東京慈恵会医科大学 2012年度 数学

東京慈恵会医科大学 医学部 2012年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：2次不等式・ベクトル・確率・微分可能性）　答：(ア)15　(イ)9/23　(ウ)10/23　(エ)1/15　(オ)2/5　(4)微分可能

【📖大切な定義】三角形の外心とは「3頂点から等距離にある点」、すなわち各辺の垂直二等分線の交点です。この定義が崩れると、(2)で使う「外心から辺に下ろした垂線の足は辺の中点」という決定的な性質が出てこず、内積の方程式が立てられません。

【👀ここに注目】(1)は「解の個数が10個」という条件を、区間の端点の評価（不等式）に翻訳するタイプ。(3)は「AからBへ2個、BからAへ2個」という2段階の移動なので、1段階目で何が移ったかで場合分けするのが定石です。

(1) 方針と解答：左辺を因数分解します。

よって不等式の解は

（正の整数 a に対し なので大小はこの順）。左端が半整数なので、区間内の整数は x = a+1, a+2, … と続きます。これがちょうど10個、つまり a+10 までとなる条件は

左側から 3a+30 < 5a+2 すなわち a > 14、右側から 5a+2 ≦ 3a+33 すなわち a ≦ 15.5。よって正の整数 a は a = 15 …(ア)。

【✅検算】a=15 のとき区間は (15.5, 77/3=25.66…)。含まれる整数は16〜25のちょうど10個で一致。

(2) 方針と解答：外心Oの性質から 、（AOの各辺への正射影が辺の中点になるため）。また余弦定理の内積版で

を代入すると

第1式×6−第2式×1 で 12s+3t−(s/2+3t)=6−3/2、すなわち 。よって s = 9/23 …(イ)、t = 10/23 …(ウ)。

【✅検算】A(0,0), B(√2,0), C(1/(2√2), 1.6956) と座標を取ると外心は (0.7071, 0.7372)。s=9/23, t=10/23 で s+t=(0.7071, 0.7372) となり一致。

(3) 方針と解答:袋Aは赤2白1、袋Bは赤1白2。Aから2個をBへ移す段階で場合分けします。

・Aから赤2個を移す確率は （Aに白1個が残り、Bは赤3白2の5個）。

・Aから赤1白1を移す確率は （Aに赤1個が残り、Bは赤2白3の5個）。

X=0（Aに白が無い）となるのは、後者の場合にBから赤2個が戻るときに限るので

X=2 は「赤2個移動→白1赤1が戻る」または「赤1白1移動→白2が戻る」なので

【✅検算】X=1, X=3 の確率も計算すると 1/15+P(X=1)+2/5+1/30=1 から P(X=1)=1/2 となり、全確率の和が1で整合。

(4) 方針と解答：微分可能性の定義（微分係数の極限の存在）に戻ります。f(x)=|x³| は x≧0 で x³、x≦0 で −x³。

右側・左側の極限がともに0で一致するので、f(x) は x=0 で微分可能（f′(0)=0）です。

【✅検算】x=±0.1 での平均変化率は ±0.001/±0.1=0.01 と −(−0.001)/(−0.1)=0.01。ともに0に近づく挙動と整合。

【💡ポイントコラム】|x| は x=0 で微分不可能ですが、|x³| は微分可能です。「絶対値が付いたら尖る」という思い込みは危険で、必ず定義（左右の微分係数）に戻って確認する習慣が、慈恵のような記述式では説明の説得力に直結します。

第2問（指数関数の共通接線と面積の最小値）　答：(1) s+t=1, a=(3−2t)e^t　(2)(i) 本文の通り　(ii) 最小値 e−√e−1

【📖大切な定義】曲線 y=f(x) 上の点 (t, f(t)) における接線は y=f′(t)(x−t)+f(t) です。「2曲線が共通の接線をもつ」とは、2直線として傾きとy切片がともに一致することであり、片方だけの一致では接線は共有されません。ここが崩れると(1)の連立が1本しか立たず、a が求まりません。

【👀ここに注目】C₁: y=eˣ は下に凸、C₂: y=−e^{1−x}+a は上に凸。接線は凸性により C₁ の下側・C₂ の上側にあるので、面積は「曲線と接線の差」を接点から y 軸まで積分すれば符号の心配なく求められます。Q の x 座標 s=1−t の符号で S₂ の積分区間の向きが変わる点が場合分けの核心です。

(1) 解答：P(t, eᵗ) における C₁ の接線は

C₂ 上の Q(s, −e^{1−s}+a) における接線は、(−e^{1−x}+a)′=e^{1−x} より

2直線が一致する条件は、傾きから eᵗ=e^{1−s} すなわち s+t=1。切片から eᵗ(1−t)=−(s+1)e^{1−s}+a に s=1−t を代入して

【✅検算】t=1/2 のとき s=1/2、a=2√e≒3.297。両接線とも傾き √e≒1.649、切片 √e/2≒0.824 で完全に一致。

(2)(i) 解答：eˣ は接線の上側にあるので

S₂ は接線が C₂ の上側にあることに注意し、Q の x 座標 1−t と 0 の大小で分けます。0<t≦1 のとき（Qは y 軸の右または上）

t≧1 のとき（Qは y 軸の左または上）は積分区間が [1−t, 0] に反転し、同じ計算から

【✅検算】t=1/2 で S₂=−1.625√e+e≒0.0391。数値積分（区間[0, 1/2]で被積分関数を直接評価）でも 0.0391 と一致。t=2 でも式の値 0.976 が数値積分と一致。

(2)(ii) 解答：S(t)=S₁(t)+S₂(t) を場合ごとにまとめると

微分すると、0<t≦1 では

t≧1 では

（判別式 1−2<0 より常に正）。よって S(t) は t=1/2 まで減少、その後増加し、t=1/2 で最小。

【✅検算】e−√e−1≒0.0696。近傍の t=0.4 で S≒0.0773、t=0.6 で S≒0.0784 と、どちらも大きいことを数値で確認済み。

【💡ポイントコラム】「共通接線」は①傾き一致＋切片一致で連立、②判別式（接する条件）の2通りの立式がありますが、指数・対数曲線では①が圧倒的に速いです。②は2次式でしか使えない道具だと整理しておくと、方針選択で迷いません。

第3問（球が正n角形の辺を1周してできる立体：断面積・体積・回転体・極限）　答：(2)(i) S(t)=8n√(1−t²)+π(1−t²)−n tan(π/n)(1−t²)　(ii) V(n)=4nπ+4π/3−(4/3)n tan(π/n)　(3) W(n)=8π+2π²(1+cos(π/n))/sin(π/n)　(4) 1

【📖大切な定義】立体の体積は「切り口の面積 S(t) を切る方向に積分した 」で定義通りに求めます（求積の原則）。この原則が崩れると、本問のような「回転体でも錐でもない立体」は手も足も出なくなります。切り口さえ式にできれば、あとは1変数の積分です。

【👀ここに注目】球の中心が辺上を動くとき、平面 z=t での切り口は「正n角形の周から距離 √(1−t²) 以内の点の集合」つまり周に沿った幅一定の帯（外側は角が丸い拡大図形、内側は相似な正n角形をくり抜いた形）です。(1)の GQ>1 は「内側のくり抜きが潰れない（帯の内縁が自己交差しない）」ことの保証で、(2)以降の計算の正当性を支えています。

(1) 解答：Qは辺 P₁P₂ の中点なので P₁Q=2。∠P₁GQ=π/n だから

n≧3 より 0<π/n≦π/3、tan は (0, π/2) で増加するので 0<tan(π/n)≦√3。よって

となり GQ>1 が示されました。（証明終）

(2)(i) 解答：r=√(1−t²) とおくと、切り口は正n角形の周（周長4n）から距離 r 以内の帯領域です。

・外側部分：周の外側に幅 r の帯を付けた面積は「周長×r＋角の扇形の合計」で、n個の頂点の扇形の中心角の和は外角の和 2π。よって 4nr+πr²。

・内側部分：もとの正n角形から、1辺 4−2r tan(π/n) の相似な正n角形を除いた面積。1辺 ℓ の正n角形の面積は なので

合計して r²=1−t² を戻すと

【✅検算】n=4, t=0（1辺4の正方形、r=1）で式は 32+π−4=28+π。直接計算（外側 16+π、内側 16−4=12）とも 28+π で一致。

(2)(ii) 解答：（半円の面積）、 を用いて

(3) 解答：高さ t の切り口において、軸 ℓ（Gを通る鉛直線）からの距離は、最大が「外接円半径＋r」、最小が「アポテム−r」です。すなわち

（(1)より l>0）。K_n を ℓ のまわりに回転した立体の高さ t での切り口は半径 l から L の円環となるので、その面積は

（ を利用）。これを積分して

【✅検算】n=4, t=0 で L=2√2+1, l=1。T(0)=π(L²−l²)=π×13.657≒42.90。公式 4π(1+2.414)≒42.90 で一致。

(4) 解答：n→∞ のとき π/n→0。x→0 で tan x／x→1、sin x／x→1、cos x→1 を使うと、n tan(π/n)=π・(tan(π/n)／(π/n))→π なので V(n)=4nπ+O(1)。また

したがって

【✅検算】n=100 で数値計算すると V≒1257.4、W≒1281.9、比≒0.981。n=1000 で比≒0.998 と1に近づき、極限値1と整合。

【💡ポイントコラム】n→∞ では正n角形の周は半径 2/sin(π/n)≒2n/π の円に近づき、K_n もその回転体（円環パイプ）に近づきます。だから比が1に収束するのは図形的にも自然です。極限の答えが出たら、このように「図形の言葉」で意味づけして確かめる姿勢が、検算にも記述の説得力にもつながります。

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