順天堂大学 2008年度 数学

順天堂大学 医学部 2008年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：対数・直線の一致・軌跡の面積と体積・漸化式の極限）　答：下記各小問参照

(1) 対数方程式と最小値　答：解の和 、 で最小値

【📖大切な定義】底の変換公式より （）です。また、正の数 に対して相加平均・相乗平均の関係 が成り立ち、等号は のときに限ります。

【👀ここに注目】 と は互いに逆数の関係です。 と置き換えれば、方程式も最小値も の1変数の話に統一できます。

とおくと、 は 、すなわち となり です。よって または で、解の和は です。次に のとき なので、相加相乗平均の関係より となり、等号は 、すなわち のときです。したがって で最小値 をとります。

【✅検算】： で確かに一致。： で一致します。また を代入すると となり、最小値 と整合します。

(2) 2直線が同一直線となる条件　答：

【📖大切な定義】2つの方程式が同一の直線を表すのは、一方が他方の でない定数倍になっているとき、すなわち の係数・ の係数・定数項がすべて同じ比になるときです。

【👀ここに注目】 の係数 は常に正なので、直線 は の項が消えることはありません。比例定数 を置いて成分ごとに比較するのが正攻法です。

第2の直線が第1の直線の 倍（）であるとして とします。まず の場合、第2の直線は 、すなわち となるので、第1の直線も を表す必要があり、 から が得られます。よって は解です。次に の場合、第3式を で割って となります。これを第1式に代入すると すなわち となり、因数分解して から です。それぞれ第2式 に代入して を解くと、 のとき より 、 のとき より 、 のとき より となります。以上で4組すべてが求まります。

【✅検算】：第1の直線は 、第2の直線は で全体を 倍すると一致。：第1は （3倍後）、第2は を 倍して で一致。：第1は （3倍後）、第2は 倍して で一致します。

(3) 動く線分上の点の軌跡（楕円と回転楕円体）　答： のとき最大値 、立体は のとき最大値

【📖大切な定義】楕円 の面積は です。また、楕円を軸のまわりに回転してできる回転楕円体 の体積は です。

【👀ここに注目】A、B（）とすると、AP より P は A から B へ比 の内分点で、P となります。座標が三角関数 で媒介されるので、軌跡は楕円です。

P とおくと より、軌跡は楕円 です（ のとき）。囲む面積は で、相加相乗平均の関係より 、等号は のときです。よって最大値は となります。空間の場合は A が 軸上、B が 平面上を動くので、同様に軌跡は回転楕円体 となり、体積は です。 とおくと より で最大となり、 なので最大値は です。

【✅検算】面積： なら で最大性と整合。体積： なら で、 の方が確かに大きくなります。

(4) 3項間漸化式と分数型漸化式の極限　答：、、、、

【📖大切な定義】数列の極限が存在するとき、漸化式の両辺で とした等式（特性方程式）を極限値が満たします。ここでは が保たれるので、極限の候補は正の解に絞られます。

【👀ここに注目】 と定めると、3項間漸化式 の両辺を との比に直すだけで、分数型の2項間漸化式に変換できます。

まず 、 です。次に となります。極限 が存在するとすれば 、すなわち を満たします。 より なので です。

【✅検算】、、 を漸化式で確認すると 、 で一致。数値でも 、 と、 に交互に近づいており整合します。

第2問（2つの放物線：頂点・弦・交点と面積比）　答：A、B、C、D、E、AE:BE、CE:DE、、

【📖大切な定義】放物線 の頂点は です。また、放物線 と直線が2点 で交わるとき、囲まれる面積は で与えられます（いわゆる6分の1公式）。

【👀ここに注目】交点の座標を全部求めなくても、解と係数の関係を使えば「 座標の和・積」や「」は判別式から直接取り出せます。誘導の後半はこの視点で一気に進みます。

平方完成すると 、 なので、頂点は A、B です。A を通り傾き の直線 と の交点は より となり、A と異なる方が C です。同様に B を通る直線 と の交点は 、すなわち より となり、D です。直線 AB は傾き より 、直線 CD は傾き より で、交点は から 、よって E です。距離を計算すると AE、BE なので AE:BE、また CE、DE なので CE:DE です。

E を通る傾き の直線は です。 との交点は 、すなわち の解なので、解と係数の関係より和は 、積は です。 との交点は の解なので、和は 、積は です。

のとき直線 です。 との交点は の解なので となり、6分の1公式より です。 との交点は の解なので となり、 です。したがって が得られます。

【✅検算】E は と の両方を満たします。 の解は で、幅 、頂点での高低差 を放物線の面積公式 幅高さに入れると となり と一致。同様に は幅 、高さ で 、比も で整合します。

第3問（記述：円周角と中心角・正弦定理の証明）　答：下記の記述例参照

【📖大切な定義】円 O の周上に異なる3点 A、B、C があり、C が弧 AB（C を含まない側）上にないとき、∠ACB を弧 AB に対する円周角、中心 O についての ∠AOB を弧 AB に対する中心角といいます。

【👀ここに注目】記述式では「定義 → 定理の主張 → 証明」の順に、論理の飛びなく書けるかが評価の中心になると考えられます。特に正弦定理の証明では、円周角が等しいことを使って一般の頂点を「直径の端」に移し替えるのが要の一手です。

(1) 定義と関係の記述例　円周角と中心角は上の定義の通りで、両者の間には円周角の定理 が成り立ちます。すなわち、同じ弧に対する円周角は中心角の半分であり、したがって同じ弧に対する円周角はどれも等しくなります。

(2) 円周角が直角の場合の記述例　円周角 ∠ACB が のとき、円周角の定理より中心角は となります。よって A、O、B は一直線上に並び、AB は円 O の直径です。図としては、直径 AB を底辺とし、円周上の点 C で直角をつくる直角三角形（タレスの定理の図）を描いて説明すれば十分です。逆に AB が直径なら、弧 AB に対する円周角はすべて になります。

(3) 正弦定理の主張と証明例　三角形 ABC の外接円の半径を とすると が成り立ちます（BC など、各頂点の対辺）。証明は次の通りです。外接円 O の周上で、B を通る直径 BA′ を引きます。まず A が鋭角のとき、円周角の定理より であり、BA′ は直径なので (2) より です。よって直角三角形 A′BC において となり、 が得られます。A が直角のときは 自身が直径で なので が成り立ちます。A が鈍角のときは、円に内接する四角形の対角の和が であることから となり、 を用いて同じ結論になります。B、C についても同様なので、3つの比はすべて に等しくなります。

【✅検算】 の直角三角形（斜辺 、他の2辺 ）では外接円の直径が斜辺なので です。実際 、、 となり、すべて に一致します。

【💡ポイントコラム1：逆数のペアは1文字に置き換える】第1問(1)の と 、(4)の のように、逆数関係のペアが現れたら1つの文字 に統一するのが定石です。（）は医学部入試でも登場回数の多い不等式なので、等号成立条件までセットで使えるようにしておきたいところです。

【💡ポイントコラム2：同一直線の条件は「定数倍」で処理する】第1問(2)のように2つの1次方程式が同じ直線を表す条件は、係数の比例（定数倍）で立式するのが安全です。分数の比で書くと分母が になる場合の検討が漏れやすいため、比例定数 を導入して場合分け（本問では と ）まで丁寧に行う書き方をおすすめします。

【💡ポイントコラム3：6分の1公式は「差の3乗」まで含めて1セット】第2問の面積計算では、交点を具体的に求めなくても、2次方程式の判別式から を取り出し、 に直結できます。面積比 のような問いは、この公式で構造ごと比較すると計算量が大きく減ります。

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