1=0。判別式は 60>0 で異なる2正解をもち、解と係数の関係から α+β = 8。

【✅検算】t=4±√15 はともに正で、それぞれ OC=(t²+1)/(2t)=4、面積 = (1/2)·4·(1/2)=1 と一致。

問6（三角形の等積分割）　答：3

【👀ここに注目】原点を通る直線は辺 AC と辺 BC を切り、頂点 C 側に三角形 CPQ ができます。

方針・解答：△ABC の面積は底辺 AB=1/2、高さ1で 1/4。直線 y=mx と AC: x+y=1 の交点 P の x 座標は p=1/(1+m)、BC: y=1−2x/3 との交点 Q の x 座標は q=3/(3m+2)。C(0,1) と P, Q の作る三角形の面積はベクトルの外積計算で とまとまります。これが 1/8 になればよいので q−p=1/4。 より 3m²+5m−2=0、(3m−1)(m+2)=0。m>0 から m=1/3、9m=3。

【✅検算】m=1/3 のとき P(3/4, 1/4)、Q(1, 1/3)。△CPQ=(1−3/4)/2=1/8 で全体 1/4 のちょうど半分。乱数200万点による面積比のシミュレーションでも下側比率 0.4999 と一致。

【💡ポイントコラム】面積の分割問題では「分割後の図形を直接積分」するより、「切り取られる小三角形」に注目すると計算が数分の一になります。頂点を共有する三角形の面積比＝挟む2辺の積の比、外積（サラスの公式）での面積計算は、マーク式のスピード勝負で特に効きます。

問7（円に内接する四角形の面積）　答：6

【📖大切な定義】円に内接する四角形では対角の和が180°。この性質が余弦定理2本を連立させる根拠であり、ブラーマグプタの公式 （s は半周長）の成立条件でもあります。

方針・解答：s=(1+2+3+4)/2=5 より 。よって 6。

【✅検算】正攻法でも確認：∠A=θ とすると余弦定理より BD²=1+16−8cosθ=4+9+12cosθ、cosθ=1/5。sinθ=(2√6)/5 で S=(1/2)(1·4+2·3)sinθ=(5)·(2√6)/5·…＝2√6 と一致。

問8（複素数の極形式とn乗）　答：6

【📖大切な定義】 のとき の偏角は nθ（ド・モアブル）。「実数になる ⇔ 偏角が π の整数倍」という言い換えが崩れると最小の n が求まりません。

【👀ここに注目】まず |Z|=2/3 から a を確定させます。

方針・解答： より a²=3、a=±√3。a=√3 のとき、1+i の偏角は π/4（3乗で 3π/4）、√3−i の偏角は −π/6（2乗で −π/3）、√3−3i の偏角は −π/3（2乗で −2π/3、分母なので符号反転）。よって arg Z = 3π/4 − π/3 + 2π/3 = 13π/12。Zⁿ が実数 ⇔ 13nπ/12 が π の整数倍 ⇔ 13n が12の倍数 ⇔ n が12の倍数。最小は m=12。a=−√3 でも arg Z = 5π/12 となり同じく m=12。よって m/2=6。

【✅検算】数値計算で Z¹〜Z¹¹ の虚部はゼロにならず、Z¹² で初めて実数（a=±√3 の両方で確認）。

問9（3次方程式の重解条件）　答：5

【📖大切な定義】重解＝因数分解したとき同じ1次因数が2個。3次方程式が「実数の2重解をもつ」場合は、(i) 2次因数が重解をもつ、(ii) 2次因数が既知の解を重複してもつ、の2系統を漏れなく数えます。

【👀ここに注目】係数の和に注目すると x=1 が a によらず解になっています。

方針・解答：x=1 を代入すると 1+(2a²−1)−(5a²−4a)+(3a²−4a)=0 で恒等的に成立。よって (i) 2次式が重解をもつ場合：判別式/4 = a⁴+3a²−4a = a(a−1)(a²+a+4)=0 より a=0, 1（a²+a+4 は実数解なし）。a=0 なら x²=0 で重解0（≠1）、a=1 なら (x+1)²=0 で重解−1（≠1）。ともに適する。(ii) 2次式が x=1 を解にもつ場合：1+2a²−3a²+4a=0 より a²−4a−1=0、a=2±√5。このとき x=1 が2重解で、2次式のもう一つの解は −8a−3≠1 なので3重解にはならず適する。以上より a の総和 = 0+1+(2+√5)+(2−√5)=5。

【✅検算】数値解で確認：a=0 → 解{0,0,1}、a=1 → {−1,−1,1}、a=2±√5 → {1,1,−36.89…}, {1,1,−1.111…}。いずれも2重解をもち一致。

問10（ベクトルのなす角）　答：2

【📖大切な定義】内積 。また |a+b|², |a−b|² の和・差から |a|²+|b|² と a·b が取り出せます。

方針・解答：。和：。差： より 。よって 、。 となり、|7cosθ|=2。

【✅検算】具体ベクトル a=(2.176, 0), b=(0.4596, 1.352) を構成すると |a+b|²=10, |a−b|²=6、なす角60°、7cosθ=2 をすべて満たし一致。

問11（確率・倍数条件）　答：8

【👀ここに注目】「4の倍数にならない」余事象で数えるのが最短です。

方針・解答：全体は ₁₀C₃=120通り。積が奇数 ⇔ 3枚とも奇数{1,3,5,7,9}：₅C₃=10通りで P=10/120=1/12。積が4の倍数にならないのは、素因数2が高々1個のとき：全部奇数（10通り）または {2,6,10} から1枚＋奇数2枚（3×₅C₂=30通り）。よって4の倍数になるのは 120−40=80通りで Q=80/120=2/3。Q/P = (2/3)×12 = 8。

【✅検算】120通り全列挙のプログラムで P=1/12, Q=2/3, Q/P=8 と一致。

問12（楕円の内接三角形の面積最大）　答：9

【👀ここに注目】(a+t)³(a−t) 型の最大化は、微分して共通因数でくくるのが最速です。

方針・解答：P, Q で PQ、高さ t+a。面積 。g(t)=(a+t)³(a−t) とおくと g′(t)=(a+t)²(2a−4t) より t=a/2 で最大。 よって 9。

【✅検算】a=2.3, b=1.7 で t を200万分割した数値最大化により最大点 t=1.15=a/2、(4√3/ab)M=9.000 と一致。

問13（三角関数の置き換えと接する条件）　答：5

【👀ここに注目】s=sinx と置くと2次関数。x軸に「接する」= 最小値がちょうど0（端点 s=−1 で実現）。

方針・解答：y=5(1−sin²x)+5√2 sinx+√2 k。s=sinx∈[−1,1] とおくと y=−5s²+5√2 s+5+√2 k。頂点は s=√2/2∈[−1,1] で最大値 7.5+√2 k>0。最小は端点で、s=−1 のとき y=√2(k−5)、s=1 のとき y=√2(k+5)>0。k>5 なら常に y>0 で接しない。k<5 なら s=−1 付近で y<0 となり、y=0 は cos x≠0 の点で起こって横切ってしまう（接しない）。k=5 のとき最小値0が s=−1 すなわち x=3π/2 で実現し、そこで dy/dx=cos x(−10sinx+5√2)=0 なので x 軸に接します。よって k=5。

【✅検算】k=5 で区間を200万分割した数値評価により min y=0.000（接する）と一致。

問14（円の接線と放物線の囲む面積）　答：3

【📖大切な定義】放物線 y=x²+… と直線が x=x₁, x₂ で交わるときの囲む面積は （1/6公式）。係数が1でないときの補正を忘れると値がずれます。

【👀ここに注目】面積は交点の x 座標の差だけで決まるので、(x₂−x₁)² を最小化すれば十分です。

方針・解答：接点 P(α,β)（α²+β²=1）での接線は αx+βy=1。β=0 は α=1 の場合で除外されているので y=(1−αx)/β。x²−2 と連立して 。 w=1/β（|w|≧1）とおくと (x₂−x₁)²=w²+4w+7=(w+2)²+3。w=−2（β=−1/2、α=√3/2≧0）が範囲内にあり最小値3。よって 、4m²=4·(3/4)=3。

【✅検算】β=−1/2 の接線は y=√3x−2。x²−2=√3x−2 の解は x=0, √3 で、∫₀^√3(√3x−x²)dx=√3/2=m。βを40万分割した数値最小化でも最小面積0.86603=√3/2 と一致。

【💡ポイントコラム】「1/6公式」は答案では使いにくくても、マーク式では主力兵器です。さらに本問のように、円周上の点は (α,β)→1変数 β に落ち、逆数置換 w=1/β で2次関数の最小値に帰着します。「変数を減らす→定義域を追いかける」の順序を守ることが、置き換えミスを防ぐ最大のコツです。

問15（指数関数×三角関数の定積分と極限）　答：1

【📖大切な定義】。部分積分2回で導出でき、分母 a²+b² を落とすと極限値が狂います。

方針・解答：（sin2πk=0, cos2πk=1）。よって （k→∞）。したがって S=e^{6π}−(e^{6π}−1)=1。

【✅検算】k=3, 10, 50 で数値積分と上の I の式が相対誤差 10⁻¹⁵ で一致。

問16（無理関数の囲む面積）　答：4

方針・解答：（0≦x≦6）より 。t=√(x/6) と置換すると x=6t², dx=12t dt で よって S=4。（一般に の囲む面積は ab/6 で、6·4/6=4。）

【✅検算】数値積分で 4.0000 と一致。

問17〜21（指数関数の接線と面積・無限級数）　答：17→1、18→2/e、19→1/k、20→2/(ke)、21→発散

【📖大切な定義】接線の方程式 y−f(t)=f′(t)(x−t)。切片を求める段階での符号ミスが致命傷になるので、x 切片・y 切片は必ず両方書き出します。

【👀ここに注目】u=kt と置くと k が式から外に出て、I〜III が一気に片付きます。

方針・解答：y=e^{−kx} の点 P(t, e^{−kt}) での接線は 。x 切片は A、y 切片は B(0, (1+kt)e^{−kt})。よって u=kt>0 とおくと (1+u)²e^{−u} の微分は e^{−u}(1+u)(1−u) で、u=1 のとき最大値 4/e。
I（k=1）：t=u=1 で最大値 2/e（問17の答は 1、問18の答は 2/e）。
II：u=1 すなわち t=1/k のとき最大値 2/(ke)。
III： なので 。調和級数は正の無限大に発散するため、この無限級数は発散します。

【✅検算】k=1,3,7 の数値最大化で最大点 t=1/k、最大値 2/(ke) と一致。部分和も k=10⁴ 項で 7.2 を超えてなお増加し、発散の判断と整合。

問22〜25（格子点の数え上げ）　答：22→1、23→7、24→2k+1、25→(k+1)²

【👀ここに注目】x を偶奇で分けて y の個数を数えると、和が「三角数2つ」にまとまります。

方針・解答：領域は y≦−x/2+k, x≧0, y≧0。
I：k=0 のとき 0≦y≦−x/2 が必要で x=0, y=0 のみ。f(0)=1。
IV（一般式を先に）：x=2j（j=0,…,k）のとき y は 0〜k−j の k−j+1 個。x=2j+1（j=0,…,k−1）のとき y≦k−j−1/2 より 0〜k−j−1 の k−j 個。合計 よって f(k)=(k+1)²。
II：R=f(3)−f(2)=16−9=7。
III：S=f(k)−f(k−1)=(k+1)²−k²=2k+1。

【✅検算】k=0〜7 の総当たり数え上げで 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 = (k+1)² と完全一致。

【💡ポイントコラム】格子点問題は「x（または y）を1つ固定して直線上の個数を数え、最後に和をとる」が唯一絶対の型です。本問のように傾きが −1/2 なら x の偶奇で床関数の値が変わるため、偶奇分割してから Σ を計算します。小さい k で実験して (k+1)² を予想し、一般計算で裏づける流れは本番でも有効です。

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