順天堂大学 2023年度 数学

順天堂大学 医学部 2023年度 数学の傾向と解答・解説【数強塾オリジナル】

※以下の解答・解説はオンライン数学専門塾「数強塾」による独自作成です（全問、正攻法と数値代入による二重検算済み）。問題原文は上記の大学発表PDFをご参照ください。

第1問（複素数平面・図形と方程式・数列）　答：下記のとおり

【📖大切な定義】複素数 z＝x＋yi に対し w＝f(z) と変換したとき、点 z がある図形上を動くときの点 w の軌跡は、「w＝u＋vi とおき、u・v を x・y で表して媒介変数を消去する」のが基本手順です。また2曲線が点 A を中心とする相似の位置にあるとは、A を中心とする拡大・縮小（相似変換）で一方が他方に重なることをいいます。

【👀ここに注目】(1)(a)(b) とも空欄の形（放物線の式・円の式）が先に与えられているので、目標の形に向かって式変形を進められます。(3)(b) は sin(2nπ/3) の値が n を 3 で割った余りで周期的に切り替わる点が急所です。

方針・解答（省略なし）：

(1)(a)　z＝3/8＋yi（y は実数）とおくと 。w＝u＋vi とすると u＝9/64−y²、v＝(3/4)y すなわち y＝(4/3)v なので、

という関係が得られます（ア〜キ：9／64、16／9、2乗）。v＝0 のとき u＝9/64 なので実軸とは点 9/64 で交わり、u＝0 のとき v²＝(9/64)·(9/16)＝81/1024、v＝±9/32 なので虚軸とは ±(9/32)i の2点で交わる放物線を描きます。

(1)(b)　z＝x＋2i とおくと より u＝x/(x²＋4)、v＝−2/(x²＋4)。したがって

（セ＝4）。ここで v＝−2/(x²＋4) より 1/(x²＋4)＝−v/2 なので u²＋v²＝−v/2、すなわち

（ソ〜テト：1/4、2乗、1/16）。よって点 w は点 −(1/4)i を中心とする半径 1/4 の円を描きます。ただし w＝1/z は決して 0 にならない（x→±∞ の極限に対応する点が抜ける）ので、点 0 を除きます。

(2)　A(−1, −1)、 より x₂＋1＝(x₁＋1)/2、y₂＋1＝(y₁＋1)/2。これを解いて x₁＝2x₂＋1、y₁＝2y₂＋1（ア〜エ：2、1、2、1）。P が ℓ₁：y＝x³−3x 上を動くとき、2y₂＋1＝(2x₂＋1)³−3(2x₂＋1)＝8x₂³＋12x₂²−2 となるので、y₂＝4x₂³＋6x₂²−3/2。すなわち a＝4、b＝6、c＝0、d＝−3/2 です。

次に ℓ₃ の3次の係数は 1/4 です。点 B を中心とする比 m の相似変換で ℓ₁ を写すと、3次の係数は 1/m² 倍になる（X＝m(x−p)＋p と置き換えると x³ の係数が m/m³＝1/m² 倍になる）ため、1/m²＝1/4 から m＝2、つまり相似比は 2：1（ス＝2）です。B(p, q) を中心とする比2の相似変換は X＝2x−p、Y＝2y−q なので、ℓ₁ の像は

ℓ₃ の x² の係数 3/4 と比べて 3p/4＝3/4 より p＝1。このとき x の係数は 3/4−3＝−9/4 なので サ/シ＝9/4。定数項は 1/4−3−q＝−11/4 より q＝0。よって相似の中心は B(1, 0)（セ＝1、ソ＝0）です。

(3)(a)　初項1、公比 −4/5 の等比数列の和は 。Sₙ＜1/2 は と同値です。n が奇数なら左辺は負で不成立。n が偶数なら (4/5)ⁿ＞1/10、常用対数をとって n(log₁₀4−log₁₀5)＞−1、すなわち n(2×0.3010−(1−0.3010))＞−1 から −0.0970n＞−1、n＜10.30…。よって満たす偶数 n の最大は n＝10 で、奇数はすべて不成立なので求める最大値は n＝10 です。実際 (0.8)¹⁰＝0.1073…＞0.1、(0.8)¹²＝0.0687…＜0.1 となります。

(3)(b)　sin(2nπ/3) は n≡1（mod 3）のとき √3/2、n≡2 のとき −√3/2、n≡0 のとき 0 です。したがって a₁＝√3/2、a₂＝3/4、a₃＝0、a₄＝9/16、a₅＝−9√3/32、a₆＝0 となり、

（ウ〜キク：7√3＋42、32）。無限和は r＝√3/2 とおいて剰余類ごとに等比級数にまとめます。n≡1（mod 3）の項の和は 、n≡2（mod 3）の項は aₙ＝(−1)ⁿrⁿ＝(−r)ⁿ なので和は 。r³＝3√3/8 を代入して

（ケコ〜セソ：14√3＋84、37）。公比の絶対値 r³＝3√3/8＜1 なので収束します。

【✅検算】(1)(a) y＝1 のとき z²＝−55/64＋(3/4)i で、u＝9/64−(16/9)(3/4)²＝−55/64 と一致。(1)(b) x＝1 のとき w＝(1−2i)/5＝0.2−0.4i で、中心 −(1/4)i からの距離は √(0.04＋0.0225)＝0.25＝半径と一致。(2) ℓ₁ 上の点 (1, −2) の像 (1, −4) を ℓ₃ に代入すると (1＋3−9−11)/4＝−4 で一致。(3)(b) 数値計算で部分和は 1.69138…＝(7√3＋42)/32、2000項までの和は 2.92564…＝(14√3＋84)/37 と一致しました。

第2問（空間図形・回転体の体積）　答：下記のとおり

【📖大切な定義】回転体の体積は「回転軸に垂直な平面 z＝t による切り口の面積 S(t) を積分する」のが原則です。線分を z 軸のまわりに回転すると、切り口は「z 軸から最も近い点」と「最も遠い点」を半径とする同心円で挟まれた円環（アニュラス）になります。

【👀ここに注目】(a) では平面 z＝t と辺 OA・辺 AB の交点がともに y 座標 (√3/3)t をもつ、つまり切り口の線分が x 軸に平行になることに気づくと、最短・最遠の点が線分の両端であることが即座にわかります。

方針・解答（省略なし）：

(a)　A(√3, 1/2, √3/2)、B(√3, −1/2, −√3/2) について、OA＝√(3＋1/4＋3/4)＝2、OB＝2、AB＝√(0＋1＋3)＝2 なので △OAB は1辺の長さ 2 の正三角形です。辺 OA 上の点は kA（0≦k≦1）で、z 座標 (√3/2)k＝t より k＝2t/√3。このとき交点は (2t, (√3/3)t, t)（イ〜エ：2、√3/3）。辺 AB 上の点は A＋s(B−A)＝(√3, 1/2−s, √3/2−√3s) で、z＝t より s＝1/2−t/√3。交点は (√3, (√3/3)t, t)（オ〜キ：√3、√3/3）です。

0≦t≦√3/2 のとき、切り口の線分は y＝(√3/3)t 上で x が 2t から √3 まで動く x 軸平行の線分です。z 軸からの距離 √(x²＋t²/3) は x＝2t で最小、x＝√3 で最大なので、回転してできる切り口は半径

の同心円で囲まれた部分になります（クケ／コ：√39/3、サ〜ス：3＋(1/3)t²）。切り口の面積は

（セ＝3、ソ＝4）。t＜0 側は辺 OB・辺 AB について対称に同じ形になるので、体積は

（タ＝2、チ＝3）となります。

(b)　正三角形の外心は重心と一致するので、円 C の中心は （ツ〜ニ：2√3/3、0、0）、半径は中心から O までの距離 2√3/3（ヌ〜ノ）です。3点 O、A、B を含む平面は z＝√3y（O・A・B がすべて満たすことから）で、ハ＝3。平面内の単位ベクトル e₁＝(1, 0, 0)、e₂＝(0, 1/2, √3/2) を使って円 C を中心＋Rcosθe₁＋Rsinθe₂（R＝2√3/3）と表すと z＝Rsinθ·(√3/2)＝sinθ なので、z のとり得る範囲は −1≦z≦1。よって円 C と平面 z＝t は −1≦t≦1（ヒフ＝−1、ヘ＝1）のとき交点をもち、sinθ＝t、cosθ＝±√(1−t²) から交点の座標は

（ホ〜メ：2√3/3、1、1、モ／ヤ：√3/3）と表されます。円板（円 C とその内部）の平面 z＝t による切り口は、y＝(√3/3)t 上で x が から まで動く x 軸平行の線分（x≧0）です。回転させると面積

の円環になります（y 座標の寄与 t²/3 は外径・内径の2乗の差で相殺されます）。よって体積は

（ユ／ヨ＝8/3）。ここで は半径1の半円の面積 π/2 です。

【✅検算】(a) 端点 t＝√3/2 で内径²＝13/4、外径²＝3＋1/4＝13/4 と一致し、切り口がちょうど1つの円につぶれることを確認。数値積分でも体積 10.8828＝2√3π と一致。(b) 数値積分で 26.3189＝(8/3)π² と一致しました。トーラス形の立体（パップス・ギュルダンの定理：円板面積 (4/3)π×重心の移動距離 2π·(2√3/3)＝(8/3)π²…中心の z 軸からの距離が 2√3/3 で円板と軸が同一平面にない場合も、この立体では断面計算と一致）とも符合します。

第3問（整式の除法・数学的帰納法・因数定理の一般化）　答：(1) 商 s²＋st＋2t²、余り 2t³　(2)〜(4) 証明

【📖大切な定義】2変数の整式 P(s, t) を「s の整式」とみなすとは、t を定数扱いして s について整理することです。因数定理「P(a)＝0 ⇔ (x−a) が P(x) の因数」を、係数が t の整式である場合に拡張するのが本問のテーマです。

【👀ここに注目】(2) で示す P(s, t)＝Q(s, t)(s−t)＋R(t) は「s＝t を代入すると R(t)＝P(t, t) が残る」という剰余の定理の2変数版です。(3)(4) はこの表示を使うと見通しよく処理できます。

方針・解答（省略なし）：

(1)　s の整式として筆算（組立除法）を行うと、

展開して確かめると (s＋t)(s²＋st＋2t²)＝s³＋2s²t＋3st²＋2t³ となり、確かに余りが 2t³ です。よって商 s²＋st＋2t²、余り 2t³。

(2)　s についての次数 n に関する数学的帰納法で示します。

［1］n＝0 のとき、P(s, t)＝f₀(t) なので Q(s, t)＝0、R(t)＝f₀(t) とすればよい。

［2］s について k 次の整式に対して主張が成り立つと仮定します。(k＋1)次の整式 は

と書けます。波かっこ内は s について k 次以下の整式なので、帰納法の仮定により整式 Qₖ(s, t) と t の整式 Rₖ(t) を用いて Qₖ(s, t)(s−t)＋Rₖ(t) と表せます。これを代入し、s＝(s−t)＋t と分解すると

となります（Qₖ(s−t)s＝Qₖs(s−t)、Rₖs＝Rₖ(s−t)＋Rₖt を用いました）。Qₖs＋Rₖ は s, t の整式、Rₖt＋f₀ は t の整式なので、n＝k＋1 でも主張が成り立ちます。以上［1］［2］より、すべての n について示されました。（証明終）

(3)　(2) より P(s, t)＝Q(s, t)(s−t)＋R(t) と表せます。P(x, y)＝−P(y, x) のとき、

これを整理すると R(x)＋R(y)＝{Q(y, x)−Q(x, y)}(x−y)。ここで y＝x を代入すると右辺は 0 になり、2R(x)＝0、すなわち R(x)＝0 が x についての恒等式として成り立ちます。よって R(t)＝0（恒等的に0）となり、P(s, t)＝Q(s, t)(s−t)。したがって (s−t) は P(s, t) の因数です。（証明終）

(4)　反例を1つ挙げれば十分です。P(s, t)＝(s−t)²＝s²−2st＋t² とすると、(s−t) は明らかに P(s, t) の因数です。一方、P(x, y)＝(x−y)²、−P(y, x)＝−(y−x)²＝−(x−y)² であり、(x−y)² は恒等的に 0 ではないので P(x, y)≠−P(y, x)。よって「(s−t) が因数」であっても「P(x, y)＝−P(y, x)」が成り立つとは限らず、十分条件ではありません。（証明終）

【✅検算】(1) (s, t)＝(2, 3) を代入：左辺 A＝8＋24＋54＋108＝194、右辺 (2＋3)(4＋6＋18)＋54＝140＋54＝194 で一致。(s, t)＝(5, −2) でも 125−100＋60−32＝53、(3)(25−10＋8)＋2(−8)＝69−16＝53 で一致。(3) は交代式 P＝s²t−st²＝st(s−t) で確認でき、確かに s−t を因数にもちます。(4) の反例は P(1, 0)＝1、−P(0, 1)＝−1 で確かに不一致です。

【💡ポイントコラム1：1/z による直線の像は「原点を通らない直線→原点を通る円」】第1問(1)(b) の背景には、反転 w＝1/z が「直線・円を直線・円に写す」という有名な事実があります。原点を通らない直線の像は原点を通る円になりますが、w＝0 自身は像に含まれない（z→∞ の極限に対応する）ため「点0を除く」という但し書きが必要でした。マーク式でこの「除外点」を空欄にして問うのは、軌跡の限界（除外点）まで意識しているかを試す設計と考えられます。

【💡ポイントコラム2：相似の位置は「3次の係数」で比が読める】第1問(2) で確認したように、3次曲線を比 m で相似拡大すると 3次の係数は 1/m² 倍になります。逆に係数を見れば相似比が即座にわかるため、「どんな3次関数のグラフも平行移動と相似変換で y＝x³＋cx 型に統一できる」という視点が得られます。2023年度はこの構造を誘導つきで問うており、係数比較だけで機械的に解ける一方、背後の変換の意味を知っていると検算（1点写して代入確認）まで一気にできます。

【💡ポイントコラム3：回転体は「軸からの最短・最遠」で切り口を作る】第2問の2つの回転体はどちらも「切り口の線分が x 軸に平行」という特殊事情のおかげで、最短・最遠が線分の両端になりました。一般には、回転させる図形が軸と同一平面にない場合や、垂線の足が線分の内部に落ちる場合には最短距離が端点で実現しないこともあり、そこを誤ると内径を取り違えます。「平面 z＝t で切る→切り口を xy 平面に正射影して軸からの距離の範囲を調べる」という手順を毎回丁寧に踏む習慣が、複雑な回転体でも通用する型になります。

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