順天堂大学 2019年度 数学

順天堂大学 医学部 2019年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（複素数平面・場合の数と整数・リサージュ曲線の面積）　答：(1)(a) 、、 の和 、 の和 　(b) 、、　(2) ア：(a)、2072個、 は624個、 は240個、600番目は1874　(3) A は 、B は 、、被積分関数は 、、全体の面積

【📖大切な定義】 は を満たす1の7乗根で、 より が成り立ちます。また のとき です。積和の公式は 。媒介変数表示された閉曲線が囲む面積は、y を積分変数として の形で計算できます。

【👀ここに注目】(1)(a) は と共役 を合わせるとちょうど が現れる、という「相棒とペアで対称式を作る」構図です。(2) は「2つの桁の和が9になる組は (1,8)(2,7)(3,6)(4,5) の4ペアだけ」という言い換えが全ての出発点になります。(3) は 8θ と 6θ という2つの角の整数倍が絡むため、まず y 軸上の点（x＝sin 8θ＝0）に対応する θ＝kπ/8 をしらみつぶしに調べるのが確実です。

(1)(a)　、 より 。 だから で、。よって また （展開すると が3回、残り6項が を1回ずつ与えます）。 の実部は で、 より 虚部を s とすると から 。 で和は正と確かめられるので (1)(b)　、 はいずれも絶対値1（偏角はそれぞれ 120°、−30°）です。 より 。同様に より （ の順）。正三角形の第3頂点 γ は、線分 αβ の中点 から αβ に垂直な方向へ だけ進んだ点なので を代入して整理すると、複号プラスで （実部が正）、複号マイナスで （実部が負なので不適）。よって (2)　1) は「 の要素のうち3桁以下のもの」なので です。一方、たとえば 1234 は に属しますが4桁なので には属しません。したがって は であるための必要条件であるが、十分条件ではない：答は (a)。
2) 桁数ごとの順列で の要素の個数は 3) 和が9になるペアは (1,8)(2,7)(3,6)(4,5) の4組。どの2桁の和も9にならないためには「4組のペアから使う組を選び、各組から1つずつ数字を採用する」ことが必要十分です。k 桁なら 個なので 4) 2桁は56個、3桁は336個で計392個。600番目は4桁の 600−392＝208 番目です。千の位が1の4桁は 個あるので千の位は1。百の位を2〜7とするものが各 個で計180個、208−180＝28 より百の位は8。十の位を2〜6とするものが各5個で計25個、28−25＝3 より十の位は7。一の位は残り {2,3,4,5,6} の小さい方から3番目で4。よって600番目は (3)　y 軸上の点は 、すなわち （k＝0,1,…,8）で、そのとき です。順に調べると、y＝1 となるのは k＝6、つまり点 A(0, 1) は となるのは k＝5, 7 のときで、いずれも 。よって B では小さい順に であり 実線部分は θ が から まで動くときの曲線です。 と で x は符号が逆、y は等しくなるので、この閉曲線は y 軸対称で、 が x≧0 の右半分（A から B へ降りる部分）に対応します。 に積和の公式を使うと となるので、x≧0 の部分の面積は y＝β から1まで （y が β→1 と増えるとき θ は と減るため、積分区間はこの向きになります）。計算すると y 軸対称性から全体の面積はこの2倍で

【✅検算】(1)(a) は数値計算で 、、cos の和 −0.500000、sin の和 1.322876＝ と一致。(b) は2つの絶対値の数値 0.517638、1.931852 が一致し、γ について3辺の長さがすべて 1.931852 で正三角形になることを確認しました。(2) はプログラムで全2072個を生成して数え上げ、624・240・600番目＝1874 がすべて一致。(3) は θ＝5π/8, 3π/4, 7π/8 での座標を直接確認し、面積も数値積分（右半分 1.212183＝6√2/7）とシューレース公式による全体 2.424366＝12√2/7 の両方で一致しました。

第2問（漸化式 と数列の極限）　答：(1) 、、極限 12　(2) 、、極限 　(3) 、、極限 2　(4) 、 で 、 で

【📖大切な定義】漸化式 （p≠1）は、不動点 を用いて と変形でき、 なら です。実数 a に対し は a を超えない最大の整数（ガウス記号）。また を満たす点は f の不動点 、（かつ ）を満たす点は の解のうち不動点でないもの（2周期点）です。

【👀ここに注目】(2) はガウス記号のせいで等比型の公式が使えないため、値が一定になるまで具体的に回すのが正解です。(3) は分数関数 の逆数をとると と1次の漸化式に化ける、という定番の変換が効きます。(4) は「区間 [0,1] が f で [0,1] の中に写る条件」を最大値 で押さえるのが第一歩で、後半は の因数分解が主役です。

(1)　、 のとき 、。不動点は より x＝12 で、 から 。よって (2)　 のとき、 なので は (1) と同じ値です。以後は 、、、、、そして より 。以後ずっと のまま一定なので (3)　 で、f は正の値を正の値に写すので全項が正。逆数 をとると 。不動点は で n＝5 で 、n＝9 で 。よって (4)　 は [0,1] 上で最小値0（a≧0 のとき）・最大値 （x＝1/2）をとります。すべての で （n≧2）が成り立つことは、f が [0,1] を [0,1] の中へ写すことと同値です。a＜0 なら で となり不適、a＞4 なら同じく で不適。 なら で条件を満たすので、必要十分条件は となる0以外の は 、x≠0 から 。これが を満たすのは a＞1 のときなので、範囲は 次に 、 となる は の解のうち不動点以外です。展開して因数分解すると となるので、2周期点は の解です。判別式は で、 の範囲でこれが正になるのは a＞3 のとき。したがって範囲は で、2解のうち小さい方（ を満たす方）が です（分母分子を a で約分した形。マークの形式では ヤ＝1、ユ＝1、ヨ＝3 に対応します）。

【✅検算】(1) は反復計算で 5.25、6.9375＝111/16、60回の反復で 12.000000 に収束。(2) も反復計算で 5.25、6.75、 以降 9.75＝39/4 で一定になることを確認。(3) は分数のまま逐次計算して 、（既約）と一致し、反復値は 2.000000 に収束。(4) は a＝3.5 で公式値 から 、 と2周期が再現され も成立。さらに a＝−0.5 と 4.2 では [0,1] からはみ出す初期値が存在し、a＝4.0 でははみ出さないことを走査で確認しました。

第3問（ユークリッドの互除法とその原理：記述）　答：(1) 21　(2)(3) 証明（下記）

【📖大切な定義】正の整数 a、b について、b を a で割った商を q、余りを r とすると （）です。ユークリッドの互除法は「」を余りが0になるまで繰り返して最大公約数を求める方法で、その正しさは (2) で示す「公約数が引き継がれる」性質に支えられています。

【👀ここに注目】(3) は「互除法の各ステップの余りは、すべて a と b の整数係数の1次結合で書ける」ことを最後の余り（＝最大公約数）まで遡って主張する問題です。互除法を逆にたどる具体計算（バックトラック）を一般化して記述する、あるいは1次結合であることを帰納的に示す、という2通りの書き方が考えられますが、いずれも「余り＝前の2つの1次結合」という関係式が核になります。

(1)　互除法を実行すると 余りが0になったので、最大公約数は最後の割る数 (2)　b を a で割った商を q とすると 、すなわち c は a、b の公約数なので、整数 k、l を用いて 、 と書けます。代入して は整数だから、c は r の約数です。（証明終）
(3)　a、b に互除法を適用し、現れる余りを順に とします： 余りは と真に減少する非負整数の列なので、有限回で必ず0になります。最後の0でない余りを とすると、(2) の性質から 、すなわち （最大公約数）です。ここで「互除法に現れる各数は a と b の整数係数の1次結合 の形に書ける」ことを示します。まず 、 は1次結合です。ある段階までの2数 、 が1次結合で書けているとき、次の余りは となり、係数 、 は整数なので、これも1次結合です。よって帰納的に、互除法のすべての余り、特に最後の余り も の形に表されます。（証明終）

【✅検算】(1) は素因数分解 1050＝2·3·5²·7、819＝3²·7·13 からも で一致し、互除法の各等式（1050＝819+231 など）もすべて数値検証済みです。(3) の構成を (1) の数値で実際に遡ると、21＝126−105＝2·126−231＝2·819−7·231＝9·819−7·1050 となり、、（、a＝1050、b＝819）で が確かに成り立ちます。

【💡ポイントコラム①：1の n 乗根と「共役ペアで対称式」】第1問(1)のように 系の和を求める問題では、1の7乗根 z を導入して「和 と共役 」の基本対称式 、 を作るのが定石です。 自身は求まらなくても、実部と絶対値が分かれば虚部も決まります。5乗根（cos 36° 系）でも同じ手が使えるので、セットで練習しておくと強力です。

【💡ポイントコラム②：「和が9のペア」型の数え上げは補集合よりペア構造】第1問(2)3) は、条件を「禁止ペア4組から高々1個ずつ選ぶ」と読み替えた瞬間に で一気に数えられます。600番目の特定も「桁数→千の位→百の位→…」と上の位から個数を切り分ける辞書式の数え方が確実で、マーク式では最後に「1874以下の要素数＝600」を検算すると安心です。

【💡ポイントコラム③：ロジスティック写像 の周期倍分岐】第2問(4)の背景には、パラメータ a を大きくすると不動点（a≦3 で安定）→2周期（a＞3 で出現）と挙動が変わる「周期倍分岐」というカオス理論の入り口があります。入試では から不動点の因数 と をくくり出し、残る2次方程式の判別式 を調べる、という手順さえ身につけておけば十分対応できます。

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