東京慈恵会医科大学 2009年度 数学

東京慈恵会医科大学 医学部 2009年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：図形と計量・確率と数列・置換積分）　答：(ア)3/4　(イ)1　(ウ)4/7　(エ)4/7　(オ)4/7　(カ)2^n　(キ)2^(n+1)−(n+2)　(ク)2+√3　(ケ)5π/12＋1/4

【📖大切な定義】余弦定理は「a²=b²+c²−2bc cos A」の形で、2辺とはさむ角から残りの辺を結ぶ定理です。メネラウスの定理は、三角形ABCの辺（またはその延長）を1本の直線が横切るとき (AP/PB)(BD/DC)(CQ/QA)=1 が成り立つという、線分比を一周させる定理です。また、確率変数Xの期待値は E(X)=Σ k・P(X=k) で定義されます。

【👀ここに注目】(1)は「cos C を出す→△CQDで余弦定理→メネラウス」という誘導の流れそのものが解答の設計図です。(2)は「確率の総和が1」という条件だけで p₀ が決まる点に注目します。(3)は tan 5π/12 を求めさせてから積分区間の上端 2(2+√3) を見せる、あからさまな x=2tanθ 置換への誘導です。

(1) 方針と解答：AB=4、BC=6、CA=5 なので、余弦定理から

DはBCを1:2に内分するので BD=2、CD=4。CQ=x とおき、△CQDで余弦定理を用いると DQ²=11 から

x=5 では Q が頂点Aと一致してしまい、PがABの延長上にあることと両立しません。QはAC上の点なので

BP=y とおくと、PはABの延長上（Bの側）にあるので AP=4+y。直線PQが△ABCの辺BC、辺CAおよび辺ABの延長を横切るとみて、メネラウスの定理から

【✅検算】座標計算（C原点、B(6,0)、A(3.75, 3.3072…)）でD(4,0)、Q=C+(A−C)/5 とすると DQ=3.31662…=√11 が再現され、直線DQと直線ABの交点Pについて BP=0.571428…=4/7、AP=4.5714…=4+4/7 と厳密に一致しました。

(2) 方針と解答：p(k)=p₀(1/2)^k であり、確率の総和は1です。n=2 のときは

このとき p₁=2/7、p₂=1/7 なので、期待値は

一般のnでは、等比数列の和の公式から

期待値は E(X)=p₀Σk(1/2)^k です。S=Σ_{k=1}^{n} k(1/2)^k に対して S−(1/2)S を作る「等差×等比」の定石計算により

よって S=(2^(n+1)−(n+2))/2^n であり

【✅検算】n=2, 5, 8 について分数計算（厳密値）で総和1と期待値を直接計算し、n=2 で 4/7、n=5 で 19/21、n=8 で 502/511 となって公式(キ)と完全一致。n=2 のとき(キ)は (8−4)/(8−1)=4/7 で(オ)とも整合します。

(3) 方針と解答：加法定理により

積分は x=2tanθ と置換します。dx=(2/cos²θ)dθ、x²+4=4/cos²θ であり、上端 x=2(2+√3) は θ=5π/12 に対応するので

【✅検算】tan(5π/12)=3.732050…=2+√3 を数値確認。さらにシンプソン法による数値積分で I=1.558996938…、公式値 5π/12+1/4=1.558996938… と小数10桁以上一致しました。

【💡ポイントコラム】「二次方程式の解が2つ出たら図形条件で選別する」のは空所補充の頻出パターンです。(イ)では x=5 が「Q=A」という退化した配置に対応することを一言添えられるかが実力の差になります。また ∫dx/(x²+a²)² 型は x=a tanθ 置換で cos²θ の積分に落ちる、という対応は医学部入試の定番中の定番なので、上端の値から角度（本問では 5π/12）を逆算する流れごと体で覚えておきましょう。

第2問（1次分数関数と行列：合成の対応・分数型漸化式）　答：(A)(1)証明は本文の通り　(B)(1)証明は本文の通り　(2) P⁻¹AP=（対角行列 −1, 3）、A^n の成分は a(n)=(3^(n+1)+(−1)^n)/4、b(n)=(3^(n+1)−3(−1)^n)/4、c(n)=(3^n−(−1)^n)/4、d(n)=(3^n+3(−1)^n)/4　(3) x(n+1)=(3^(n+1)+(−1)^(n+1))/(3^n+(−1)^n)

【📖大切な定義】行列 (a b; c d)（ad−bc≠0）に分数関数 f(x)=(ax+b)/(cx+d) を対応させると、行列の積が関数の合成に対応します（本問(A)がその証明です）。また、P⁻¹AP が対角行列Dになるとき A=PDP⁻¹ であり、A^n=PD^nP⁻¹ と、n乗の計算が対角成分のn乗に帰着します。

【👀ここに注目】漸化式 x(n+1)=(2x(n)+3)/x(n) は、行列 A=(2 3; 1 0) が定める分数関数を毎回合成する操作です。(A)の「積=合成」を認めれば、n回の合成は A^n が定める分数関数、つまり②の形になる——この構造を数学的帰納法の答案に翻訳するのが(B)(1)です。

(A)(1) 証明：積の行列の成分は

です。a′d′−b′c′≠0 が保証されているので、この行列が定める分数関数 h(x)=(a′x+b′)/(c′x+d′) が定義できます。一方、g(x)=(px+q)/(rx+s) を f に代入すると

となり、分子・分母の係数が積の行列の成分 a′, b′, c′, d′ にそれぞれ一致します。よって積の行列が定める分数関数は合成関数 f(g(x)) です。（証明終）

【✅検算】具体的な数値行列（a〜s に 2,3,1,4,5,1,2,7）で f(g(x)) と積行列の分数関数を x=0.3, 1.7, −2.4 で比較し、誤差10⁻¹²以下で一致しました。

(B)(1) 証明（数学的帰納法）：n=1 のとき、A¹=A より a₁=2、b₁=3、c₁=1、d₁=0 なので、②の右辺は (2x₁+3)/x₁ となり、①より x₂ に等しいので②は成り立ちます。n=k で②が成り立つ、すなわち x(k+1)=(a(k)x₁+b(k))/(c(k)x₁+d(k)) と仮定します。①より

一方、A^(k+1)=A・A^k を成分計算すると

なので a(k+1)=2a(k)+3c(k)、b(k+1)=2b(k)+3d(k)、c(k+1)=a(k)、d(k+1)=b(k) です。したがって

となり、n=k+1 でも②が成り立ちます。以上より、すべての自然数nで②は成り立ちます。（証明終）

(2) 方針と解答：det P=1・1−3・(−1)=4 なので P⁻¹=(1/4)(1 −3; 1 1)。順に計算すると AP=(−1 9; 1 3) であり

両辺をn乗すると (P⁻¹AP)^n=P⁻¹A^nP が対角行列 ((−1)^n, 0; 0, 3^n) に等しいので、A^n=P((−1)^n, 0; 0, 3^n)P⁻¹ です。成分計算すると

【✅検算】n=1 で (2 3; 1 0)、n=2 で (7 6; 2 3) が公式から再現され、さらに n=1〜7 まで行列の直接累乗と公式値の全成分一致を数値確認しました。P⁻¹AP=diag(−1, 3) も直接計算で一致しています。

(3) 方針と解答：x₁=1 を②に代入すると

(−1)^(n+1)=−(−1)^n に注意して整理すると

【✅検算】漸化式から直接 x₂=5、x₃=13/5、x₄=41/13、x₅=121/41 と分数の厳密計算で求め、公式値と n=8 まで完全一致しました。

【💡ポイントコラム】分数型漸化式 x(n+1)=(px(n)+q)/(rx(n)+s) は「係数行列のn乗」で一般項が書ける——これが本問の主題で、1次分数変換（メビウス変換）と行列の対応という大学数学にもつながる美しい構造です。現行課程では行列が範囲外のため同型の出題はそのまま再現されませんが、「特性方程式の解で置き換えて等比数列を作る」現行の解法と結果が一致することを確かめると理解が深まります。実際、y(n)=(x(n)−3)/(x(n)+1) が公比 −1/3 の等比数列になり、同じ一般項が得られます。

第3問（関数方程式と微分：f(x+y)=f(x)f(y) から f(x)=e^kx へ）　答：(A)(B)(1)〜(3)証明は本文の通り　(B)(2) f′(a)=lim[h→0]{f(a+h)−f(a)}/h　(4) f(x)=e^kx

【📖大切な定義】x=a における微分係数は f′(a)=lim[h→0]{f(a+h)−f(a)}/h で定義されます。また中間値の定理は「連続関数が区間の両端で異符号の値をとれば、その間に値0をとる点が存在する」という定理で、背理法と組み合わせて「関数が0にならないなら符号は一定」を導くのが本問(B)(1)の骨格です。

【👀ここに注目】f(x+y)=f(x)f(y) は指数法則そのものの形です。「指数関数だろう」という見当はすぐつきますが、本問はそれを微分可能性だけから論証させる問題で、(A)代数的性質→(B)(1)符号→(2)(3)導関数の関数方程式→(4)積分で決定、という誘導の各段が论証の教科書的モデルになっています。

(A.1) 証明：ある実数aで f(a)=0 とします。条件①で x=a、y=−a とおくと f(0)=f(a)f(−a)=0 です。次に任意の実数xに対し、条件①で y=0 とおくと

よってすべての実数xについて f(x)=0 です。（証明終）

(A.2) 証明：条件①で x=a、y=0 とおくと f(a)=f(a)f(0)、すなわち f(a){f(0)−1}=0 です。すべての実数aで f(a)≠0 なので、特に f(a)≠0 から f(0)=1 が従います。（証明終）

(B)(1) 証明（背理法）：f(x) は0を値にとらないので、(A.2)より f(0)=1 です。ある実数aで f(a)≦0、すなわち f(a)<0（f(a)≠0 のため）と仮定します。f(x) は微分可能なので連続であり、f(0)=1>0 と f(a)<0 から、中間値の定理により 0 と a の間に f(c)=0 となる実数cが存在します。これは f(x) が0を値にとらないことに矛盾します。よってすべての実数xについて f(x)>0 です。（証明終）

(B)(2) 解答：微分係数の定義より

(B)(3) 証明：条件①より f(x+h)=f(x)f(h) なので、任意の実数xについて

ここで f(0)=1 を用いました。最後の極限は微分係数の定義そのものにより f′(0) なので

が成り立ちます。（証明終）

(B)(4) 方針と解答：(3)より f′(x)=kf(x) であり、(1)より f(x)>0 なので両辺を f(x) で割って f′(x)/f(x)=k。両辺をxで積分すると（log は自然対数）

f(x)>0 なので絶対値は不要です。x=0 を代入すると f(0)=1 から C=0。したがって log f(x)=kx、すなわち

【✅検算】f(x)=e^kx（k=0.7）が f(x+y)=f(x)f(y) を満たすことを複数の数値で確認（誤差10⁻¹²以下）。また f′(0)=k、f(0)=1 も定義どおり成立し、逆に f(x)=e^kx はすべての誘導(A.1)〜(B)(4)の結論と整合します。

【💡ポイントコラム】「f(x+y)=f(x)f(y)＋微分可能 ⇒ 指数関数」は関数方程式の最重要テンプレートです。答案の急所は3つ。①f(0) の値を最初に確定させる（y=0 を代入）、②f′(x) を定義に戻って計算し f(h)−f(0) の形を無理やり作る、③f′/f の積分では f>0 を先に示して絶対値を外す根拠にする。特に③のために(B)(1)の符号の議論が置かれている——誘導の各小問が最終問のどこで効くかを逆算して読む習慣が、この種の問題を得点源に変えます。

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