金沢医科大学 2023年度 数学（医 一般(1／31)を除く）

今日の一問 ── 解答と考え方

型の宣言：対数方程式。解く前に真数条件——これを後回しにすると、出てきた解が使えるかどうか判断できません。まとめてから外すのは最後です。

1. なぜその一手を選ぶのか

まず定義域。真数は正でなければならないので x > 0 かつ x − 1 > 0 、あわせて x > 1 。この1行を最初に書くのが、この型で最も点になる部分です。

次に左辺。底が同じ 2 なので、log の和は積にまとめられます：log₂ x + log₂(x − 1) = log₂ {x(x − 1)} 。底をそろえて1つの log にするのが対数方程式の第一手です。

2. 解答

1. 真数条件：x > 0 かつ x − 1 > 0 より x > 1 。
2. log₂ {x(x − 1)} = 8 より x(x − 1) = 2⁸ = 256 。
3. 整理して x² − 1x − 256 = 0 。解の公式より x = 1 ± 5√412 。
4. 負の解は真数条件 x > 1 を満たさないので捨てる。

答え： x = 1 + 5√412（≒ 16.508）

3. 検算

真数条件で確かめる：16.508 > 1 なので採用してよい解です。
もう一方の解を見る：((1 − 5√41) / 2 ≒ -15.508 は負で、真数条件から確実に外れます。2次方程式の解が2つ出たら、必ず両方を定義域に照らす——片方だけ見て終わるのがこの型の典型ミスです。

この型の一般化：log の和 → 積、差 → 商にまとめてから真数を比較するのが基本形。ただし「まとめる」操作は定義域を広げてしまうので（x と x−1 が両方負でも積は正になる）、最初に書いた真数条件で必ず絞り直します。底が違うときは底の変換公式で先にそろえます。第6章 関数で定義域の扱いを整理しています。