東京慈恵会医科大学 2021年度 数学

東京慈恵会医科大学 医学部 2021年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（確率）　答：(ア) 　(イ)

【📖大切な定義】反復試行の確率：1回の試行で事象Aが確率 で起こるとき、 回の独立な試行でAがちょうど 回起こる確率は 。──「各回が独立」という前提が崩れる（並び順に条件がつく）と、単純な二項係数では数えられず、場合の順序まで指定して数える必要があります。

【👀ここに注目】1回の操作は、確率 で「白」を1個（ブロック W）、確率 で「赤白」を2個（ブロック RW）置く操作です。5回の操作で得られる列は、W と RW の5個のブロックの連結。赤玉は必ず RW ブロックの先頭にしか現れない、が全ての鍵です。

方針：玉の総数はブロック RW の回数 を使って 個。位置の条件は「その位置から RW ブロックが始まる」ことと言い換え、直前までのブロックの長さの合計で場合分けします。

解答（ア）：玉が7個 ⇔ ⇔ RW がちょうど2回。左から3個目が赤 ⇔ ある RW ブロックが3個目から始まる ⇔ それ以前のブロックの長さの合計が2。長さ合計2の作り方は「RW 1個」か「W 2個」なので、

• 1回目 RW・2回目 RW・残り W：列は R W R W W W W
• 1・2回目 W・3回目 RW・もう1回の RW が4回目または5回目：2通り

計3通り。いずれも RW 2回・W 3回の操作列だから確率は各 。よって

解答（イ）：5個目が赤 ⇔ ある操作 が RW で、その直前までの長さの合計が4。操作 より前の 回のうち RW が 回とすると 、すなわち 。

• ：1〜4回目すべて W、5回目 RW。確率
• ：1〜3回目に RW 1回（3通り）、4回目 RW、5回目は任意。確率
• ：1・2回目とも RW、3回目 RW、4・5回目は任意。確率

【✅検算】W/RW の5回操作 通りを全列挙して確率を厳密に合算すると (ア) 、(イ) に一致。

【💡ポイントコラム】「あとの操作は任意」の処理：(イ) の や の場合、5個目の色は5回目の操作に依存しません。「残りの操作の確率の和は1」として掛けずに済ませるのが、確率の加法・乗法定理を正しく使えている証拠。ここで無意味に場合分けを増やすと計算ミスの温床になります。

第2問（微分積分）　答：(1) 　(2)

【📖大切な定義】 軸回転体の体積：曲線 （）を で 軸のまわりに回転してできる立体の体積は 。──「 を で表し直してから2乗する」手順を飛ばすと、被積分関数を取り違えて全滅します。

【👀ここに注目】 は と逆に解けるので 。回転体の計算が というきれいな形に落ちます。一方 (2) は が初等関数で表せないため、値を求めずに大きさを評価する方向へ発想を切り替えます。

解答(1)： で曲線上の点は をみたすから、

解答(2)：まず接線 を求める。 より接点 での傾きは で、

の 切片は 、 切片は 。・ 軸・ 軸で囲まれる三角形の面積は

次に 。 は下に凸だから で曲線は接線の上側にあり、

ここで は初等的に計算できないが、 で だから

と評価できる。したがって

で、分子は 以上 以下、分母は 。上下から評価すると

両端はいずれも分子・分母を で割れば で1に収束するから、はさみうちの原理により

【✅検算】(1) は で数値積分 と公式値が一致（37.2583）。(2) は で数値計算した比が と、閉形式 どおりに1へ単調に近づくことを確認。

【💡ポイントコラム】「積分できない関数」は評価する： の原始関数は高校数学（および初等関数）の範囲では書けません。出題者がこの形を置いたのは「値を求めよ」ではなく「極限に効かない大きさであることを示せ」というメッセージ。 のような1行の評価で主要項 に対して無視できることを示すのが正攻法です。

第3問（三角関数・整数）　答：(1) 、（証明）　(2) 証明（下記）

【📖大切な定義】余弦の大小と角の位置： のとき、ある整数 に対し 。── の単調性を「 の整数倍からの距離」に翻訳できないと、 型の不等式は処理できません。

【👀ここに注目】2条件を同時にみたす範囲は「 が の直前にいる」ことを意味します。連立不等式を の区間に直すと、区間の端点が と という分数になり、(2) の「 等分点」に自然につながります。

解答(1)： は、上の定義より、ある整数 が存在して と同値。さらに を課すと、 では は の部分だけが残る（ では となる。ただし端点 が許されるのは 、すなわち のときだが、これは として の形に含まれる）。よって条件は

この区間が と交わるのは （ では左端が を超える）。また隣り合う区間について （⇔ ⇔ ： で成立）だから、 個の閉区間は互いに共通部分をもたない。ゆえに 。第 区間の長さは

で について単調増加だから、小さい順に並べて 。したがって

解答(2)： で と仮定すると、 より 。 と は互いに素だから 。しかし なのでこれは不可能。よって 。■

余り は 以上 以下の 個の相異なる整数だから、集合として に一致する（なお より ）。一方、 を用いると

だから、 は偏角 の単位円上の点。 が をちょうど1回ずつとるので、 は偏角 の点全体、すなわち単位円を 等分する 個の分点である。■

【✅検算】 について区間 の和集合と元の連立不等式の解を 点の格子で照合し不一致0。 で 、余りの集合 も確認。

【💡ポイントコラム】互いに素と「完全剰余系」： のとき を で割った余りは全て異なる──これは1次合同式 が一意に解けることと同値で、整数問題の頻出装置です。本問は「三角不等式の顔をした整数問題」であり、(1) の計算結果 が見えた瞬間に (2) の景色（回転 の軌道が全分点を巡回する）が開けます。

第4問（図形と無限級数）　答：

【📖大切な定義】無限等比級数の和：初項 、公比 （）のとき 。──「相似の構造から公比を特定する」段階を曖昧にすると、初項だけ合っていても和が合いません。収束条件 の確認も答案では必須です。

【👀ここに注目】作図は各正方形に対して90°回転対称なので、 も正方形であり、各段階は相似。したがって三角形 の面積 は等比数列になります。1辺 の正方形で1段分を座標計算すれば全てが決まります。

方針： とおき、 で内分点と交点を計算。 の初項と、辺の比（相似比）を求めて等比級数の和を で表します。

解答：（）とする。内分点は 。

直線 は 、直線 は 。連立して

すなわち 。三角形 は底辺 （長さ 、 軸上）と、 の 座標を高さとする三角形だから

次に相似比。同様に直線 と直線 （ と を通る直線）を連立すると が得られるので、

よって面積比（公比）は

より だから で収束する。 として

したがって条件は

【✅検算】作図を座標で数値シミュレーション（80段まで反復）すると、 で 、また でも和が と8桁一致。

本年度の教訓

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