順天堂大学 2014年度 数学

順天堂大学 医学部 2014年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（小問集合：行列・微分と近似・3次関数・極座標・回転体）　答：(1) ・　(2) 4.12・6.08　(3) 第3の交点 ・　(4) ・・面積和12　(5) 5:27・

【📖大切な定義】2次正方行列 は ad−bc≠0 のとき逆行列 をもちます。また、接線による1次近似とは、x=1の近くで を接線の値 1+h/2 で置き換える考え方です。

【👀ここに注目】(1)は与えられた2つの行列がどちらも「行が比例する（正則でない）」ことに気づくのが出発点。(4)は「1歩ごとに回転角と縮小率が一定」という等比らせんの構造、(5)は「楕円体は球の一方向拡大」という見方が鍵になります。

(1)　 の第2行は第1行の2倍なので、実質的な情報は だけです。同様に の各行は の倍なので （第2行を3で割ったもの）。この2本を束ねると 。行列式は 1·(−1)−(−2)·1=1 なので これを左から掛けて

(2)　 の導関数は （a=1/2・b=−1/2）。点(1, 1)での接線は で、接線上の x=1+h での値は 。hが小さいときこれは の良い近似で、誤差は 未満に収まります。 なので、近似値は 。誤差評価より なので、小数第2位まで求めると 4.12。同様に の近似値は で、小数第2位まで求めると 6.08 となります。

(3)　y=x³−4x をx方向にp・y方向にq平行移動した が x=1, 2 と第3の点 r で x軸と交わるとすると、 の係数比較から r=3p−3、、q=−2p+3 が得られます。よって の2通り。 のとき q=√5、第3の交点は 。もう一方の のとき q=−√5、第3の交点は です。

(4)　一辺2の正方形 A₀B₀C₀D₀ の頂点は原点Oから距離√2にあります。分点比 3−√3 : 3+√3 は、比の値 の内分。A₀(R, 0)、B₀(0, R)（R=√2）とすると A₁=((1−t)R, tR) で、 よって 。対称性から各正方形は相似に縮むので、一辺も同じ比で縮み 。回転角は より θ=π/12。したがって Aₙ は偏角 nπ/12・動径 にあり、 の形に合わせると a=√2、 から 。面積は初項 2²=4・公比 2/3 の等比数列なので、総和は です。

(5)　半径1の球を中心から距離1/2の平面で切ると、小さい方は球冠で体積 （h=1/2）。球全体は なので比は 5 : 27。次に楕円 の傾き2/3の接線は で、x軸の正の部分で交わるのは 。この楕円をx軸のまわりに回転した回転体Vは楕円体 で、体積は 。a=0のとき、交線 を含みxy平面に垂直な平面でVを切った断面は、平面内の距離sを使うと 、すなわち半軸 と 1 の楕円になり、面積は 。最後に、Vは単位球をx方向に2倍した図形なので、平面 は球側では平面 に対応し、体積比は拡大で保たれます。球の中心からこの平面までの距離は で、これが冒頭の 1/2 に一致すればVは 5 : 27 に分けられるので、 より となります。

【✅検算】(1)は求めたAを両方の行列方程式に代入して全成分一致を確認。(2)は √17=4.1231…・√37=6.0828… と照合し、誤差が保証の範囲内であることも確認。(3)は2組の(p, q)それぞれで x=1, 2, 第3交点 を式に代入し全て0になることを数値確認。(4)は座標計算で A₁O/A₀O=0.81650=√6/3、偏角15°、面積和 4+8/3+16/9+…→12 を確認。(5)は接線が楕円と重解（判別式0）で接すること、断面楕円の半軸、距離3a/5=0.5 をそれぞれ数値で確かめました。

第2問（2次曲線：垂直二等分線の動く範囲）　答：・エオ16・焦点(−2, 0), (2, 0)・r>4のとき a) 楕円・r<4のとき c) 双曲線

【📖大切な定義】点Xが線分PSの垂直二等分線上にある ⟺ XP=XS。また、楕円 （A>B>0）の焦点は 、双曲線 の焦点は です。

【👀ここに注目】「垂直二等分線が動く範囲」を直接図形的に追うのではなく、「点X(x, y)を通る垂直二等分線を与えるpが存在するか」というpの方程式の実数解条件に読み替えるのが本問の誘導です。

方針・解答　中心(−2, 0)・半径rの円C上の動点を P(p−2, q)（p²+q²=r²）、S(2, 0) とします。XP²=XS² を展開すると ここで p²+q²=r² を代入して整理すると が得られます（ア2・イ4・ウ2）。両辺を平方して q²=r²−p² を使うと、pについての2次方程式 になります。pが異なる2実数解をもてば、点Xを通る垂直二等分線が2本存在します。判別式を4で割って整理すると（y²>0の因子を除いて） となり、エオ=16。この領域の境界となる2次曲線 を標準形に直すと r>4 のときは楕円で、 より焦点は (−2, 0) と (2, 0)（カキ−2・ク2）。r<4 のときは の双曲線で、 よりやはり焦点は (±2, 0)。したがって ケ=4 で、r>4 のとき a) 楕円、r<4 のとき c) 双曲線 となります。焦点が「円Cの中心(−2, 0)と定点S(2, 0)」に一致するのは、垂直二等分線の包絡線が2定点からの距離の和・差一定の曲線になるという背景の現れです。

【✅検算】円周上の点P・その垂直二等分線上の点を乱数で多数生成し、誘導の1次式 が常に成り立つことを確認。さらにpの2次方程式の判別式と閉じた式 が乱数2000組で一致すること、r=5・X=(3, 1) で実際に2つの解pが得られ、いずれも|p|≦rを満たすことも数値で確かめました。

第3問（記述式：ベクトルの直交化と三角形の内心）　答：(1) 3つの内角の二等分線の交点（内接円の中心）　(2) 証明　(3) k=l　(4)

【📖大切な定義】三角形の内心とは、3つの内角の二等分線の交点であり、3辺すべてに接する円（内接円）の中心です。3本の二等分線が1点で交わることは、2本の交点が残る1辺からも等距離にあることから従います。

【👀ここに注目】(2)は「ベクトルから特定方向の成分を引き去ると直交する」という直交化の基本操作。(3)で「単位ベクトルの和 kv+lu が k=l のとき角の二等分方向になる」ことを確かめさせ、(4)の内心の位置ベクトルへつなげる誘導設計です。

(1)　三角形の内心とは、三角形の3つの内角の二等分線の交点のことです。この点は3辺から等距離にあり、三角形に内接する円（内接円）の中心となります。

(2)　 に対して （ より ）。また は と平行でないので 。よって と は直交します。（証明終）

(3)　 について、。同様に 。よって 。（−1<c<1）とおくと 、 なので、条件は kc+l=±(k+lc)。複号が+のときは (k−l)(c−1)=0 から k=l。複号が−のときは (k+l)(1+c)=0 となりますが、k, l>0 かつ 1+c>0 より不成立。したがって求める条件は k=l です。なお , はそれぞれ と , 方向の間の「距離」にあたるので、k=l は「 が2方向から等距離＝角の二等分方向」を意味します。

(4)　内心Iは∠Oの二等分線上にあります。(3)より、単位ベクトル , （OA=b, OB=a）を等係数で足した方向が∠Oを二等分するので、 と書けます。一方、∠Aの二等分線が辺OBと交わる点Dは、角の二等分線の性質より OD:DB=AO:AB=b:c なので 。IはAD上にもあるので とも書け、, は1次独立だから係数比較で これを解くと となり、 が得られます。

【✅検算】(3)は乱数で作った単位ベクトルの組500例で、k=lなら常に|x|=|y|、k≠l（例：l=1.7k）なら|x|≠|y|となることを確認。(4)は乱数三角形500例で、公式の点から3辺までの距離が3つとも一致（内接円の中心）することを数値確認しました。O(0,0)・A(4,0)・B(0,3)の直角三角形では公式値(1, 1)が既知の内心と一致します。

【💡ポイントコラム①：正則でない行列は「行の情報」で読む】第1問(1)の2つの係数行列はどちらも行列式0で、逆行列で一発処理はできません。しかし行が比例していることに気づけば、独立な1次関係 ・ を取り出して正則な行列に組み直せます。「逆行列が使えない＝情報を整理し直すサイン」と捉えると視界が開けるでしょう。

【💡ポイントコラム②：1次近似は「誤差の見積り」とセットで】第1問(2)の は、誤差が 未満という評価があって初めて「小数第2位まで確定」と言えます。近似値を出すだけでなく、誤差の上限を添えて桁を保証する流れは、医学部系の出題で好まれる論法のひとつと考えられます。

【💡ポイントコラム③：楕円体は「球の一方向拡大」で攻める】第1問(5)の後半は、楕円体を切る平面の位置を直接積分で追うと大変ですが、x方向を1/2に縮めて球に戻せば「中心から距離1/2の平面」という冒頭の結果がそのまま使えます。1次変換（拡大・縮小）で体積比が保たれることは、面積・体積の比較問題全般で強力な道具になります。

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