順天堂大学 2016年度 数学

順天堂大学 医学部 2016年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（場合の数・図形と極限・微分積分の小問集合）　答：(1) 計8通り／計30通り　(2) 6/5・lπ，11/25・l²π，a=1，c=1/3，f=1，g=1/3　(3) t=8/27 ほか　(4) a=1，b=−9/2，c=3/2，α=6−3√2/2，β=3+3√2/2

(1) 立方体の塗り分け

2色（赤・青、どちらも必ず使う）の場合。面の枚数の内訳で分けます。

• 1面と5面：1面だけ塗る面は回転でどこにでも移せるので配置は1種類。どちらの色を1面にするかで2倍あり、ア＝2通り。
• 2面と4面：同色の2面が「向かい合う」か「隣り合う」かの2種類の配置があり、色の入れ替えで2倍。よって イ＝4通り。
• 3面と3面：3面が「1つの頂点のまわりに集まる型」と「帯状にコの字に並ぶ型」の2種類。この内訳では色を入れ替えても回転で元の塗り方に重なるため2倍にはならず、ウ＝2通り。

計 2＋4＋2＝エ＝8通りです。

3色（赤・青・黄、すべて使う）の場合。

• 1面・1面・4面：4面に塗る色の選び方が3通り。残る2面は「向かい合う」か「隣り合う」かの2種類で、2面への2色の割り振りは回転で一致します。よって 3×2＝オ＝6通り。
• 1面・2面・3面：色の役割分担（どの色を1面・2面・3面にするか）が 3!＝6通り。役割を固定すると、3面の色が「頂点型」のとき残りの配置は1種類、「帯型」のとき1面の色が帯の真ん中か端かで2種類、合わせて3種類。よって 6×3＝カキ＝18通り。
• 2面ずつ：3組とも向かい合う配置が1通り、1組だけ向かい合う配置が（向かい合う色の選び方で）3通り、どの組も隣り合う配置が鏡像の関係にある2通りで、計 ク＝6通り。

計 6＋18＋6＝ケコ＝30通りとなります。

(2) 正五角形に巻いた糸をほどく（図形と極限）

周の長さが なので1辺は です。端Fははじめ、糸が最後に接している頂点Cを中心に、半径 （ア/イ＝1/5）の円弧を描きます。糸が一直線にほどけて次の辺の延長に重なるまで回る角は、正五角形の外角 （ウ/エ＝2/5）で、以後も中心がB、A、E、Dと移るたびに半径だけが と増え、中心角は のまま変わりません。

動点Fの動く距離は弧長の和なので （オ/カ＝6/5）。糸が掃く面積は扇形の面積の和で （キク/ケコ＝11/25）となります。

正 角形でも同様に、半径 （）、中心角 の弧をつなぐので、移動距離は より （サ＝1）、。掃く面積は より （シ/ス＝1/3）、、。

円（伸開線）は の極限で、 （セ＝1、ソ/タ＝1/3）が得られます。

(3) 3次関数と面積関数の導関数

について より、（ア＝3、イ＝3）で極値 （ウ＝2、エ＝3、オ＝9）をとります。極値の間の に対し、 の3解が なので、解と係数の関係から （カ＝0、キク＝−1）です。

は、 が区間 で正、 で負であることに注意すると、 が微小量 増えたとき、正の部分では帯の高さが ずつ減り、負の部分では ずつ増えます（端点では被積分関数が0なので端の移動の影響は現れません）。よって （ケ＝d）。さらに を使うと （コサ＝−3、シ＝b）とまとまります。

となるのは のときで、 は方程式の解ですから （ス＝8、セソ＝27）。このとき は極値 の間にあり、条件に適します。

(4) 4次関数のスライド最大・最小

に対し、 の での最大・最小は、偶関数 を幅3の窓 で眺めたものと同じです。最小値 が長さ もの区間で一定値 を保つには、 がW型（、）で、2つの最小点 のどちらかを窓が拾い続ける必要があります。窓が を含む条件 を について解くと 、同様に を含むのは で、この2区間の和集合がちょうど になる条件から （つなぎ目 も一致します）。よって最小点は 、すなわち です。

一方、最大値 が区間 で一定値 になるのは、窓の両端の値がともに山の高さ以下で、窓が原点（極大点）を含み続けるときに限られます。したがって （オ/カ＝3/2）。最小値の条件から と を連立すると となり （ア＝1、イウ/エ＝−9/2）が得られます。

で となるのは 、つまり の範囲です。窓の両端 がともにこの範囲に入り、かつ窓が を含む条件 と合わせると （キ＝6、ク＝3、ケ＝2、コ＝2／サ＝3、シ＝3、ス＝2、セ＝2）となります。

第2問（空間図形）　答：正二十面体の体積は (15+5√5)/12・AB³（表面積は 5√3・AB²、GO=(3√3+√15)/12・AB ほか）

対角線と黄金比。1辺 の正五角形ABCDEで対角線ACとBEの交点をIとすると、 と はともに底角 の二等辺三角形で相似。 とおくと から 、 となり （ア＝1、イ＝5、ウ＝2）。二等辺三角形ABC（）で頂点Aから下ろす垂線を考えれば （エ＝1、オ＝5、カ＝4）、したがって です。

ABをAHで表す。△ABCの外接円は中心H・半径AHの円ですから、正弦定理より 。よって （キク＝10、ケ＝2、コ＝5、サ＝2）。

頂点Fと中心O。FはHの真上に となるようにとった点なので、三平方の定理から であり、 に気づけば （シス＝−1、セ＝5、ソ＝2）。FHの延長上に となる点O（外接球の中心）をとると、△OAHで から 。左辺は 、 なので （タ/チ＝1/2、ツ＝5、テ＝2）となります。

面の重心Gと内接球の半径GO。△FABは3辺が の正三角形なので、頂点Fから重心Gまでは中線の 、すなわち （ト＝3、ナ＝3、ニヌ＝30、ネ＝6、ノ＝5、ハ＝6）。OGは面FABと垂直なので△OGFで であり、 を代入して整理すると （ヒ＝3、フ＝3、ヘホ＝15、マミ＝12）。最後の開平は で確かめられます。

表面積と体積。正三角形20枚なので表面積は （ム＝5、メ＝3）。正二十面体は中心Oを頂点とする20個の合同な三角錐（高さGO）に分割できるので、体積は （モヤ＝15、ユ＝5、ヨ＝5、ラリ＝12）と表せます。

第3問（不等式の証明・記述式）　答：(1)〜(3) 証明　(4) 等号成立は「AとC、BとDがそれぞれ一致」「AとD、BとCがそれぞれ一致」（4点がすべて一致する場合を含む）のとき

(1)　両辺は0以上なので2乗の差を調べます。 よって であり、両辺の正の平方根をとって が成り立ちます（等号は のとき）。〔証明終〕

(2)　Rは辺OP上、Sは辺OQ上の点なので、線分PSと線分QRはともに三角形OPQの内部（または周）にあり、交点Tをもちます。三角形TPQと三角形TRSで三角不等式を用いると 辺々加えると、、 ですから すなわち が成り立ちます（TがP、S、Q、Rのいずれかに一致する退化した場合も、上の2つの三角不等式はそのまま成立します）。〔証明終〕

(3)　任意の4点A、B、C、Dに対し、三角不等式より次の4つが成り立ちます。 4式を辺々すべて加えると 両辺を2で割って が任意の位置関係で成り立ちます。〔証明終〕　なお、ABとCDが凸四角形の対角線をなす配置では(2)を用いて示すこともできますが、上の方法なら4点の位置関係による場合分けが不要です。

(4)　(3)の証明で用いた4つの三角不等式の等号が同時に成り立つことが必要十分です。すなわち「Cが線分AB上」「Dが線分AB上」「Aが線分CD上」「Bが線分CD上」がすべて成り立つ場合で、前の2つから線分CD⊆線分AB、後の2つから線分AB⊆線分CDとなるため、線分ABと線分CDは端点の集合として一致しなければなりません。したがって等号が成り立つのは、 AとC、BとDがそれぞれ一致するとき、または、AとD、BとCがそれぞれ一致するとき（4点がすべて一致する場合を含む）です。

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