順天堂大学 医学部2018年度数学 過去問の傾向と解答・解説

順天堂大学 医学部 2018年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（円と接線・合同式・インボリュートの弧長）　答：(1) 、、ABの傾き 、　(2)(a) 6　(b) 積 の余り 6、 の余り 0、 の余り 9、余りは小さい順に 4、7　(3) 、、、、

【📖大切な定義】円 と直線が接する条件は「中心と直線の距離＝半径」です。整数 a、b が法11で合同（）とは差が11の倍数であることをいい、和・差・積はそのまま余り同士の計算に置き換えられます。また、2つの自然数の最大公約数 G と最小公倍数 L には の関係があります。媒介変数表示された曲線の長さは で与えられます。

【👀ここに注目】(1)は円の方程式を平方完成して中心と半径を出すのが第一歩です。(2)(b)は a、b そのものは分からなくても「余りの世界」だけで積・和・差が全部決まる、という合同式の威力を体感する問題です。(3)は「張った糸の直線部分 QP の長さ＝すでにほどいた弧 AQ の長さ＝θ」という糸の長さ保存が全ての出発点で、QP の向きが OQ を 回した向きであることを式の形 に翻訳します。

(1)　 を平方完成すると となり、中心は 、半径は （）です。中心は x 座標の半分が y 座標なので、直線 の上にあります。直線 、すなわち と接する条件は、中心との距離が半径に等しいことから で割って 。両辺を2乗して整理すると 、つまり なので 接点は、（直線 ）については中心から x 軸に下ろした垂線の足で 、（直線 ）については中心 から下ろした垂線の足を計算して となります。よって直線 AB の傾きは です。実は AB は「原点からこの円に引いた2接線の接点弦（極線）」なので、公式から直線 AB は と直接書け、傾き が a によらないことも見通せます。線分 AB の長さは、中心 と直線 の距離が であることから、三平方の定理で これが3に等しいとき となります。 (2)(a)　 より 。したがって 余りは 6 です。
(b)　最大公約数 G と最小公倍数 L について が成り立つので (a) の結果を使うと 。 より 、 なので、積 の余りは 6 です。次に と合わせて 余りはそれぞれ 0、9 です。最後に a、b の余りを求めます。11は素数なので から 、すなわち b の余りは a の余りの符号を変えたものです。a の余りを r とすると 、つまり 。 の平方の余りは順に 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1 なので、 となるのは に限られます。しかも 、 と両条件を同時に満たすので、a、b の余りは小さい順に (3)　糸は伸び縮みしないので、θ までほどいたとき、直線部分 QP の長さはほどいた弧 AQ の長さ、すなわち （半径1）に等しくなります。QP は円の接線方向、つまり OQ と垂直で、図の配置（P は Q から A 側へ張り出す）から OQ を 回転した向きです。よって となり、 の範囲では です。成分で書くと 、。微分すると なので、 では 。したがって曲線の長さは となり、、 です。糸の長さは で円周（半径1の全周 ）とちょうど等しいので、ほどけ終わるのは のとき。求める長さは なので 、 となります。

【✅検算】(1)は接点を成分計算で確認： は円上にあり を満たし、傾きの計算値も 。 を代入すると で条件と一致します。(2)はプログラムの合同計算で 、 を直接確認し、さらに余りの組 を全数調査して「 かつ 」を満たすのは のみであることも確かめました。(3)は弧長を数値積分すると 19.7392088 で、 と一致します。

第2問（持ち点ゲームの確率：ランダムウォーク）　答：(1) 、、優勝確率 　(2) 、　(3) 、、優勝確率 　(4) 、

【📖大切な定義】勝てば持ち点が1増え、負ければ1減るので、A の持ち点は1歩ずつ動くランダムウォークです。持ち点の合計は一定（勝者が+1、敗者が−1）なので、「A の持ち点が合計値に達する＝B の持ち点が0になる＝A の優勝」と言い換えられます。初項 、公比 r（）の無限等比級数の和は です。

【👀ここに注目】(1)では「2ゲームごとの繰り返し構造」に注目すると、A が 2k ゲーム目に優勝する確率が等比数列になります。(2)は (1) の結果の再利用：1ゲーム目のあと持ち点が (1) の初期状態と同じになるからです。(3)は優勝確率を持ち点 n の関数 とみて三項間漸化式を立てるのが定石、(4)は勝ち負けの確率が ずつという対称性から「立場を入れ替えた確率」が同じ p で書ける、という点が急所です。

(1)　初め A、B とも持ち点2（合計4）。A は持ち点4で優勝、0で敗退です。2ゲーム目終了時に A が優勝するのは2連勝のときだけなので 4ゲーム目終了時に優勝するのは、持ち点が （勝→負→勝→勝）または （負→勝→勝→勝）の2通りの経路のとき（勝勝負勝は2ゲーム目で終了してしまうので不可）。それぞれ確率 なので、合わせて 一般に、最初の2ゲームで決着しない（1勝1敗になる）確率は で、そのとき持ち点は初期状態に戻ります。よって A が 2k ゲーム目に優勝する確率は となり、A の優勝確率は無限等比級数の和 (2)　A が3点、B が1点のとき。1ゲーム目に A が勝てば（確率 ）その時点で B の持ち点が0になり A の優勝。負ければ（確率 ）持ち点は A、B とも2となり (1) の初期状態と同じなので、そこから A が優勝する確率は 。よって A が1点、B が3点のときは、1ゲーム目に A が負けると即敗退なので、勝って（確率 ）2対2に持ち込んでから優勝するしかなく (3)　A、B とも3点（合計6）。3ゲーム終了時に A の持ち点が4になるのは2勝1敗のときで、どの順でも途中で0や6には到達しないのですべて有効です。よって 持ち点2になるのは1勝2敗のときで、同様にどの順も有効なので 優勝確率は、A の持ち点が n のときの優勝確率を （、）とおくと、1ゲームで場合分けして 整理すると 。特性方程式 の解は なので、一般項は定数 α、β を用いて と書けます。、 から 、。したがって で、求める確率は (4)　勝つ確率が ずつ、A が3点、B が2点（合計5）で、A の優勝確率を p とします。1ゲーム目に A が勝つと A は4点。そこから次のゲームで勝てば優勝（確率 ）、負ければ3点対2点に戻るので優勝確率は p。よって「1ゲーム目に A が勝ち、かつ A が優勝する」確率は 一方、1ゲーム目に A が負けると A が2点、B が3点。勝ち負けの確率が等しいので、この状態で B が優勝する確率は「3点対2点で先手側が優勝する確率」すなわち p と同じであり、A が優勝する確率は です。よって これを解くと 、つまり から

【✅検算】全小問を2通りの方法で独立に確認しました。まず優勝確率については、各持ち点を状態とする連立1次方程式（吸収マルコフ連鎖）を数値的に解き、、、、、 がすべて一致。有限ゲームの確率は経路の全数列挙プログラムで分数のまま計算し、2ゲーム優勝 、4ゲーム優勝 、3ゲーム後の持ち点4が 、持ち点2が と厳密に一致しました。(4)は公平なランダムウォークの一般公式（持ち点3、合計5なら ）とも整合します。

第3問（重心のベクトル表示と外心との一致条件：記述）　答：(1) 　(2) 　(3) 三角形 ABC が正三角形であること

【📖大切な定義】三角形の重心は3本の中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）の交点、外心は3辺の垂直二等分線の交点（外接円の中心）です。、 が1次独立（ともに零ベクトルでなく平行でもない）のとき、 ならば 、 と係数を比較できます。内積の定義は です。

【👀ここに注目】(1)は「重心＝中線の交点」という定義から導けという指定なので、 を天下り的に使うのではなく、2本の中線上の点として2通りに表して係数比較する筋道が求められています。(3)は「外心は各辺の垂直二等分線上にある」ことを、(2)で計算した内積が0という条件に翻訳するのがポイントで、(2)がそのまま誘導になっています。

(1)　辺 BC の中点を M とすると 。G は中線 AM 上にあるので、実数 k を用いて 一方、辺 AB の中点を D とすると、G は中線 CD 上にもあるので、実数 t を用いて 、 は三角形の2辺なので1次独立であり、①②の係数を比較して これより 。したがって （証明終）
(2)　D は辺 AB の中点なので 、よって 。また したがって 内積の定義 を代入して (3)　辺 AC の中点を E とします。外心は「各辺の垂直二等分線の交点」なので、重心 G が外心に一致することは、G が辺 AB、AC の垂直二等分線上にあること、すなわち と同値です（このとき辺 BC の垂直二等分線の条件は自動的に満たされます）。(2)の結果と、b と c を入れ替えた同様の計算から、この条件は すなわち かつ と同値です。2式の辺々を割る（または差をとって因数分解する）と 、つまり が必要で、このとき 、 より 。AB＝AC かつ頂角が の二等辺三角形は正三角形です。逆に正三角形なら対称性より重心と外心はともに中心に一致します。したがって、求める必要十分条件は （証明終）

【✅検算】(2)は具体的な三角形 A(0,0)、B(4,0)、C(1,3) で確認：D(2,0)、G(5/3,1) から 。一方、公式に 、、 を代入すると で一致します。(3)は正三角形（1辺2、頂点 (0,0)、(2,0)、(1,√3)）で重心と外心がともに に一致すること、また上の非正三角形では重心 (5/3,1) と外心（数値計算で (2, 7/6)）が異なることを確認しました。

【💡ポイントコラム①：外部の点からの「接点弦（極線）」】円 の外部の点 から引いた2本の接線の接点を結ぶ直線は と書けます。第1問(1)では原点からの接点弦が となり、傾き が a の値によらないことが一瞬で分かります。接点の座標を求めてから傾きを計算する正攻法と併用すれば、マーク式では強力な検算手段にもなります。

【💡ポイントコラム②：合同式は「小さい代表」に取り替えて計算】第1問(2)のような巨大な数のべき乗の余りは、 のように絶対値の小さい代表に取り替えると計算が軽くなります。実際 と暗算でき、フェルマーの小定理（素数11に対して ）を知っていれば も即座に出ます。誘導の「13→13²」の実験は、この「余りだけで計算してよい」という原理を体感させる仕掛けと読めます。

【💡ポイントコラム③：ギャンブラーの破産問題の三項間漸化式】第2問のように「持ち点が±1ずつ動き、0か上限で終了」という設定はギャンブラーの破産問題と呼ばれる有名題材です。優勝確率 は必ず 型の三項間漸化式を満たし、特性方程式の2解 1、 を使って と書けます（ のときだけ は n の1次式）。境界条件 、 で定数を決める、という流れを一度整理しておくと、この型の問題を安定して処理できるようになります。

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